高考真题专题分类汇编函数的单调性与奇偶性（十年高考）含答案与解析

3.2函数的单调性与奇偶性考点1.函数的单调性1.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是()A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)答案Df(x)=2x(x-a)=2(x−a2)2−a24,由复合函数的单调性知函数y=x−a22-a24在(0,1)上单调递减,所以2.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=e−(x−1)2.记a=f22,b=f32,c=fA.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案A∵f(x)=e−(x−1)2是由y=eu和u=-(x∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,又知f(2-x)=e−(2−x−1)2=e−(1−∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f62=f2−又∵22<2-62<32<1,∴f22<f2−6即a<c<b,故选A.3.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.f(x)=-lnxB.f(x)=1C.f(x)=-1xD.f(x)=3|x答案C对于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;对于B,f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,对于C,f(x)=-1x在(0,+∞)上单调递增,符合题意对于D,f(x)=3|x-1|=3x−1,x≥1,13x−1,4.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)=2C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x)=23x,由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3x=x13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.指数函数y=ax(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减.幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.5.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+4答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sinx|=t,则0<t≤1,y=|sinx|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上单调递减,故t=1时,ymin=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4t,t>0,易知y=t+4t在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合题意;对于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,则y=lnx+4ln6.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.7.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x12C.y=log12答案A本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是直观想象.A选项,12>0,所以幂函数y=x12在B选项,指数函数y=2-x=12x在(0,+∞)C选项,因为0<12<1,所以对数函数y=log12x在D选项,反比例函数y=1x在(0,+∞)上单调递减解题关键熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.8.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11−xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D选项A中,y=11−x=1−(x−1)的图象是将y=-1x的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,评析本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.9.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的A.13,1B.−C.−13,13答案A当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f'(x)=11+x+2x(1+x2)2∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选10.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.11.(2023北京,15,5分,难)设a>0,函数f(x)=x+2,x①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减;②当a≥1时,f(x)存在最大值;③设M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),则|MN|>1;④设P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是0,1其中所有正确结论的序号是.

答案②③解析f(x)的大致图象如图所示,易知f(x)在(-∞,-a)上单调递增,在[-a,0)上单调递增,在[0,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调递减.对于①,当12<a<1时,f(x)在(a-1,0)上单调递增,故①错误对于②,当x<-a时,f(x)<-a+2≤1,当-a≤x≤a时,0≤f(x)≤a,当x>a时,f(x)<-a-1≤-2.综上,x=0时,f(x)取得最大值a,故②正确.对于③,令M'(a,0),N'(a,-a-1),显然|MN|>|M'N'|=a+1>1,故③正确.对于④,若|PQ|存在最小值,则点(0,0)到直线x+2=y的距离大于a,且直线y=-x与y=x+2的交点(-1,1)在射线y=x+2(x<-a)上,则21+1>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④错误综上,所有正确结论的序号是②③.12.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx−1(x≥2)答案2解析解法一:∵f'(x)=−1(x−1)2,∴x≥2时∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法二:∵f(x)=xx−1=x∴f(x)的图象是将y=1x的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1x在[2,+∞)∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得f(x)=1+1x∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1x−∴1<1+1x−1≤2,即1<故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.13.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=x2,x≤1,x+6答案-12;26解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-1当x≤1时,f(x)=x2≥0,当x>1时,f(x)=x+6x-6≥26当且仅当x=6时,等号成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.14.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是.

答案1解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12考点2函数的奇偶性1.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x−12x+1为偶函数,则aA.-1B.0C.12答案B解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln13=-(a+1)ln3,f(-1)=(a-1)ln3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0解法二:f(-x)=(-x+a)ln−2x−1−2x+1=(-x+a)ln2x+12x−1=(x-a)ln2x−12x+1,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-2.(2023全国乙理,4,5分,中)已知f(x)=xexeax−1是偶函数,则aA.-2B.-1C.1D.2答案D解法一(特值法):f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即eea−1=−1a-1=1,所以a=2.解法二:f(x)=xexeax−1的定义域为(-∞,0)∪(由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),即xexeax化简得e2x=eax,所以a=2.3.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点答案ABC令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确.令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确.令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,故C正确.取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选ABC.4.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.5.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.7.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−x1+x,则下列函数中为奇函数的是(A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选解法二:选项A,f(x-1)-1=2x-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=2x,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=−2x−2x+2,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=28.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2为偶函数,则a答案2解析解法一:由题意知f(x)的定义域为R,∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2=x2+(a-2)x+cos∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cosx+1.∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2-(a-2)x+cosx+1,即(a-2)x=-(a-2)x,∴a-2=0,∴a=2.解法二:由题意知f(x)的定义域为R.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos1=a+cos1,∴a=2.9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.

答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,∴f(1)