精-品解析：广东省深圳市南山区为明学校2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷（解析版）

第1页/共1页深圳市南山为明学校2024-2025学年度第一学期九年级9月逐梦的风帆数学时间：90分钟满分：100分命题人：周刚审核人：周刚一、选择题（每小题3分，共8小题，24分）1.用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法，即可求解．【详解】解：，移项得：，配方得：．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．2.方程的根的情况是（）A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根C.有一个实数根 D.无实数根【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．【详解】解：∵，∴方程有两个相等实数根，故选：．3.已知线段a，b，c，d是一组成比例线段，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了成比例线段．根据成比例线段的性质，即可求解．【详解】解：∵线段a，b，c，d是一组成比例线段，∴，∵，∴，∴，故选：A4.如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（）A.10m B.8m C.6m D.4m【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠F，又∴△EDC∽△CDF，∴，即DC2=ED•FD=4×16=64，解得CD=8m（负值舍去）．故选：B．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．5.如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．6.如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿AB向点运动，移动到点停止，延长交CD于点，则四边形形状不可能是（）A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据对称中心的定义可得，，根据点从点出发沿AB向点运动时，由锐角直角钝角变形，且仅当点到达点时，，即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵点为矩形的对称中心，∴，，当点从点出发沿AB向点运动时，由锐角直角钝角变形，且仅当点到达点时，，∴四边形形状的变化依次为平行四边形菱形平行四边形矩形，不可能是正方形，故选：．7.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（）A. B. C. D.AD•AB=AE•AC【答案】D【解析】【分析】由DE∥BC，AD：DB=2：1，可得△ADE∽△ABC，推出，，推出，由此即可判断.【详解】∵DE∥BC，AD：DB=2：1，∴△ADE∽△ABC，∴，，∴，∴A、B、C正确，故选D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．【详解】解：、为边的三等分点，，，，，，是的中位线，，，，，即，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共5小题，15分）9.已知，且，则___________．【答案】8【解析】【分析】本题考查了比例的性质．熟练掌握比例的性质是解题的关键．由题意得，，，则，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，解得，，故答案为：8．10.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．【答案】【解析】【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，∴原方程为解得x1=-7,x2=2,故另一个解为.故答案为：．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解．11.如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m．【答案】16【解析】【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【详解】解：根据题意，,,．即故；那么该古城墙的高度是，故答案为：16．12.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割比为，根据题意得出，即可求解．【详解】解：∵P为的黄金分割点，，∴，∵的长度为，∴，∴，故答案为：．13.如图，在中，E是的中点，F是上的一点，，延长交的延长线于点G，若，则______．【答案】【解析】【分析】延长交延长线于点H，连接，根据平行四边形的性质可得，从而得到，再证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得的长，再由平行线分线段成比例可得，即可求解．【详解】解：延长交延长线于点H，连接，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，∵E为中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．设，∵，∴，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识是解题的关键．三、解答题14.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程运用配方法求解即可；（2）方程移项后运用因式分解法求解即可．【小问1详解】，，，，，∴，；【小问2详解】，，∴或，∴，．15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．（1）请画出；（2）请直接写出各顶点坐标；（3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________．【答案】（1）见解析（2），，（3）【解析】【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．（1）根据位似的性质作图即可．（2）由图可得答案．（3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标．【小问1详解】解：如图，即为所求．【小问2详解】解：由图可得，，，．【小问3详解】解：由题意可得，点的坐标为．故答案：．16.某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高米，请根据以上数据求出城楼的高度．【答案】米【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定．过点作于点，交于点，进而求得，根据，得出，根据相似三角形的性质，列出比例式求得，进而即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，交于点，依题意，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∵，∴城楼的高度为米17.如图，在菱形中，对角线交于点O，，，连接，交于点F．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求菱形的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1），，则四边形是平行四边形，由菱形的性质得到，即可证明结论；（2）由四边形是矩形得到，四边形是菱形，则，证明是等边三角形，由得，则，由勾股定理得，可得到，，利用菱形面积公式即可得到答案．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵在菱形中，，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：∵，四边形是矩形，∴，∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∴，由勾股定理得，∴，，∴菱形的面积．【点睛】此题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键．18.请根据表中提供的背景、素材，探索完成任务．背景：因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．素材东部华侨城景区在年“十一”长假期间，共接待游客达万人次，预计在年“十一”长假期间将接待游客达万人次．素材东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元．素材根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯．年“十一”期间，店家决定进行降价促销活动．问题解决任务根据素材，求东部华侨城景区至年“十一”长假期间接待游客人次的平均增长率．任务根据素材、素材，求在降价促销活动中，当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元利润额？【答案】任务：；任务：元．【解析】【分析】任务：设平均增长率为，根据题意列出方程即可求解；任务：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，根据题意列出方程即可求解；本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．【详解】解：任务：设平均增长率为，由题意得，，解得（不合，舍去），，答：平均增长率为；任务：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，由题意得，，整理得，，解得，，∵要让顾客获得最大优惠，∴，答：当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额．19阅读下面材料：小元遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，设，，，则把关于的一元二次方程叫做正方形的关联方程，正方形叫做方程的关联四边形．探究方程是否存在常数根．小元是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是把绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．请回答：．参考小元得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图1，若，，则正方形的关联方程为；（2）正方形的关联方程是，则正方形的面积=．【答案】阅读下面材料：1（1）（2）36【解析】【分析】由四边形是正方形，把绕点顺时针旋转得到，可证明，从而，即，有，即，故关于的一元二次方程有一个根是，即；（1）在中，，可得，从而可解得正方形的关联方程为；（2）由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，可得，即得，，，设正方形的边长为，有，解得正方形的边长为6，正方形的面积为36．【详解】解：阅读下面材料：如图：∵四边形是正方形，∴，∵把绕点顺时针旋转得到，∴，，，，∴，，∴共线，，∵，∴，在和中，，∴，∴，即，∵，，，∴，即，∴关于的一元二次方程有一个根是，∴．故答案为：1；（1）如图：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，由阅读材料知，，∴，，在中，，∴，解得，∴，而，∴正方形的关联方程为，化简整理，可得．故答案为：；（2）如图：由阅读材料知，正方形的关联方程存在常数根，∴，解得，∴正方形的关联方程是，∴，，，设正方形的边长为，在中，，∴，解得或（舍去），∴正方形的边长为6，∴正方形的面积为36．故答案为：36．【点睛】本题主要考查几何变换综合应用，涉及内容包括旋转变换、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程、新定义、勾股定理等知识，综合性较强，解题的关键是证明．20.在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点．（1）如图1，若四边形是正方形，①求