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文档简介
2023届山东省无棣二中高三下学期第十二次重点考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合,,则集合A. B. C. D.2.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.3.等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A.-2 B.2 C.4 D.74.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%5.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.6.已知实数x,y满足,则的最小值等于()A. B. C. D.7.二项式的展开式中,常数项为()A. B.80 C. D.1608.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()A.7 B.6 C.5 D.49.()A. B. C. D.10.已知实数、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.11.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知,,则等于().A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.14.如图,在三棱锥A﹣BCD中,点E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD为正三角形,点M,N分别在AE,CD上运动(不含端点),且AM=CN,则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时,三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.15.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___16.已知函数是定义在上的奇函数,且周期为,当时,,则的值为___________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的内角的对边分别为,且满足.(1)求角的大小;(2)若的面积为,求的周长的最小值.18.(12分)已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围;(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.19.(12分)在中,角所对的边分别是,且.(1)求;(2)若,求.20.(12分)已知函数,.(1)当时,求函数的值域;(2),,求实数的取值范围.21.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.22.(10分)如图,在四棱锥中,,,,底面为正方形,、分别为、的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
先求出集合和它的补集,然后求得集合的解集,最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A,,解得或,故.对于集合B,,解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是:先将二次项系数化为正数,且不等号的另一边化为,然后通过因式分解,求得对应的一元二次方程的两个根,再利用“大于在两边,小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.2.D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.3.B【解析】
在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得,再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为,则则故选:B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差,属于基础题.4.D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.5.D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.6.D【解析】
设,,去绝对值,根据余弦函数的性质即可求出.【详解】因为实数,满足,设,,,恒成立,,故则的最小值等于.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质,考查了运算能力和转化能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.A【解析】
求出二项式的展开式的通式,再令的次数为零,可得结果.【详解】解:二项式展开式的通式为,令,解得,则常数项为.故选:A.【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解,关键是熟练应用二项展开式的通式,是基础题.8.C【解析】
由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算.【详解】的二项展开式中二项式系数和为,.故选:C.【点睛】本题考查二项式系数的性质,掌握二项式系数性质是解题关键.9.A【解析】
分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.10.C【解析】
作出不等式组表示的平面区域,作出目标函数对应的直线,结合图象知当直线过点时,取得最大值.【详解】解:作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,如下图表示:当目标函数经过点时,取得最大值,最大值为.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划等基础知识;考查运算求解能力,数形结合思想,应用意识,属于中档题.11.C【解析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.12.B【解析】
由已知条件利用诱导公式得,再利用三角函数的平方关系和象限角的符号,即可得到答案.【详解】由题意得,又,所以,结合解得,所以,故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.3﹣4i【解析】
计算得到z2=(2+i)2=3+4i,再计算得到答案.【详解】∵z=2+i,∴z2=(2+i)2=3+4i,则.故答案为:3﹣4i.【点睛】本题考查了复数的运算,共轭复数,意在考查学生的计算能力.14.32π【解析】
设ED=a,根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED.AM=x,根据三棱锥的体积公式,运用基本不等式,可以求出AM的长度,最后根据球的表面积公式进行求解即可.【详解】设ED=a,则CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时,当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值,设AM=x.则四面体C﹣EMN的体积(a﹣x)a×xax(a﹣x),当且仅当x时取等号.解得a=2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积=4πa2=32π.故答案为:32π【点睛】本题考查了基本不等式的应用,考查了球的表面积公式,考查了数学运算能力和空间想象能力.15.【解析】
根据所给表达式,结合奇函数性质,即可确定函数对称轴及周期性,进而由的解析式求得的值.【详解】满足,由函数对称性可知关于对称,且令,代入可得,由奇函数性质可知,所以令,代入可得,所以是以4为周期的周期函数,则当时,所以,所以,故答案为:.【点睛】本题考查了函数奇偶性与对称性的综合应用,周期函数的判断及应用,属于中档题.16.【解析】
由题意可得:,周期为,可得,可求出,最后再求的值即可.【详解】解:函数是定义在上的奇函数,.由周期为,可知,,..故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的基本性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)因为,所以,由余弦定理得,化简得,可得,解得,又因为,所以.(6分)(2)因为,所以,则(当且仅当时,取等号).由(1)得(当且仅当时,取等号),解得.所以(当且仅当时,取等号),所以的周长的最小值为.18.(1);(2)【解析】
(1)首先通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】(1)因为函数定义域为,即恒成立,所以恒成立由单调性可知当时,有最大值为4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值为.当且仅当,,时,等号成立【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.(1)(2)【解析】
(1)根据正弦定理到,得到答案.(2)计算,再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)由,可得,因为,所以,所以.(2),又因为,所以.因为,所以,即.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理,意在考查学生的计算能力.20.(1);(2).【解析】
(1)将代入函数的解析式,将函数的及解析式变形为分段函数,利用二次函数的基本性质可求得函数的值域;(2)由参变量分离法得出在区间内有解,分和讨论,求得函数的最大值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1)当时,.当时,;当时,.函数的值域为;(2)不等式等价于,即在区间内有解当时,,此时,,则;当时,,函数在区间上单调递增,当时,,则.综上,实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题,利用绝对值的应用将函数转化为二次函数,结合二次函数的性质是解决本题的关键,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.21.(1);(2)或.【解析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,,,设,,,,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.22.(1)见解析;(2).
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