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文档简介
吉林省长春市绿园区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三总分评分一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.二次根式x+3在实数范围内有意义,则x的取值范围是()A.x⩽−3 B.x>−3 C.x⩾−3 D.x⩾32.二次函数y=−4(A.(−2,5) B.(2,3.下列二次根式中,能与2合并的是()A.28 B.24 C.12 D.84.如图,在ΔABC中,DE//BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长为()A.4 B.5 C.6 D.75.如图,在平面直角坐标系中,将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转90°A.(−2,3) B.(−3,6.如图,ΔABC与ΔDEF位似,其位似中心为点O,且D为AO的中点,则ΔABC与ΔDEF的面积比是()A.2:1 B.4:1 C.3:1 D.9:17.如图,电线杆AB直立在水平的地面BC上,AC是电线杆AB的一根拉线,测得BC=5,∠ACB=52°,则拉线AC的长为()A.5tan52° B.5cos52° C.8.若抛物线y=x2+bx+c的对称轴为y轴,且点PA.−2 B.0 C.2 D.4二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.(−2)4=10.计算:8÷1811.已知关于x的一元二次方程x2−a=0有一个根为x=2,则a的值为12.若关于x的方程x2−2x+m=0有实数根,则m的取值范围为13.一个小球在如图所示的地板上自由滚动,并随机停在某块方砖上,如果每一块方砖除颜色外完全相同,那么小球最终停留在黑砖上的概率是.14.如图,一抛物线型拱桥的拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1.5米后,水面的宽度为米.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.计算:2+16.解方程:2x17.某厂一月份产值为64万元,计划三月份产值要达100万元.若每个月的平均增长率相同,求平均增长率是多少.18.在一个不透明的盒子中放有三张卡片,分别标记为A、B、C,每张卡片除了标记不同外,其余均相同.某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片,卡片放回,第二次又随机抽取一张卡片,请用画树状图(或列表)的方法,求两次抽取的卡片完全相同的概率.19.图①、图②均为5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,ΔABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺,在图①、图②中各画一个与ΔABC相似(相似比不为1),且不全等的三角形(要求三角形的顶点都在格点上)20.如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.(1)求证:ΔABC∽ΔDEB.(2)求线段BD的长.21.如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D(1)直接写出A,B,C,D四个点的坐标;(2)求四边形ABCD的面积.22.角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角的两边距离的关系,小明发现将角平分线放在三角形中,还可以得出一些线段比例的关系.请完成下列探索过程:(1)【初步思考】如图1,在ΔABC中,∠ABC的角平分线交AC于点D.若AB=4,BC=7,则SΔABDS(2)【深入探究】如图1,在ΔABC中,∠ABC的角平分线交AC于点D.求证:ABBC=AD(3)【应用迁移】如图2,ΔABC和ΔECD都是等边三角形,ΔABC的顶点A在ΔECD的边ED上,CD交AB于点F,若AE=4,AD=2,直接写出ΔCFB的面积.23.如图,在RtΔABC中,∠A=90°,AC=3,AB=4,动点P从点A出发,沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动,点Q为线段AP的中点,过点P向上作PM⊥AB,且PM=3AQ,以PQ、PM为边作矩形PQNM.设点P的运动时间为(t>0)秒.(1)线段MP的长为(用含的代数式表示).(2)当点N恰好落在边BC上时,求的值.(3)当点N在ΔABC内部时,设矩形PQNM与ΔABC重叠部分图形的面积为S,求S与之间的函数关系式.(4)当点M恰好落在ΔABC的角平分线上时,直接写出的值.24.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,−3)(1)求该抛物线对应的函数表达式.(2)求点A关于抛物线y=x2+bx+c(b、c(3)当点A在x轴上方时,直接写出m的取值范围.(4)若此抛物线在点A及点A左侧部分的最低点的纵坐标为1−2m,求m的值.
答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解:由题意得x+3≥0,∴x≥-3故答案为:C【分析】根据二次根式有意义的条件结合题意即可得到x+3≥0,进而即可求解。2.【答案】D【解析】【解答】解:由题意得二次函数y=−4(x−2故答案为:D【分析】根据二次函数顶点式的解析式直接读出顶点坐标即可求解。3.【答案】D【解析】【解答】解:由题意得28=27,24=26,12=23,8=2故答案为:D【分析】根据同类二次根式的定义结合题意对选项逐一化简,进而即可求解。4.【答案】C【解析】【解答】解:∵DE//BC,∴ADDB=AE∴AE=6.故答案为:C.【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段的长度成比例”可得比例式求解.5.【答案】A【解析】【解答】解:将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转90°得到点B,如下图所示,过点B作BD⊥y轴,AC⊥x轴,则AC=2,OC=3,∴△AOC≌△BOD,∴BD=AC=2,OD=OC=3,∴B点坐标为(−2,3),故答案为:A【分析】将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转90°得到点B,如图所示,过点B作BD⊥y轴,AC⊥x轴,则AC=2,OC=3,进而根据旋转的性质得到△AOC≌△BOD,再根据三角形全等的性质结合题意即可得到点的坐标。6.【答案】B【解析】【解答】解:∵△ABC与△DEF是位似图形,且D为AO的中点,∴OA:OD=2:1,∴△ABC与△DEF的位似比是2:1.∴△ABC与△DEF的相似比为2:1,∴△ABC与△DEF的面积比为4:1,故答案为:B.【分析】利用位似图形的性质及点D是AO的中点,可推出△ABC与△DEF的相似比为2:1,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可求出结果。7.【答案】B【解析】【解答】解:由题意得cos52°=BCAC,
故答案为:B【分析】根据锐角三角函数的定义结合图片即可得到cos52°=8.【答案】C【解析】【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为y轴,∴b=0,∵点P(2,6)在该抛物线上,∴6=4+c,解得:c=2.故答案为:C【分析】先根据对称轴结合题意即可得到b=0,进而代入点P即可求解。9.【答案】4【解析】【解答】解:(−2)2=210.【答案】2【解析】【解答】解:由题意得8故答案为:2【分析】根据二次根式的除法结合题意进行运算即可得到8÷11.【答案】4【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2−a=0有一个根为x=2,
∴4-a=0,
故答案为:4【分析】根据一元二次方程的根代入x的值,进而即可得到a的值。12.【答案】m⩽1【解析】【解答】解:由题意得△=4-4m≥0,
∴m≤1,故答案为:m⩽1【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可得到△=4-4m≥0,进而即可求解。13.【答案】5【解析】【解答】解:观察这个图可知:黑砖(5块)的面积占总面积(9块)的59∴小球最终停留在黑砖上的概率是59故答案为:59【分析】利用概率公式求解即可。14.【答案】2【解析】【解答】解:以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴,拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示:根据题意设二次函数解析式为:y=ax2+2,把A(2,0)代入,得a=-12∴二次函数解析式为:y=-12x2当y=-1.5时,-12x2解得x=±7.所以水面的宽度为27.故答案为:2【分析】以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴,拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系,先根据待定系数法求出二次函数的解析式,进而结合二次函数图象上的点的特征即可求解。15.【答案】解:原式==【解析】【分析】根据二次根式的加减混合运算结合题意进行计算即可求解。16.【答案】解:2x2x(x−2)+3(x−2)=0,(2x+3)(x−2)=0,2x+3=0或x−2=0,解得x1=−3所以,原方程的解为x1=−3【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。17.【答案】解:设平均增长率为x.64(解,得x1答:平均增长率是25%【解析】【分析】设平均增长率为x,根据“某厂一月份产值为64万元,计划三月份产值要达100万元.每个月的平均增长率相同”即可列出一元二次方程,从而即可求解。18.【答案】解:∴P(两次抽取的卡片完全相同)=39【解析】【分析】先根据题意画出树状图,进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。19.【答案】解:如图【解析】【解答】解:如图1和图2所示,△DEF即为所求;由网格的特点和勾股定理可得AB=1图1中,EF=1∴ABDF∴△ABC∽△DFE;同理可证明图2中△ABC∽△DFE.【分析】根据相似三角形的判定结合题意进行画图即可求解。20.【答案】(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴ΔABC∽ΔDEB(2)解:∵ΔABC∽ΔDEB,∴AC∵AB=8,AC=6,DE=4,∴6∴BD=3【解析】【分析】(1)先根据垂直得到∠A=∠CBE=∠D=90°,进而结合题意进行角的运算即可得到∠C=∠DBE,再运用相似三角形的判定即可求解;
(2)先根据相似三角形的性质得到ACBD21.【答案】(1)解:A(−1,0),(2)解:连结OC,如图所示,∵点A的坐标为(−1,0),点B的坐标为(3,0),点∴四边形ABCD的面积是:S【解析】【解答】解:(1)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1)=(x﹣1)2﹣4,∴当y=0时,x1=3,x2=﹣1,当x=0时,y=﹣3,该函数的顶点坐标为(1,﹣4),∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(1,﹣4),点D的坐标为(0,﹣3);【分析】(1)根据二次函数的图象结合二次函数与坐标轴的交点问题即可求解;
(2)连结OC,根据(1)中点的坐标结合S四边形22.【答案】(1)4(2)证明:过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥BC于点N,∵BD平分∠BAC,∴DM=DN,∵SΔABD=∴S过点B作BE⊥AC于点E,则SΔABD∴(3)解:14【解析】【解答】解:(1)过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥BC于点N,如图所示:∵BD平分∠ABC,∴DM=DN,∵S△ABD=∴S故答案为:4(3)连接BD,过点A作AG⊥BC于G,过点C作CH⊥DE于H,如图所示:∵△ABC和△ECD是等边三角形,∴CE=CD,AC=BC,∠ECD=∠ACB=60°,∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴∠E=∠BDC=60°=∠CDE=60°,即CD平分∠BDA,BD=AE=4,同理可得:S△AFD∴AFBF∴S△ACF∵AE=4,AD=2,∴DE=AE+AD=4+2=6,∵△ECD是等边三角形,CH⊥DE,∴EH=DH=3,CE=DE=6,∴CH=C∵AH=DH−AD=3−2=1,∴AC=A∴CG=BG=7∴AG=A∴S△BCF【分析】(1)过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥BC于点N,先根据角平分线的性质得到DM=DN,进而根据三角形的面积即可求解;
(2)过点D作DM⊥AB于点M,作DN⊥BC于点N,先根据角平分线的性质得到DM=DN,进而结合题意即可得到SΔABDSΔCBD=ABBC,过点B作BE⊥AC于点E,进而结合题意即可求解;
(3)连接BD,过点A作AG⊥BC于G,过点C作CH⊥DE于H,先根据等边三角形的性质得到CE=CD,AC=BC,∠ECD=∠ACB=60°,进而即可得到∠ACE=∠DCB,再运用三角形全等的判定与性质证明△ACE≌△BCD(SAS)即可得到∠E=∠BDC=60°=∠CDE=60°,即CD平分23.【答案】(1)3t(2)解:如图,当点N落在BC上时,∵NQ//∴NQ∴3t解得t=4(3)解:当0<t⩽23时,重叠部分是矩形PQNM当23<t<4S=S综上所述,S=(4)解:411或3【解析】【解答】解:(1)由题意AP=2t,AQ=PQ=t,∵PM=3PQ,∴PM=3t.故答案为:3t.(4)如图4-1中,当点M落在∠ABC的角平分线BF上时,满足条件.作FE⊥BC于E.∵∠FAB=∠FEB=90°,∠FBA=∠FBE,BF=BF,∴△BFA≌△BFE(AAS),∴AF=EF,AB=BE=4,设AF=EF=x,∵∠A=90°,AC=3,AB=4,∴BC=A∴EC=BC−BE=5−4=1,在Rt△EFC中,则有x2解得x=4∵PM∥AF,∴PM∴3t∴t=如图4-2中,当点M落在∠ACB的角平分线上时,满足条件作EF⊥BC于F.同法可证:△ECA≌△ECF(AAS),∴AE=EF,AC=CF=3,设AE=EF=y,∴BF=5−3=2,在Rt△EFB中,则有x2解得x=3∵PM∥AC,∴PM∴3t解得t=3综上所述,满足条件的t的值为411或【分析】(1)由题意AP=2t,AQ=PQ=t,进而即可求解;
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