2024-2025学年高中数学第二章平面向量课时作业142.2.1向量的加法含解析北师大版必修4

课时作业14向量的加法时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知下列各式：①eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))；②(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).其中结果为0的个数是(B)A．1B．2C．3D．4解析：由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B.2.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|等于(B)A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)解析：|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，故选B.3．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD肯定是(D)A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四边形解析：在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，所以四边形ABCD是平行四边形．4．给出下列说法：①在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；③若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)).其中说法正确的个数为(C)A．0B．1C．2D．3解析：由向量加法的多边形法则，可知①正确．对于②，当A，B，C三点不共线时，能构成三角形；当A，B，C三点共线时，不能构成三角形．故②不正确．③为向量加法的平行四边形法则，故③正确．5．已知P为△ABC所在平面内一点，当eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))成立时，点P位于(D)A．△ABC的边AB上 B．△ABC的边BC上C．△ABC的内部 D．△ABC的外部解析：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(PC,\s\up6(→))是以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))为邻边的平行四边形的对角线．即▱PACB的对角线，所以P点在△ABC的外部．所以选D.6.如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，且|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是(D)A．等腰梯形 B．正方形C．菱形 D．矩形解析：由已知得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，∴该平行四边形的对角线相等，所以该平行四边形是矩形．7．若正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于(D)A．0 B．3C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，∴a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→)).∴|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).8.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))解析：在平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，选项A错误；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))≠eq\o(DA,\s\up6(→))，选项B错误；eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，选项C正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，选项D错误．二、填空题(每小题5分，共15分)9．在平行四边形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.解析：因为eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.10．已知a表示“向北走5km”，b表示“向西走5km”，则a＋b的方向是西北，|a＋b|＝5eq\r(2)km.解析：如图所示，a＋b的方向为西北方向，|a＋b|＝5eq\11．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，且∠AOB＝60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3).解析：设eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形OACB为菱形，且∠AOB＝60°.∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3).三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)若正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c.试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小．解：依据平行四边形法则可知，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).延长AC，在AC的延长线上作eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则a＋b＋c＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))(如图所示)．∴|a＋b＋c|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝2eq\r(12＋12)＝2eq\r(2).13．(13分)如图所示，已知随意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).证明：连接EF.如图．在四边形DEFC中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))，①在四边形EABF中，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).②由①＋②得：eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)))＋(eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，因为E，F分别为AD，BC的中点，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0，eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝0.故2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)).——实力提升类——14．(5分)若向量a，b满意|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是4；当非零向量a，b(a，b不共线)满意|a|＝|b|时，能使a＋b平分a，b的夹角．解析：由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．15．(15分)一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5km/h.(1)若此船沿着与水流垂直的方向行驶，你知道船的实际航行速度的大小与方向吗？(2)假如此船实际向南偏西30°方向行驶2km，然后又向西行驶2km，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：(1)如图，用eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流的速度，用eq\o(OB,\s\up6(→))表示船在静水中的航行速度，则船的实际航行速度是水流速度与船在静水中的速度的和速度．依据平行四边形法则，以OA和OB为邻边作▱OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OC,\s\up6(→))表示水流速度与船在静水中的速度的和速度，即船的实际航行速度．由题意知OA⊥OB且OA＝OB，则▱OACB为正方形，所以OC＝eq\r(2)OA＝5eq\r(2)，且∠AOC＝45°.所以船的实际航行速度的大小为5eq\(2)如图，用eq\o(AC,\s\up6(→))表示船的第一次位移，用eq\o(CD,\s\up6(→))表示