历年高考数学（理）知识清单-专题17 概率与统计（考点解读）（原卷+解析版）

专题17概率与统计

考情解读

1.以客观题形式考查抽样方法，样本的数字特征和回归分析，独立性检验的基本思路、方法及相关

计算与推断.

2.本部分较少命制大题，若在大题中考查多在概率与统计、算法框图等知识交汇处命题，重点考查

抽样方法，频率分布直方图和回归分析或独立性检验，注意加强抽样后绘制频率分布直方图，然后作统计

分析或求概率的综合练习.

3.以客观题形式考杳古典概型与几何概型、互斥事件与对立事件的概率计算.

4.与统计结合在大题中考查古典概型与几何概型.

重点知识梳理

1.抽样方法

三种抽样方法的比较

类别共同点各自特点朴互联系适用范围

总体中的个体数较

简单随机抽样从总体中逐个抽取

少

抽样过程中

将总体均分成几部分，

每个个体被在起始部分抽样时采总体中的个体数较

系统抽样按事先确定的规则在各

抽取的概率用简单随机抽样多

部分抽取

相等

将总体分成几层，分层分层抽样时采用简单总体由差异明显的

分层抽样

进行抽取随机抽样或系统抽样几部分组成

2.统计图表

(1)在频率分布直方图中：

①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高=频率；②各小矩形面积之和等于1;③中位数

组距

左右两侧的直方图面积相等，因此可以估计其近似值.

(2)茎叶图

1

当数据有两位有效数字时，月中间的数字表示十位数，即第-个有效数字，两边的数字表示个位数，

即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图

叫做茎叶图.

当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推).

3.样本的数字特征

(1)众数

在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据).

(2)中位数

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的

平均数作为中位数.

(3)平均数与方差

样本数据的平均数=Zn+足+而+%).

n

方差52=-[(Xl—)24-(X2-)24d+(x,t—)2].

注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的,

所以我们通常用样木的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差.

(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、

方差越大，数据的肉散程度越大，越不稳定.

4.变量间的相关关系

(1)利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性相关.如果散点图中的点从整体上看大致分布在一

条直线的附近，我们说变量X和》具有线性相关关系.

(2)用最小二乘法求回归直线的方程

设线性回归方程为=工+,则

注意：问归直线一定经过样本的中心点(，)，据此性质可以解决有关的计算问题.

5.回归分析

/•=,叫做相关系数.

相关系数用来衡量变量x与,，之间的线性相关程度；|r|<l,且用越接近于I,相关程度越高，团越接近

于0,相关程度越低.

2

6.独立性检验

假设有两个分类变量X和匕它们的取值分别为(不，也}和回，K},其样本频数列联表(称为2x2列联

表)为

>'1总计

XIaba+b

X2Cdc+d

总计a+cb+da+b+c+d

(a+/)+c+d)(ad一历)2

.(a+b)(c+d)(4+c)(b+G

若K>3.841,则有95%的把握说两个事件有关；

若六>6.635，则有99%的把握说两个事件有关；

若KY2.706,则没有充分理由认为两个事件有关.

7.随机事件的概率

随机事件的概率范围：O<P(A)<1；

必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.

8.古典概型

①计算一次试验中基本事件的总数〃：②求事件A包含的基本事件的个数小；③利用公式尸")=里计算.

弟

9.对立事件：在每一次试验中，相互对立的事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()

=l-P(A).

10.互斥事件与对立事件的关系

对立必互斥，互斥未必对立.

11.几何概型

一般地，在几何区域。内随机地取一点，记事件“该点落在其内部区域d内”为事件A,则事件A发生

d的测度

的概率P(A)=

。的测度

高频者点突破

高频考点一事件与概率

例1.Q018年江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好

3

1兀

A.B.

48

J

C.D.Tt

24

【变式探究】某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘

坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A1B.lC-D.-

3234

【变式探究】从区间［0,1］随机抽取2〃个数xi,X2,曲，xn,y\,y2,aS,构成〃个数对（xi,yi）,

（4,y2）,盛，（x”,），〃），其中两数的平方和小于1的数对共有，〃个，则用随机模拟的方法得到的圆周率几

的

近似值为（）

A也B0

mm

C迪D切

nn

高频考点四条件概率与相互独立事件的概率

例4.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，

测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖

法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率：

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

5

箱产量V50kg箱产量之50kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

0.0500.0100.001

~k184!6.63510.828

附：

/______Mad______

K~-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【变式探究】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概

率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()

A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312

【变式探究】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良

的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

高频考点五正态分布

例5.为了监控某种零件的•条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并

测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正

态分布N(〃,b).

(I)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃_30,〃+30)之外的零件

数，求P(X之1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在3。)之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

10.269.9110.110.()9.2210.010.09.95

6

3245

经计算得工二曾=9.97,§=,茸必-j2=’」_（£：一］6一尸心Q212,其中甚为抽取

的第，个零件的尺寸，/=1,2,...,16.用样本平均心作为〃的估计值Q,用样本标准差s作为。的估计值

a,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（〃一3万,1+3万）之外的数据，用剩下的数

据估计〃和O（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布N3，。2）,则P（〃一30<Z<〃+30）=0.9974,

0.997*=09592,疝忝心0.09.

【变式探究】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布M0,

1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

r

附：若X〜N（4，/）,则P（"-oVX9+<7）=0.6826,

P（〃-2oVXW"+2o）=0.9544.

A.2386B.2718C.3413D.4772

【变式探究】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果

得如下频率分布直方图：

（1）求这500件产品质量指标值的样木平均数x和样本方差阳同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表）：

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（〃，/）,其中〃近似为样本平均数x,

炉近似为样本方差N.

7

(i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)：

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)

的产品件数.利用(i)的结果，求仇X).

附：而衿22.

若Z〜N(4,a2),贝!］尸=0.6826,

P(/t-2(7<Z<p+2(7)=0.9544.

高频考点六离散型随机变量的分布列

例6.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率

分别为(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望：

(II)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【变式探究】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，

如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，贝星队”得1分：如果两人都没猜对，则“星队”

得0分.已知甲每轮猜对的概率是:乙每轮猜对的概率是每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮

结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.

【变式探究】已知2件次品和3件F品混放在一起,现需要通过检测将其区分.每次随机检测一件产

品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率：

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要

的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).

高频考点七均值与方差

例7.已知一组数据474.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是▲一.

【变式探究】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌

后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X,则X的均值£(X)=()

8

B-

A段5

噫

高频考点八抽样方法

例8.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率

分别为_L11-

2'3’4

(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望;

(11)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

【变式探究】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方

图，其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),|25,27.5),

[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少干22.5小时的人数是()

A.56B.60C.120D.140

【变式探究】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校

A.167B.137C.123D.93

【变式探究】对一个容量为N的总体抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽

样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为0,P2,贝4()

A.pi=p2Vp3B.])2=p3Vpi

C.pi=p3Vp2D.pi=p2=〃3

高频考点九频率分布直方图与茎叶图

9

例9.Q018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出

的分数的平均数为.

899

9011

（第3题）【变式探究】若样本数据内，X2,d,XIO的标准差为8,则数据2A--1,2X2—1,而，

2x10

-1的标准差为（）

A.8B.15C.16D.32

【变式探究】币:庆市2017年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如下:

则这组数据的中位数是（）

089

I258

2000338

212

A.19B.20C.21.5D.23

高频考点十变量间的相关关系及统计案例

例10.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图.以下结论不正确的

是（）

A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

【变式探究】为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如

下统计数据表：

收入x（万元）8.28.610.011.311.9

10

支出y（万元）6.27.58.08.59.8

10

根据上表可得回归直线方程=X+,其中=0.76,=y—,X.据此估计，该社区一户年收入

ybaba'b

为15万元家庭的年支出为（）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

真题感悟

1.【2019年高考全国山卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，

并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其

中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游

记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估

计值为（）

A.（）.5B.0.6

C.0.7D.0.8

2.【2019年高考全国I［卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成

绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分

相比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

3.【2019年高考浙江卷】设OVaVI,则随机变量X的分布列是（）

则当。在（0,1）内增大时，

A.Q（X）增大B.O（X）减小

C.O（X）先增大后减小D.D（X）先减小后增大

4.【2019年高考江苏卷】已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.

5.【2019年高考全国II卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，

有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高

铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

6.【2019年高考全国I卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队嬴得四场胜利时，

该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设甲队主场取胜

11

的概率为06客场取胜的概率为05,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是.

7.【2019年高考全国川卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200

只小鼠随机分成A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每

只小鼠给服的溶液体积相同、摩久浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子

的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

甲离了残招百分比支方图

记。为事件；“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到"（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中”，人的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

8.【2019年高考全国II卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球

交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得

分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，

两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求尸（X=2）:

（2）求事件“X=4旦甲获胜”的概率.

2

9.【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为;.假定

甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的

天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

10.【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已

成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽

取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支

付金额分布情况如下;

12

额(元)

支#5资\^(0,1000J(1000,2000]大于2000

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;

(2)从样本仅使用A和仅使用R的学生中各随机抽取I人,以X表示这2人中卜个月支付金额

大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3

人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支

付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

11.【2019年高考全国I卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，

为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一

只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比

另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：

对干每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分：若施以乙药

的门鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得。分.甲、

乙两种药的治愈率分别记为a和人一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(i=0,l,…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认

为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=O,PH=1，Pi=apt_x+bpj+cpi+](z=1,2,,7),其中

a=P(X=-\),b=P(X=0),c=P(X=1).假设C=0.5,0=0.8.

(i)证明：｝(i=0,l,2,・・・，7)为等比数列:

(ii)求，并根据“4的值解释这种试验方案的合理性.

1.(2018年浙江卷)设0<p<l,随机变量电勺分布列是

4012

1

P1-PP

22

13

则当p在（0,1）内增大时,

A.。（。）减小B.。（。）增大

C.O&）先减小后增大D.DU）先增大后减小

2.（2018年全国I卷理数）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构

成，三个半国的直径分别为直角三角形A4C的斜边8C,直角边43,AC.AABC的三边所围成的区域记为

I,黑色部分记为II,其余部分记为HI.在整个图形中随机取一点，此点取自I,II,IH的概率分别记为⑶,

p2，p3，则

A.pi=p2B.〃|=P3

C.p2=p3D.pi=〃2+p3

3.（2018年全国I卷理数）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为

更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得

到如下饼图:

冷怆收入2收人

段&*经济收人内成比M侵弊济收人尚值比例

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入港加了倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4.（2018年全国HI卷理数）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互

独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4,P（X=4）vPX=6）,则p=

A.0.7B.0.6C.0.4D.

14

4

°.3"XX)，np(lvP(X4；,^(1-p/<PQC=6)=(\y(l-p/5

（2018年全国n卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜

想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不

同的数，其和等于30的概率是

1111

A.-B.-C.-D.-

12141518

6.（2018年浙江卷）从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以

组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

7.（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选

中2名女生的概率为.

8.（2018年江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的

分数的平均数为.

9.（2018年全国【卷理数）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，

则不同的选法共有种.曲数字填写答案）

10.（2018年天津卷）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽

样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足.现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检

查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠木定的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件”抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

II.（2018年北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.20.150.250.2().1

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.

（I）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

（11）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：

15

(Ill)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“Q表示第k类电影

得到人们喜欢，“Q=5表示第％类电影没有得到人们喜欢(々=1,2,3,4,5,6).写出方差

12.(2018年全国I卷理数)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要

对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0vpv1),且各件产品是

否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为(p，求(p的最大值点0.

(2)现对一箱产品检验了2(1件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的作为。的值.已知每件产

品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

13.(2018年全国IH卷理数〕某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务

的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组2()人，

第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：

min)绘制了如下茎叶图：

第•种生产方式通二种生产方式

s655689

976270122345668

987765433281445

2110090

(I)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的

工人数填入下面的列联表:

超过m不超过m

第一种生产方式

第二种生产方式

(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

n(ad-bc)2

(a*bXc+dXa+c)(b+d)

16

N-2叫0.0500.0100.001

k38416.63510.828

14.（2018年全国II卷理数）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的

折线图.

2000200120022003200420052006200720082009201020H20122013201420152016年份

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据

2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立模型①：--30.4-M35t；根据2010年至

2016年的数据（时间变量［的值依次为）建立模型②：于-99+1751.

（I）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

1.12017课标1,理】如图，正方形A8CO内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部

分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

71

A.1B.

48

1

C.D.三

24

17

2.12017浙江，8】已知随机变量纭满足P($=l)=p,，P(^,.=0)=\—pi,i=\,2.若0<pi<p2<一,

则

A.E(fJvE(f2)，D(^)<D(^2)B.E(^)<E(^2),DC)>D(S)

c.E(3>E6),D(《)<D&)D.E(C>E&),D0)>D&)

3.[2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长X(单位：厘米)和身高1y(单位：厘米)的关系，从

该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图M以看出)，与X之间有线性相关关系，设其回归直线方程

1010

为9=加+占.已知工七=225,2'=1600,B=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为

nEI

(A)160(B)163(C)166(D)170

4.[2017山东，理8】从分别标有1,2,,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则

抽到的2张K片上的数奇偶性不同的概率是

5457

(A)—(B)-(C)-(D)-

18999

5.【2017课标H,理13]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，芍放回地抽取

100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=o

6.12017山东,，理18](本小题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗

示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受

乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志

愿者人，42,43,4,八5,A6和4名女志愿者&,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5

人接受乙种心理暗示.

(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含人但不包含名的频率。

(II)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望£X.

7.[2017课标I,理19]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机

抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的

零件的尺寸服从正态分布N(〃,CP).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(“一35〃+3s之外的零件

数，求P(X之1)及X的数学期望:

18

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（〃一35〃+3。）之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性;

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

10.110.010.0

9.959.969.969.929.98

214

10.110.010.010.0

10.269.919.229.95

3245

经计算得厂==9.97,—16一）2心0.212,其中七为抽取

I裕

的第，个零件的尺寸，/=1,2,...,16.用样本平均麴x作为〃的估计值Q,用样本标准差s作为。的估计值

a,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检杳？剔除（〃一36,"十34）之外的数据，用剩下的数

据估计〃和。（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布N3,。2）,则P（〃-3。＜Z＜p+3a）=0.9974,

0.997*=09592,.而示心（）.09.

8.【2017课标H,理18】海水养殖场进行某水产品的新、I日网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机

抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频点分布直方图如下；

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法

的箱产量不低于50kg“，估计A的概率:

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量及0kg

19

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率