广东省汕头市潮阳区关埠镇2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

广东省汕头市潮阳区关埠镇2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、选择题（每小题3分，共30分）．1．一元二次方程x2A．x=5 B．x=0C．x1=5，x2=0 2．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．圆C．正五边形 D．扇形3．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠BPC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同，从中任意換出一个球是红球的概率是（）A．13 B．15 C．585．若关于x的方程x2A．m<14 B．m≤14 C．6．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条7．在平面直角坐标系中，点(a+2，2)关于原点的对称点为A．－4 B．4 C．12 D．－128．已知抛物线y=ax2（a>0）过A(−2，yA．y1>0>y2 B．y2>0>9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（）

A．32cm B．3cm C．2310．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0)，B(3，0)与y轴交于点C．下列结论：①ac>0；②3a+c=0；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题3分，共15分）11．抛物线y=−(x+2)2+6与y12．在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=6cm，若以AC的中点O为旋转中心将这个三角形旋转180°，点B落在B'处，则点B'与点B的距离为13．用配方法解一元二次方程3x2+6x+1=0时，将它化为(x+a)2=b14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA=2315．将全体正偶数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，则第10行从左向右的第3个数是．三、解答题（一）（每小题6分，共24分）16．解方程：x217．已知二次函数y=x18．在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．19．如图，在平面角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1，1)，B(−4，0)，C(−2，（1）请写出A1、B1、A1，B1，C（2）求点B旋转到点B1四、解答题（二）（每小题7分，共21分）20．疫情期间，某公司向厂家订购A，B两款洗手液共50箱，已知购买A款洗手液1箱进价为200元，在此基础上，所购买的A款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元.厂家为保障盈利，每次最多可订购30箱A款洗手液.B款洗手液的进价为每箱100元.设该公司购买A款洗手液x箱.（1）根据信息填表：型号数量（箱）进价（元/箱）AxB100（2）若订购这批洗手液的总进价为6240元，则该公司订购了多少箱A款洗手液？21．已知抛物线y=ax2+bx−10(a≠0)（1）求证：4a+b=0；（2）若关于x的方程ax22．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．五、解答题（三）（每小题10分，共30分）23．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A(6，1)处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y=a(x−3)2+2的一部分，淇淇恰在点（1）写出C1（2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．24．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？25．如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：x2=5x，

x2-5x=0

故答案为：C.

【分析】利用因式分解法中的提公因式法解此方程即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；B、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形；C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形.故答案为：B.【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴BC所对的圆心角为90°，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝12故答案为：B.【分析】连接OB、OC，易得∠BOC＝90°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：从中任意換出一个球是红球的概率是：3故答案为：D.

【分析】根据概率计算公式计算即可.5．【答案】C【解析】【解答】解析：∵关于x的方程x2∴Δ=(解得m≥−1故答案为：C.【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出不等式，求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：鱼塘中鱼的条数估计为：30÷2.5%=1200故答案为：B.

【分析】利用频率表示概率结合概率公式即可计算.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵点(a+2，2)关于原点的对称点为(4，−b)，

∴a+2=-42=b

∴故答案为：D.

【分析】根据点的坐标关于原点对称的特征：横纵坐标互为相反数，据此即可求解.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵抛物线y=a∴A(−2，y1)关于y又∵a>0，0<1<2，∴0<y故答案为：C.【分析】根据抛物线的对称性可得(2，y1)在抛物线上，然后依据二次函数的增减项解答即可.9．【答案】B【解析】【分析】先根据圆周角定理可得∠COE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可求得CE的长，最后根据垂径定理即可求得结果.

∵∠CDB=30°

∴∠COB=60°

∵CD⊥AB

∴∠OCE=30°

∵OC=3cm

∴CE=32cm

∴10．【答案】A【解析】【解答】解：∵函数图象开口向下且与y轴交于正半轴，

∴a<0，c>0，

∴ac<0，则①不正确，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0)，B(3，0)，

∴二次函数对称轴为：x=1，

∴b=-2a，

∵当x=-1时，a-b+c=0，

∴3a+c=0，则②正确，

∵当x=1时，函数有最大值为：y=a+b+c，

当x=m时，y=am2+bm+c，

∴a+b=am2+bm，则故答案为：A.

【分析】根据函数的图象得到a和c的正负即可判断①；根据题意得到二次函数的对称轴，进而得到b=-2a，根据函数过-1，0即可判断②；根据在x=1时，函数取最大值，即可判断③；根据函数图象即可判断④.11．【答案】(0，2)【解析】【解答】解：令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0得y=-（0+2）2+6=2，

∴抛物线y=-(x+2)2+6与y轴交点的坐标为（0，2）.故答案为：(0，2).【分析】令抛物线y=-(x+2)2+6中的x=0算出对应的函数值，可得该抛物线与y轴交点的坐标.12．【答案】6【解析】【解答】解：如图：∵△ABC为等腰三角形，BC=6，

∴AC=BC=6，

∵以AC的中点O为旋转中心将这个三角形旋转180°，点B落在B'处，∠C=90°，∴

∴AB'=6，AO=CO=3，

∴OB'=OB=62+32=35

【分析】根据旋转的性质得到AB'=6，AO=CO=3，进而利用勾股定理求出OB的长度，即可求解.13．【答案】5【解析】【解答】解：3x2+6x+1=0，

∴x+1故答案为：53

【分析】利用配方法将方程改写为x+1214．【答案】3【解析】【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．∴∠AOD=90°，∠BOC=90∴∠OAB=∠OBA=30∴OD=OA⋅tan30°=23×3∴BD=2，∴阴影部分的面积是：SΔAOD故答案为3+π

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，再根据图形可知阴影部分的面积是SΔAOD15．【答案】96【解析】【解答】解：∵第n行有n个偶数，则前9行有45个正偶数，

∴第45个偶数为90，为第9行最后一个偶数，

∴第10行从左向右的第3个数是96，故答案为：96.

【分析】根据题意得到第n行有n个偶数，则前9行有45个正偶数，即第45个偶数为90，且为第9行最后一个偶数，进而即可求解.16．【答案】解：因式分解得(x−1)(x−6)=0，∴x−1=0或x−6=0，∴x1=1，【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。17．【答案】解：∵拋物线y=x2+(n−3)x+n+1经过原点，∴n=−1．得y=x2−4x∵a=1>0∴这个二次函数的有最小值，当x=2时，y【解析】【分析】根据抛物线过原点得到n+1=0，即可求出n的值，进而得到二次函数解析式，将其改写为顶点式即可求解.18．【答案】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，故小明获胜的概率为39【解析】【分析】先画树状图求出共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，再求概率即可。19．【答案】（1）（1，1）；（0，4）；（2，2）（2）解：由题意知，点B旋转到点B1∴弧长为：90π×4答：点B旋转到点B1的弧长为2π【解析】【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1，1)，B(−4，0)，C(−2，2)，且将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．

∴A11，1，B120．【答案】（1）50-x；202-2x（2）解：由题意可得：x(202−2x)+100(50−x)=6240，解得：x1=31，∵每次最多订购30箱A款洗手液，∴x=20，答：该公司订购20箱A款洗手液.【解析】【解答】解：（1）由题意可得：B款洗手液有（50-x）箱，A款洗手液的进价为200−2(x−1)=(202−2x)元（0<x≤30且x为正整数），；填表如下：型号数量（箱）进价（元/箱）Ax202-2xB50-x100【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；

（2）根据购这批洗手液的总进价为6240元列出方程即可解答.21．【答案】（1）证明：∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴−b2a=2（2）解：∵关于x的方程ax∴抛物线y=ax2+bx−10(a≠0)∵抛物线的对称轴是直线x=2，∴抛物线y=ax2+bx−10(a≠0)∴关于x的方程y=ax【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴为x=2，得到-b2a=2，即可求证；

（2）根据题意得到抛物线y=ax2+bx−10(a≠0)与x轴的一个交点坐标为22．【答案】（1）证明：连接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO=90°，∵OP∥BD，∴∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO，∴∠DOP=∠AOP，在△AOP和△DOP中AO=DO∠AOP=∠DOP，PO=PO，∴∠PDO=∠PAO，∵∠PAO=90°，∴∠PDO=90°，即OD⊥PD，∵OD过O，∴PD是⊙O的切线；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA=PD，∵四边形POBD是平行四边形，∴PD=OB，∵OB=OA，∴PA=OA，∵∠PAO=90°，∴∠APO=∠AOP=45°．答：∠APO的度数为45°．【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质和平行线的性质得到∠DBO=∠AOP，∠BDO=∠DOP，然后根据等腰三角形的性质得到∠DOP=∠AOP，进而利用"SAS"证明△AOP≌△DOP得到：∠PDO=∠PAO=90°，进而即可求证；

（2）由（1）知：△AOP≌△DOP得到：PA=PD，然后根据平行四边形的性质得到PD=OB，进而根据等腰直角三角形的性质即可求出∠APO的度数.23．【答案】（1）解：∵抛物线C1：∴C1的最高点坐标为∵点A(6，1)在抛物线C1∴1=a(6−3)2∴抛物线C1的解析式为：∵点B(0，c)∴当x=0时，c=−（2）解：∵到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包∴点A的坐标范围为(5，1)当经过点(5，1)时，1=−当经过点(7，1)时，1=−∴17∴符合条件的n的整数值为4和5．【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式得到C1的最高点坐标为(3，2)24．【答案】（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形（2）解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°．又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°．∴∠ADO=90°．即△AOD是直角三角形（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．∵∠AOD=190°−α，∠ADO=α−60°，∴190°−α=α−60°．∴α=125°．②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°−(∴α−60°=50°．∴α=110°．③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∴190°−α=50°．∴α=140°．综上所述：当αa的度数为125°，或110°，或140°时，△ABC是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据等腰三角