《函数的单调性》教学设计-二

2/2《函数的单调性》教学设计二教学设计一、情境与问题我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律.如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量（单位：%），则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为.这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？情境与问题中的函数反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小.给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，类似的内容我们在初中曾经接触过.如下图，从正比例函数的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大；从反比例函数的图象可以看出，在和上，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.二、探究新知[尝试与发现1]怎样用不等式符号表示“y随着x的增大而增大”“y随着x的增大而减小”？归纳总结出相关概念：一般地，设函数的定义域为A，区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间Ⅰ上是增函数（如图（1）），I称为的增区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间I上是减函数（如图（2）），I称为的减区间.如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.由增函数和减函数的定义可知，前面给出的例子中，函数在R上是增函数；函数在上是减函数，在上也是减函数.想一想：你能否说函数在定义域内是减函数？为什么？[尝试与发现2]下图为函数的图象，由图可知，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数.你能找出图中的最高点和最低点吗？总结函数的最值的定义：一般地，设的定义域为A.如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为；如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为.不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求函数的最值.三、典型例题例1画出下列函数图象，并写出单调区间：（1）；（2）.解（1）函数图象如图（1），增区间为，减区间为.（2）函数图象如图（2），和是两个减区间.由“尝试与发现2”可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法进行证明.例2证明：函数在区间上是增函数.证明设为区间上的任意两个值，且，则，因为，所以，即.故在区间上是增函数.思考：你能总结用定义法证明函数单调性的步骤吗？提示：设值、作差、变形、判号、下结论.例3判断函数的单调性，并求这个函数的最值.解任取，且，则.因为，所以，所以这个函数是增函数.因此，当时，有，从而这个函数的最小值为，最大值为.例3中，函数的最值也可由不等式的知识得到：因为，所以，所以.例4已知函数的定义域是.当时，是增函数；当]时，是减函数.试证明在时取得最大值.证明因为当时，是增函数，所以对于任意，都有.又因为当时，是减函数，所以对于任意，都有.因此，对于任意都有，即在时取得最大值.四、课堂小结1.增函数、减函数的定义.2.用图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.3.（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论.4.函数的最大值、最小值的概念.五、布置作业教材第113页练习第3，4，5题板书设计5.3函数的单调性一般地，设函数的定义域为A，区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间I上是增函数，I称为的增区间.如果对于区间I内的任意两个值，当时，都有，那么称在区间I上是减函数，I称为的减区间函数的最大值、最小值：一般地，设的定义域为A.如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为；如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为例1例2例3例4课堂小结：（1）增函数、减函数的定义（2）用图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降（3）（定义法）证明函数单调性的步骤：设值、作差、变形、判号、下结论（4）函数的最大值、最小值的概念教学研讨在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不能归纳抽象出函数单调性的定义，不会根据定义证明函数的单调性以及求一个具体函数的最值.产生这些问题的原因是归纳概括能力不高，对于函数单调性的定义还不是很理解