专题03 圆中的重要模型之圆弧的中点模型解读与提分精练（北师大版）

专题03圆中的重要模型之圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.与垂径定理相关的中点模型 2模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 6模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 13模型4.与托勒密定理相关的中点模型 17 25大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！模型1.与垂径定理相关的中点模型图1图2图31）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB；2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB；2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP，∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8例2．（2023·湖南长沙·校考模拟预测）如图，是⊙的弦，是的中点，交于点．若，，则⊙的半径为．例3．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上的一点，且，①求扇形的面积为；②若，则的长是．

例4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，关于对称的经过所在圆的圆心，已知，点为上的点，则（1）；（2）点到的最大距离是；（3）若点、分别是的中点，则的长为．模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。例1．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023·广东佛山·校考三模）如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，，．(1)求证：；(2)求线段的长；(3)延长至，连接，使的面积等于，求的度数．

例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，(1)求证：；(2)若，，求的长．

例4．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在四边形中，连接，作的外接圆交于点，连接，交于点，．(1)若，求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，为的中点，则的长为______．

模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．证明：1）∵P是中点，∴，∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，例1．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，正六边形内接于，点在上，是的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．例2．（2023春·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（）

A． B． C． D．12例3．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，点是圆上一点，点是的中点，，过点作的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，的半径是3，求的长．例4．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．

模型4.与托勒密定理相关的中点模型图1图21）同侧型:条件：如图1，A为弧BC中点，∠ABC=∠ACB=θ，D为圆上ABC底边下方一点，结论：BD+CD=2AD×cosθ；2）异侧型:条件：如图2，A为弧BC中点，∠ABC=∠ACB=θ，D为圆上ABC底边上方一点，结论：BD-CD=2AD×cosθ；托勒密定理（补充知识）：圆内接四边形的对角线乘积等于对边乘积的和。即：AD×BC=BD×AC+DC×AB。证明：1）同侧型：设AB=AC=m，则BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：AD×BC=BD×AC+DC×AB；即：m×BD+m×CD=2mcosθ×AD；故：BD+CD=2AD×cosθ。特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD+CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=45°）；结论：BD+CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=30°）；结论：BD+CD=AD2）异侧型：设AB=AC=m，则BC=2mcosθ。由托勒密定理可知：BD×AC=AD×BC+DC×AB；即：BD×m=AD×2mcosθ+CD×m；故：BD-CD=2AD×cosθ。特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD-CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=45°）；结论：BD-CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=30°）；结论：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．(1)若，判断射线与的位置关系；(2)求证：．

例3．（2023·九年级北京市陈经纶中学校考阶段练习）阅读下列材料，并完成相应的任务．托勒密定理：托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB•CD+BC•AD＝AC•BD下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．∵∴∠ABE＝∠ACD∴△ABE∽△ACD∴∴AB•CD＝AC•BE∵∴∠ACB＝∠ADE（依据1）∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC即∠BAC＝∠EAD∴△ABC∽△AED（依据2）∴AD•BC＝AC•ED∴AB•CD+AD•BC＝AC•（BE+ED）∴AB•CD+AD•BC＝AC•BD任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：．（请写出）（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，，，是上的三点，其中点是弧的三等分点，且弧大于弧，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河南周口·统考二模）如图，在扇形中，，点为的中点，点为上一动点，点为上一点，且若，则阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，C，D，O在小正方形的顶点上，的半径为1，E是劣弧的中点，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2023·重庆·三模）如图，是半径为6的的直径，是弦，是弧的中点，与相交于点，若为的中点，则的长为（

）A． B． C． D．5．（2023·河南三门峡·统考二模）如图，在扇形中，，，点是中点，点分别为线段上的点，连接，当的值最小时，图中阴影部分的面积为．

6．（2024·广东东莞·九年级校考期末）如图，A，B，C，D是圆上的四个点，点是弧的中点，如果，那么．

7．（2023·安徽安庆·校考二模）已知，如图，点是优弧的中点，，，则的半径是．

8．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接中，，为的中点，于，求证：．

9．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．（1）若，则的长是（结果保留）；（2）若，则．

10．（2023春·浙江金华·九年级校联考期中）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，连接，．过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点．(1)求证：是的中点；(2)求证：；(3)若是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．

11．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，，求的直径．

12．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知是的直径，点是弧的中点，点在的延长线上，连接．若．(1)求证：是的切线；(2)连接．若，，求的长．

13．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，是的直径，点P是弦上一动点（不与点A，C重合），过点P作，垂足为点E，射线交于点F，交过点C的切线于点D．(1)求证：；(2)若，F是的中点，求的长．

14．（2023·广东广州·校考二模）如图，为的外接圆，，，点D为的中点，连接，作的角平分线交于点E．(1)尺规作图：作出线段；（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，求证：；(3)若，求的周长．15．（2023·四川绵阳·统考三模）如图，为的直径，C为上一点，F为过点B的切线上的一点，连接、交于点E，交于点D，．(1)求证：点D为弧的中点；(2)连接，过点D作于点H，交于点G，连接，交于点N，求证：．(3)在（2）的条件下，，，求的半径．16．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图，点是的内心，的延长线与的外接圆和分别相交于点，，连接并延长，分别交，于，．(1)求证：；(2)当为中点，时，求的长；(3)若，求证：．

17．（2024·