2024-2025学年北京市宣武区高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市宣武区高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直线的倾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直线：，.若，则实数（

）A．0或 B．0 C． D．或23．“”是“直线与互相垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件4．已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（

）A．是一个半径为的圆 B．是一条与相交的直线C．上的点到的距离均为 D．是两条平行直线5．已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的离心率为2，则（

）A．3 B． C． D．8．已知直线过点（1，2），且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（

）A．B．C．或D．或9．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．笛卡尔、牛顿研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是（）A．该曲线关于轴对称 B．该曲线关于原点对称C．该曲线不经过第三象限 D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数二、填空题（本大题共6小题）11．已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若，则直线AB的方程为.12．若直线与交于，两点，则面积的最大值为，写出满足“面积最大”的的一个值.13．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．14．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为，若，则.15．已知双曲线，请从以下四个条件中任选两个条件，使双曲线存在且唯一确定，并根据所选条件求双曲线的渐近线方程.①焦距为4；②经过点；③焦点到渐近线的距离为；④离心率为2.你选择的两个条件是，得到的双曲线的渐近线方程是.16．若直线被圆所截的弦长不小于，则在下列曲线中：①②③④与直线一定有公共点的曲线的序号是.（写出你认为正确的所有序号）三、解答题（本大题共1小题）17．已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点.以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为.(1)求栯圆的方程；(2)设过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于不同的两点，与直线交于点.点在轴上，为坐标平面内的一点，四边形是菱形.求证：直线过定点.

答案1．【正确答案】C【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为，所以，所以，故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，直线：，：，满足，当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，综上，.故选B.3．【正确答案】A【分析】判断两直线垂直的方法：设两直线为，，，代入求解参数，根据充分必要性的判断法则即可得答案.【详解】解：由题意得：的充要条件是即，故解得于是“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A4．【正确答案】C【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.【详解】设，由，则，由在直线上，故，化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.故选C.5．【正确答案】D【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：

设点关于直线的对称点为，则，解得，所以对称点为，则由图知：的最小值为，故选：D6．【正确答案】D【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线，可得直线与圆相切或相离，则满足圆心到直线的距离，解得，即，所以的最小值为.故选：D.7．【正确答案】B【详解】由双曲线可得：，，所以，故选：B.8．【正确答案】C【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为，把点代入方程，得，即，所以直线的方程为．故选：C．9．【正确答案】B【分析】由题意首项得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意可知两直线均有斜率，所以，若取，则有，但；若，又，所以，而，综上所述，“”是“”的必要而不充分条件.故选B.10．【正确答案】C【详解】A选项，当时，显然等式不成立，故，所以，令，则，故，故A错误；B选项，，B错误；C选项，当时，，故，所以该曲线不经过第三象限，C正确；D选项，，其中，当时，为整数，故整数点至少有8个，D错误.故选：C11．【正确答案】或【分析】先根据焦半径公式求出点坐标，进而可得直线方程.【详解】设，则，则，此时，所以或，又由已知，直线AB的方程为或，整理得或.故或.12．【正确答案】21（均可）【分析】求出圆心到直线的距离，则，再由基本不等式求出面积最大值，以及此时的值.【详解】直线，则，令，解得，所以直线恒过点，的圆心为，半径，显然点在上，圆心到直线的距离，，则，当且仅当，即时取等号，即，解得或.故；（均可）.13．【正确答案】【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，所以，即.故14．【正确答案】208【详解】椭圆，∴，的周长是，所以故答案为∶20，815．【正确答案】答案见解析【详解】由为双曲线方程，可知，化为标准方程：，此时，渐近线方程为：，若选①②，则，，所以，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；若选①③，由焦点到渐近线的距离为，可知，又，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；若选①④，则，，则，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；若选②③，则，，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；若选②④，则，，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；若选③④，则，又，则，双曲线方程为：，此时渐近线方程为：；故①②，；或①③，；或①④，；或②③，；或②④，；或③④，；16．【正确答案】①③【详解】∵直线被圆：所截的弦长不小于，设圆心到直线的距离为，则，所以，即圆心到直线的距离小于或等于，故直线一点经过圆面内的点，如图所示：观察图象可得满足关系，圆面在椭圆内，故与直线一定有公共点的曲线的序号是①③.故①③.17．【正确答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得且，即可求解得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得，进而根据菱形的性质可得的方程为，即可求解，.进而根据点斜式求解直线方程，即可求解.【详解】（1）由题意可设椭圆的方程为.因为以的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为，所以且，所以.所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，令，得，即.由得.设，则，设的中点为，则，所以.因为四边形为菱形，所以为的中点，，所以直线的斜率