2024-2025学年新教材高中数学 第六章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质（教师用书）教学实录 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.3.2二项式系数的性质（教师用书）教学实录新人教A版选择性必修第三册一、教学背景

授课内容：二项式系数的性质

授课年级：高中

教材版本：新人教A版选择性必修第三册。

本节课旨在让学生理解并掌握二项式系数的性质，包括二项式系数的对称性、二项式系数和的公式以及二项式展开式中项的系数规律。通过本节课的学习，学生能够运用二项式系数的性质解决实际问题，提高数学思维能力。二、学情分析与内容规划

1.学情分析：学生已经学习了基本的代数知识，对多项式的概念和运算法则有较好的理解，但对于二项式定理的应用和二项式系数的性质认识不足，需要通过具体的例子和练习来深化理解。

2.内容规划：本节课将围绕二项式系数的性质进行教学，包括以下内容：

-复习二项式定理的基本概念和公式；

-引导学生通过实例观察二项式系数的对称性；

-探讨二项式系数和的公式，并通过练习巩固；

-分析二项式展开式中项的系数规律，并运用这些规律解决问题；

-设计相关的课堂练习和小组讨论，以加深学生对二项式系数性质的理解和应用。三、教学难点与重点

1.教学重点：

-二项式系数的对称性：讲解二项式定理中的系数如何呈现对称性，例如在二项式展开式(a+b)^n中，系数C(n,0),C(n,1),...,C(n,n)依次呈现对称排列。

-二项式系数和的公式：强调二项式系数的和等于2的n次方，即C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n，并给出实例，如(1+x)^n展开后的系数和。

-二项式展开式中项的系数规律：介绍如何利用组合数的性质来找出二项式展开式中特定项的系数，例如通过Pascal'sTriangle观察系数的变化规律。

2.教学难点：

-理解二项式系数的对称性：学生可能会对系数如何呈现对称性感到困惑。可以通过具体例子，如(a+b)^3的展开式，展示C(3,0),C(3,1),C(3,2),C(3,3)分别是1,3,3,1，形成对称结构。

-掌握二项式系数和的公式证明：学生对二项式系数和等于2的n次方的证明可能存在难点。可以通过数学归纳法或者通过二项式展开式的几何意义来帮助学生理解，例如用(1+x)^n的展开式在x=1时的值来验证。

-应用二项式系数的规律解题：学生在解决具体问题时，可能难以应用二项式系数的规律。可以通过设计一些针对性强的练习题，如求(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数，引导学生使用组合数公式C(5,3)来求解。四、教学方法与策略

1.教学方法：结合讲授法、探究法和练习法，通过讲解二项式系数的性质，引导学生通过探究活动发现规律，并通过大量练习巩固知识点。

2.教学活动：设计小组合作活动，让学生通过解决具体问题来探究二项式系数的性质；同时，引入竞赛元素，通过课堂小竞赛激发学生的学习兴趣和竞争意识。

3.教学媒体使用：利用多媒体展示二项式系数的图形表示，如Pascal'sTriangle，以及动画演示二项式展开过程，增强直观性；同时，利用在线平台提供额外的练习题和互动测试，帮助学生自主学习。五、教学实施过程

1.导入新课

-方式：通过展示“悖论酒店”的故事，让学生思考逻辑悖论产生的原因。

-目的：激发学生对逻辑思维的兴趣，为二项式系数性质的学习奠定思考基础。

2.讲授新知

-概念讲解：讲解二项式系数的定义和二项式定理的基本形式，例如通过展开(a+b)^2引入C(2,0),C(2,1),C(2,2)的概念。

-演绎推理：通过演绎推理介绍二项式系数的对称性，例如从二项式定理推导出系数对称的规律。

-归纳推理：通过观察Pascal'sTriangle的规律，引导学生归纳出二项式系数的性质。

-逻辑谬误：指出学生可能在理解二项式系数时犯的错误，如混淆组合数的计算方法。

3.巩固练习

-课堂练习：设计计算二项式系数的练习题，如求(x+y)^4展开式中x^2y^2的系数。

-小组讨论：分组讨论如何利用二项式系数的性质解决具体问题，如通过系数和公式解决实际计算问题。

4.深化理解

-案例分析：分析具体的数学问题，如利用二项式系数性质解决概率问题。

-辩论活动：组织学生辩论二项式系数在数学中的应用价值，增强学生运用逻辑思维进行论证的能力。

5.课堂总结

-知识梳理：总结二项式系数的三个主要性质，强调在解题中的应用。

-学生反馈：鼓励学生分享对二项式系数性质的理解，以及在学习过程中的困惑和解决方法。六、教学反思与改进

这节课在引导学生理解二项式系数的性质方面，我觉得通过实例和练习的方式，学生能够较好地掌握对称性和系数和的公式。但是在归纳推理部分，我发现部分学生对Pascal'sTriangle的应用还不够熟练，对二项式系数的规律理解不够深刻。接下来，我计划增加一些互动环节，比如让学生自己构建Pascal'sTriangle并从中发现规律，这样可以增强他们的直观感受。

另外，我也注意到在课堂练习环节，有些学生对于如何运用二项式系数性质解题还存在疑惑。我打算在下一节课专门安排一些时间，让学生针对这一部分内容进行小组讨论，相互解答疑问，同时我会提供更多的练习题供学生课后巩固。

最后，我觉得在课堂总结时，我应该更加注重学生的反馈，不仅仅是知识点的梳理，还要鼓励学生提出自己的疑问和建议，这样有助于我发现教学中可能存在的问题，并及时调整教学策略。七、教学资源拓展

1.拓展资源：

-拓展阅读材料：介绍《离散数学》中组合数学的基本概念，让学生了解二项式系数在更广泛数学领域中的应用。

-数学史资料：提供关于二项式定理的发展历史，包括古代数学家对二项式系数的研究，以及Pascal'sTriangle的起源。

-数学竞赛题目：收集一些涉及二项式系数的数学竞赛题目，如美国数学竞赛（AMC）中的相关问题，供学有余力的学生挑战。

-实际应用案例：介绍二项式系数在概率论、统计物理学、计算机科学等领域的实际应用，如随机事件的概率计算、量子力学中的概率分布等。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读《离散数学》相关章节，加深对组合数学的理解，特别是组合数和二项式系数的关系。

-建议学生查阅数学史资料，了解数学概念的起源和发展，增强对数学文化的认识。

-对于对数学有浓厚兴趣的学生，推荐参加数学竞赛，通过解决实际问题来提高自己的数学能力。

-鼓励学生将二项式系数的知识应用到其他学科中，例如在物理课中探讨概率分布问题，或者在计算机科学中理解算法的效率。

-建议学生通过解决实际问题来巩固二项式系数的知识，例如使用二项式系数来计算投篮命中率的问题，或者分析彩票中奖的概率。

-提醒学生在学习二项式系数时，注意与实际生活联系，如在市场营销中分析产品组合的概率分布，或者在设计实验时考虑各种结果的概率。

-推荐学生阅读一些涉及二项式系数的经典数学论文，如Pascal关于Pascal'sTriangle的工作，以及二项式定理在不同领域的应用研究。

-鼓励学生参与数学社团或研究小组，与其他同学一起探讨二项式系数的深入问题，如二项式系数的最值问题、二项式系数的递推关系等。

-建议学生利用假期时间参加数学夏令营或相关研讨会，拓宽数学视野，与国内外数学爱好者交流学习经验。八、九结语九、作业布置与反馈

作业布置：

亲爱的同学们，为了帮助大家巩固今天课堂上学习的二项式系数的性质，我为大家布置以下作业：

1.练习题：请完成教材第XX页的练习题1、2、3，这些题目涉及二项式系数的对称性、系数和的公式以及展开式中项的系数规律。

2.研究性作业：选择一个你感兴趣的实际问题，如概率计算、产品组合分析等，尝试运用二项式系数的性质解决问题，并撰写一篇简短的报告。

3.小组讨论：与你的小组成员一起，探讨二项式系数在数学和其他学科中的应用，例如物理、计算机科学等，准备在下节课上进行分享。

4.自主学习：阅读教材第XX页关于二项式定理的拓展内容，加深对二项式系数性质的理解。

作业反馈：

在批改大家上次的作业时，我发现了一些共同的问题：

1.在计算二项式系数时，部分同学对组合数的计算方法不够熟练，导致结果错误。请大家在完成练习时，仔细检查计算过程，确保每一步的正确性。

2.有些同学在解决实际问题时，未能正确运用二项式系数的性质，导致解题思路出现偏差。建议大家在解题前，先回顾二项式系数的相关知识，确保解题思路的正确性。

3.在撰写研究报告时，部分同学对问题的分析不够深入，缺乏具体的计算和论证过程。希望大家在撰写报告时，注重逻辑性和条理性，确保分析的深度。

针对以上问题，我给出以下改进建议：

1.加强基础知识的学习，特别是组合数