精-品解析：广东省深圳市龙岗区知新学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（解析版）

第1页/共1页2024-2025学年广东省深圳市龙岗区知新学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（每小题3分，共24分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c＝0 B.x2﹣4x+5＝0C.+x﹣2＝0 D.（x﹣1）2+y2＝3【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：A、该方程中，当a＝0时，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、x2﹣4x+5＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C、该方程属于分式方程，故本选项错误；D、该方程中含有2个未知数，它不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键.2.关于x的一元二次方程(2－a)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a的值为（）A.2 B.0 C.2或－2 D.－2【答案】D【解析】【分析】把x=0代入原方程即可求解.【详解】把x=0代入原方程得a2－4＝0，解得a=±2，∵2-a≠0，故a≠2，故a=-2,选D.【点睛】此题主要考查方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的二次项系数不为零.3.一元二次方程，配方后可变形为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】解：移项得：x2-8x=1，配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，故选：A．【点睛】本题主要考查解一元二次方程－配方法，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．4.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AC＝BD时，它是矩形 B.当AC⊥BD时，它是菱形C.当∠A＝60°时，它是菱形 D.当AB＝BC，AC＝BD时，它是正方形【答案】C【解析】【分析】根据特殊平行四边形的判定即可求解.【详解】A.当AC＝BD时，对角线相等，它是矩形，正确；B.当AC⊥BD时，对角线垂直，它是菱形，正确；C.当∠A＝60°时，不一定是菱形，故错误；D.当AB＝BC，邻边相等，AC＝BD时，对角线相等，它是正方形，正确；故选C【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是熟知特殊平行四边形的判定定理.5.国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可．【详解】设有x个人参加聚会，根据题意可得：，所以，解得，（不合题意舍去），所以参加聚会的人数是有13人．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键．6.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A. B.且C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题．本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴且，解得且，故选：D．7.如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，得出关于的一元二次方程，从而得到答案．【详解】解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，，故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可．【详解】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比．“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值，故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）9.若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为________．【答案】2024【解析】【分析】将方程的解代入方程得到，再代入代数式求值即可．【详解】解：将代入方程，得，∴，∴，故答案为：2024．【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，已知式子的值求代数式的值，正确理解一元二次方程的解是解题的关键．10.在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球___________．【答案】14个【解析】【详解】设红球有x个，根据题意得，，解得x=14．经检验，x=14是方程的解，所以盒子中大约有红球14个.故答案为：14个．【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．11.已知一元二次方程有两个实数根，点在第_____象限．【答案】四【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程有两个实数根，得出，结合，得出，即可作答．【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，∴点的坐标为，∴点在第四象限；故答案为：四．12.如图，某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行有菱形20个，每个菱形的边长为25cm．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°，校门部分打开时，每个菱形原来120°的角缩小为60°，则校门打开了______cm．【答案】【解析】【分析】分别求出两个菱形对角线BD，的长度即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接AC交BD于O，连接，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴，∠AOB=90°，BD=2OB，∴∠ABO=30°，∴，∴，∴，∵四边形是菱形，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴校门关闭时，校门的长度为，校门打开时，校门的长度为，∴校门打开了，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知菱形的性质是解题的关键．13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°,得到△MNC,连接BM,则BM的长是__.

【答案】1+【解析】【分析】试题分析：首先考虑到BM所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BM，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AM，∠CAM=60°，故△ACM是等边三角形，可证明△ABM与△CBM全等，可得到∠ABM=45°，∠AMB=30°，再证△AFB和△AFM是直角三角形，然后在根据勾股定理求解【详解】解：连结CM，设BM与AC相交于点F，如下图所示，∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°∴∠BCA=∠BAC=45°∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ANM重合，∴∠BAC=∠NAM=45°，AC=AM又∵旋转角为60°∴∠BAN=∠CAM=60°，∴△ACM是等边三角形∴AC=CM=AM=2在△ABM与△CBM中，∴△ABM≌△CBM（SSS）∴∠ABM=∠CBM=45°，∠CMB=∠AMB=30°∴△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°∴∠AFB=∠AFM=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF=又在Rt△AFM中，∠AMF=30°，∠AFM=90°FM=AF=∴BM=BF+FM=1+故本题的答案是：1+点评：此题是旋转性质题，解决此题，关键是思路要明确：“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用三、解答题14.解方程：（1）（2）【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）利用配方法求解；（2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解．【小问1详解】解：移项，得，配方得：，即，，，解得：，；【小问2详解】解：，移项，得，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．15.先化简，再求值：，其中．【答案】，1【解析】【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．【详解】解：当时，原式．16.劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容．某校为加强家政学习，倡议学生在家帮助父母做力所能及的家务，某调查小组随机抽取本校部分学生进行调查，调查问卷如下表所示，并绘制了下面两幅不完整的统计图．平均每周做家务时间的调查表设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（）（单选）A．0≤x<1B．1≤x<2C．2≤x<3D．x≥3请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有_________人；（2）补全条形统计图：并估计该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数；（3）学校准备从做家务表现突出的4人中评选2名学生授予“家务能手”称号，这4人中有2名男生，2名女生，请用画树状图或列表法求出授予称号的2名学生恰好都是女生的概率．【答案】（1）50；（2）补图见解析，1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数为832人；（3）画树状图或列表法见解析，【解析】【分析】（1）根据选择D的人数和所占的百分比即可求出总人数．（2）计算出选择的人数，求出每周做家务时间不少于2小时的人数的百分数乘以即可求出．（3）用画树状图或列表法列出所有结果，根据条件用概率公式即可求出．【小问1详解】接受调查的总人数为：（人）．【小问2详解】C区域的人数为：（人），补全条形图如图：该校1600名学生中平均每周做家务时间不少于2小时的人数为：（人）【小问3详解】（3）用男1和男2分别表示两名男生，用女1和女2分别表示两名女生，根据题意，列表如下：一二男1男2女1女2男1（男2，男1）（女1，男1）（女2，男1）男2（男1，男2）（女1，男2）（女2，男2）女1（男1，女1）（男2，女1）（女2，女1）女2（男1，女2）（男2，女2）（女1，女2）由表可知，从人中评选名学生，总共有种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中所评选名学生都是女生的结果有两种，∴（授予称号的名学生恰好都是女生）．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解此题的关键．17.盐城著名旅游“网红打卡地”大洋湾景区在年五一小长假期间，共接待游客达万人次，在年五一小长假期间接待游客达万人次．（1）求大洋湾景区至年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率；（2）大洋湾景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯价格每降低元，则平均每天可多销售杯，年五一小长假期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元利润额？【答案】（1）（2）当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额．【解析】【分析】（1）设年平均增长率为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；（2）设每杯售价定为元，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．【小问1详解】解：设年平均增长率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），答：大洋湾景区至年五一小长假期间接待游客人次的年平均增长率为；小问2详解】设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额，由题意得：，整理得：，解得：，，∵让顾客获得最大优惠，∴．答：当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天元的利润额．【点睛】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．18.如图，在矩形中，BD为对角线，点E，F是线段BD上的点，且，连接．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，当AD的长为何值时，为菱形？并说明理由．【答案】（1）见解析（2），理由见解析【解析】【分析】（1）证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证；（2）由为菱形可推出，即可得．【小问1详解】解：∵四边形是矩形∴即∴四边形为平行四边形【小问2详解】解：当AD=时，为菱形，理由如下：若为菱形，则∴即∵【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形和菱形的性质等．掌握矩形的性质和菱形的性质是解题关键．19.材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，；材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______．②已知实数，满足：，（），则_______．（2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围．【答案】（1）①1.5，；②（2）【解析】【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．（1）①根据根与系数的关系解答；②根据题意，得到实数，是方程两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；（2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可．【小问1详解】解：①一元二次方程的两根分别为，，，，故答案为：1.5，；②实数，满足：，，，是方程的解，∴a+b=−4，，；故答案：；【小问2详解】解：实数、、满足：，，是方程的解，，，，，，解得，，．20.在一堂数学实践课上，赵老师给出了下列问题：（1）【提出问题】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，．则______．（2）【探究规律】在图2中，E是正方形一边上的中点，P是上的中点，则称是正方形的“双中线”，若．则的长为______（按图示辅助线求解）；（3）在图3中，是矩形的“双中线”，若，请仿照（2）中的方法求出的长，并说明理由；（4）【拓展应用】在图4中，是平行四边形的“双中线”，若．