2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省鸡西市虎林高级中学、鸡东二中三校联考高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.抛物线x=−2y2的焦点坐标为(

)A.(0,−12) B.(−12,0)2.已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2的直线交椭圆于A，BA.10 B.20 C.30 D.403.已知平面α的一个法向量n1=(1,2,x)，平面β的一个法向量n2=(−2,y,4)，若α//β，则A.−2 B.−4 C.2 D.44.已知圆C1：(x+1)2+(y−1)2=1与圆C2A.1 B.2 C.3 D.45.抛物线C：x2=4y的准线为l，M为C上的动点，则点M到l与到直线2x−y−5=0的距离之和的最小值为(

)A.355 B.4556.已知椭圆y29+x24=1与直线l交于A，B两点，若点P(−1,1)为线段A.9x+4y−13=0 B.9x−4y+13=0

C.4x−9y+13=0 D.4x−9y+3=07.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C在第一象限上的一点A.32 B.3 C.2 8.已知点P是椭圆x29+y25=1上一点，F1A.△F1PF2的面积为3

B.若点M是椭圆上一动点，则MF1D.△F1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知双曲线Γ：x216−y29=1的左、右顶点分别为A，B，右焦点为FA.双曲线Γ的离心率为45 B.双曲线Γ的渐近线方程为y=±34x

C.点F到渐近线的距离为4 D.直线MA10.如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=120°，PD=AD，M，N分别是棱DC，PB的中点，则(

)A.MN=3

B.AB⋅BP=−2

C.平面PMN⊥平面PCD

D.直线11.设O为坐标原点，直线y=−3(x−1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，若直线l为A.p=4 B.|MN|=163

C.以MN为直径的圆与l相切 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C的方程为x27−m−y213.已知向量a=(x,1,−1)，b=(2,1,0)，|a|=214.已知P是椭圆x23+y2=1上动点，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求适合下列条件的曲线的标准方程：

(1)已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l：x=8的距离的比是常数12，记点P的轨迹为曲线C.求曲线C的标准方程；

(2)求过点(4,3)，(−3,1516.(本小题15分)

已知直线l1：x+y−1=0与圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)交于A，B两点，且∠CAB=30°．

(Ⅰ)求实数a的值；

(Ⅱ)若点P为直线l217.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，且AB=2，PA⊥PB.四棱锥P−ABCD的体积为43．

(I)证明：平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．18.(本小题17分)

已知双曲线C：x24−y2=1，M(m,2)，斜率为k的直线l过点M．

(1)若m=0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求k的值；

(2)双曲线C上有一点P，∠19.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且AF1⋅AF2=0，动直线l与椭圆交于P，Q两点；当直线l过焦点且与x轴垂直时，|PQ|=2．

(1)求椭圆C的方程；

(2)参考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BD

10.BCD

11.BC

12.(3,7)

13.1

14.215.解：(1)动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离和P到定直线l：x=8的距离的比是常数12，

(x−2)2+y2|8−x|=12，即2(x−2)2+y2=|8−x|，

两边平方得4(x2−4x+4+y2)=64−16x+x2，

整理得16.解：(Ⅰ)将圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)可化为(x−a)2+(y−1)2=a2+1，

所以其圆心C(a,1)，半径r=a2+1，

作CD⊥AB于点D，

由垂径定理可得D为AB的中点，

由∠CAB=30°可得CD=12AC=12r，

又CD=|a|1+1=|a|2=a2+12，

解得a=1；

(Ⅱ)由(1)17.解：(I)证明：取AB的中点O，连接OP，因为AB=2，PA⊥PB，

所以PO=12AB=1，

又四棱锥P−ABCD的底面是正方形，

所以SABCD=22=4，

设P到平面ABCD的距离为ℎ，

则VP−ABCD=13ℎSABCD=13×ℎ×4=43，

所以ℎ=1，

所以PO=ℎ，即PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD；

(Ⅱ)取CD的中点，连接OE，则OE/​/BC，即OE⊥AB，

如图建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1,2,0)，D(−1,2,0)，

所以DC=(2,0,0)，PC=(1,2,−1)，

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥DCn⊥PC，则n⋅DC=2x=0n18.解：(1)当m=0时，M(0,2)，

则直线l的方程为y=kx+2，

当k≠±12时，联立方程组x24−y2=1y=kx+2，

得(1−4k2)x2−16kx−20=0，

由直线和双曲线相切的条件，可得Δ=(−16k)2−4⋅(1−4k2)⋅(−20)=0，

解得k=±52；

双曲线C：x24−y2=1的渐近线为y=±12x，

所以当k=±12时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．

综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时k=±12或k=±519.解：(1)易知椭圆C的上顶点A(0,b)，左，右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c