第11讲 坐标法秒解离心率问题（解析版）

一．选择题（共18小题）1．已知椭圆左右焦点分别为F1，F2，双曲线1的一条渐近线交椭圆于点P，且满足PF1丄PF2，已知椭圆的离心率为则双曲线的离心率e2=()解：椭圆左右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为不妨令a=4，所以椭圆方程为双曲线1的一条渐近线交椭圆于点P，且满足PF1双曲线的离心率为故选：B.2．双曲线C的中心在坐标原点O，右顶点A2，虚轴的上端点B2，虚轴下端点B1，左右焦点分别为F1、F2，直线B1F2与直线A2B2交于P点，若上B2PF2为锐角，则双曲线C的离心率的取值范围为()B1(0,-b)，故直线B1F2的方程为y+b=x，直线A2B2的方程为y-b=-，联立方程组，解得x=2PF2为锐角，:b2>ac，:c2-a2>ac故选：C.3．双曲线C的中心在坐标原点O，右顶点A2，虚轴的上端点B2，虚轴下端点B1，左右焦点分别为F1、F2，直线B1F2与直线A2B2交于P点，若上B2PF2为钝角，则双曲线C的离心率的取值范围为()【解答】设双曲线的方程为由题意可得A2(a,0)，F2(c,0)，B2(0,b)，B1(0,-b)，故直线B1F2的方程为y+b=x，直线A2B2的方程为y-b=-c联立方程组，解得x=，:b2<ac，:c2-a2<ac故选：B.4．已知F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，B为该椭圆的右顶点，过F2作垂直于x轴的直线与椭圆交于P，Q两点(P在x轴上方若BP//F1Q，则椭圆的离心率为()由对称性可知PF2=QF2，F2，B，即2c=a-c，:e=故选：C.5．已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，点P，垂直于x轴且过E的右焦点，直线PA与y轴交于点M，若PB//MQ，则椭圆E的离心率解：如图，可得P:kAP=．直线AP方程：y=令x=0，可得Mc-a-c故选：A.6．已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，则该椭圆的离心率为()【解答】解：F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设FP为椭圆上一点，且PF2垂直于x轴．若|F1F2|=2|PF2|，解得故选：D.7．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且上BFC=【解答】解：设右焦点F(c,0)，将代入椭圆方程可得x=±a可得BFCF化简为b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，可得故选：A.8．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的左、右焦点分别为F1，，P为椭圆上一点（在x轴上方连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1=3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为()【解答】解：设椭圆的左、右焦点分别为F1(—c,0)，F2(c,0)，设P(m,n)，n>0，由PF2垂直于x轴可得m=c，22可得将代入椭圆方程可得即25c22c2故选：C.9．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为()【解答】解：对椭圆进行压缩变换，x=，y=延长TO交圆O于N 负值舍去）故选：A.FO为半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于A，B（不同于O)，当|AB|取最大值时双曲线的离心率为(【解答】解：F为圆心，FO为半径的圆的方程为(x一c)2+y2=c2，双曲线的渐近线方程为y=±x，代入圆的方程可得x2=2cx，解得故选：A.心M在y轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长2a，若圆M与双曲线的两渐近线均相切，且直线MF与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为()【解答】解：设圆心M(0,m)，双曲线的渐近线方程为，F(c,0)，直线MF与双曲线的一条渐近线y=一x垂直，则圆心坐标M(0,ac圆M与双曲线的两渐近线均相切，:圆心M到直线y=±x即bx±ay=0的距离d=2a，2则a22则5a22，故选：A.12．设直线x3y+m=0(m≠0)与双曲线两条渐近线分别交于点A、B，若点P(m,0)满足(PA+PB)丄【解答】解：双曲线一两条渐近线分别为：y=±,则点A的坐标是同理可求B的坐标是设AB的中点是C，则C的坐标是22， 所以该双曲线的离心率是，故选：B.B，若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是() 【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x3y+m=0联立，解得A:AB中点坐标为3mb29b2a2m:a=2b，:c=·b，故选：A.渐近线分别交于点A，B．若A为BC中点，则该双曲线的离心率是() 直线x·3y+m=0(m≠0)与x轴交于点C(m,0)，因为A为BC的中点，可得故选：D.近线分别交于点M，N，若点Q(2m,0)满足|QM|=|QN|，则该双曲线的离心率为()得M(，)，mb b2m 4a2-b2=-12a2m24a2-b24a2-b2:3a2=2(c2-a2)，解得：故选：D.渐近线上存在一点P，使得顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，则双曲线C的离心率为()【解答】解：由双曲线方程知：A(-a,0)，F(c,0)，渐近线方程为①若点P在y=x上，可设，顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，即②若点P在y=-bx上，可设aa顺次连接A，B，F，P构成平行四边形，即故选：D.17．已知双曲线C:-=1(a>0,上一点，且PF丄AF，若tan上PAF=则双曲线C的离心率为():3c4-8a3c-7a2c2-4a所以3e4-7e2-8e-4=0，:3e4-12e2+5e2-8e-4=0，2故选：C.18．已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,b)，若BA丄BF，则双曲线【解答】解：:双曲线的左顶点为A(-a,0)，右焦点为F(c,0)，点B(0,b)，且BA:(-a，-b).(c，-b)=0，即c2-a2-ac=0，故选：B.二．填空题（共7小题） B．若点P(m,0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.:AB中点坐标为2:点P(m,0)满足|PA|=|PB|，::a=2b， 故答案为：.20．已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0,b)，双曲线的渐近线上存在一点P，使得A，B，F，P顺次连接构成平行四边形，则双曲线C的离心【解答】解：由双曲线的方程可得A(-a,0)，设双曲线的半焦距为c，则F(c,0)，双曲线的渐近线方程为由平行四边形ABFP，可得P在渐近线y=-x上，设FP的方程为与x联立，解得P(，-)，22化为即为b=a，2a故答案为：2.双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B．若直线AB的斜率为1，则双曲线C的5离心率为.53【解答】解：由题意可知A(-a,0)，经过第一象限的渐近线方程为y=x，过点F且与渐近线垂直的直线相交于点B，解得{，c222，故答案为：.与双曲线C的其中一条渐近线交于点P（不同于O)，若双曲线C右支上存在点M满足【解答】解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：x，即bx-ay=0，右焦点F(c,0)，OF2-d2c2-b2把M代入双曲线可得整理可得c2=2a2，所故答案为：.23．设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，【解答】解：如图，以OF为直径的圆的方程为x2+y2-cx=0，:PQ所在直线方程为.4，:e2=2，解得e=. 分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP(O为坐标原点）交椭圆C于点Q，———→———→———→3———→」满足OQ=2QP