第13讲 立方根（5种题型）（解析版）

第13讲立方根（5种题型）【知识梳理】一、立方根的定义如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算.二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.三、立方根的性质要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.【考点剖析】题型一、立方根的概念 例1、下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．是的立方根C．立方根等于本身的数只有0和1 D．【答案】D；【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1.【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同；.【变式1】我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；（2）若与互为相反数，求1﹣的值．【答案】解：（1）∵2+（﹣2）=0，而且23=8，（﹣2）3=﹣8，有8﹣8=0，∴结论成立；∴即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的（2）由（1）验证的结果知，1﹣2x+3x﹣5=0，∴x=4，∴1﹣=1﹣2=﹣1．【变式2】已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【点评】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．【变式3】已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．【分析】（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c的值，代入即可求出a+b的值；（2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2或a＝﹣5，b＝2，∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15或﹣7．【点评】本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键．题型二、立方根的计算 例2、求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（5）【答案与解析】解：（1）（2）（3）（4）（5）【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.【变式】计算：（1）______；（2）______；（3）______．（4）______.【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）.题型三、利用立方根解方程例3、求下列各式中x的值：（1）3（x﹣1）3=24．（2）（x+1）3=﹣64．【思路点拨】先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．【答案与解析】解：（1）3（x﹣1）3=24，（x﹣1）3=8，x﹣1=2，x=3．（2）开立方得：x+1=﹣4，解得：x=﹣5．【总结升华】本题是用开立方的方法解一元三次方程，要灵活运用使计算简便．【变式1】（2022·浙江台州·七年级期中）求下列各式中x的值：【答案】x＝﹣5【分析】根据立方根定义求解即可；解：开立方得：＝﹣3，解得：x＝﹣5．【变式2】求出下列各式中的：（1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______；（3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______．【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3．题型四、立方根实际应用例4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积.【答案与解析】解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为，可列方程解得设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6.答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长4.【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合.【变式1】把一个长为6cm，宽为4cm，高为9cm的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长．【分析】首先根据长方体的体积公式求出铁块的总体积，然后根据正方体的体积公式求出正方体铁块的棱长．【解答】解：设正方体铁块的棱长为a，根据题意，长方体铁块的体积为6×4×9＝216，前后体积不变，故有a3＝216，解得a＝6．答：锻造后正方体铁块的棱长为6cm．【点评】本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题，解决本题的关键是理解熔化前后总体积不变，需注意立方体的棱长应是体积的三次方根．题型五：立方根小数点位数移动规律例5.如果＝3.9522，则＝395.22；＝39.522，则x＝1562；如果＝2.872，＝1.3333，则＝0.2872；＝﹣1333.3，则x＝﹣2370000000．【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．【解答】解：如果＝3.9522，则＝395.22，＝39.522，则x＝1562；如果＝2.872，＝1.3333，则＝0.2872；＝﹣1333.3，则x＝﹣2370000000；故答案为：395.22，1562；0.2872，﹣2370000000．【点评】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．【变式1】（2022·浙江台州·七年级期中）已知为整数，为计算它的值，请你思考并回答下列问题.(1)整数1至9中，立方后，个位数字为7的是；(2),,由此可知：是位数；(3)计算，，，再求的值.【答案】(1)3(2)两(3)73【分析】（1）根据偶数的立方的个位为偶数可排除偶数，再由5的立方的个位为5可排除5，1的立方的个位为1可排除1，3的立方的个位为7，7的立方的个位为3可排除7，9的立方的个位为9可排除9，即可得出答案；（2）根据题意可得，即可得出为两位数；（3）分别计算603，703，803，判断的范围即可求解．（1）∵偶数的立方的个位为偶数，5的立方的个位为5，1的立方的个位为1，3的立方的个位为7，7的立方的个位为3，9的立方的个位为9，∴满足条件的数是3，故答案为：3；（2）∵1000＜389017＜1000000，∴，∴为两位数，故答案为：两；（3）∵603=216000，703=343000，803=512000，∴，∴=73．【点睛】本题考查实数的相关性质，解题的关键是熟练掌握立方根的计算．【变式2】先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）我们知道，，那么，请你猜想：59319的立方根是_______位数（2）在自然数1到9这九个数字中，________，________，________．猜想：59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是________．（3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，，由此可确定59319的立方根的十位数字是________，因此59319的立方根是________．（4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？【答案】（1）两；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根据夹逼法和立方根的定义进行解答；（2）先分别求得1至9中奇数的立方，然后根据末位数字是几进行判断即可；（3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可；（4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【详解】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是两位数；（2）∵125，343，729，∴59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是9；（3）∵，且59319的立方根是两位数，∴59319的立方根的十位数字是3，又∵59319的立方根的个位数字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是两位数；∵125，343，729，∴103823的个位数字是3，则103823的立方根的个位数字是7；∵，且103823的立方根是两位数，∴103823的立方根的十位数字是4，又∵103823的立方根的个位数字是7，∴103823的立方根是47．【点睛】考查了立方根的概念和求法，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．【变式3】观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2）已知，，则_____；______．（3），，，……小数点的变化规律是_______________________．（4）已知，，则______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1），，，……，，，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2）已知，，则；；故答案为：12.25；0.3873；（3），，，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2022秋•温州期末）下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8没有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．【解答】解：A、根据平方根的定义可知4的平方根是±2，该选项不符合题意；B、根据立方根的定义可知﹣8的立方根是﹣2，该选项不符合题意；C、根据立方根的定义可知8的立方根是2，该选项不符合题意；D、根据算术平方根的定义可知4的算术平方根是2，该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．2．（2022秋•义乌市校级期中）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3【分析】根据立方根的定义，所求数的被开方数的小数点是的被开方数的小数点向右移动了三位得到的，所以所求数的值是的10倍．【解答】解：∵≈2.872，∴约等于28.72．故选：A．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．3．（2021秋•莲都区期末）实数x满足x3＝71，则下列整数中与x最接近的是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用立方根的意义与有理数的立方的意义对每个选项进行逐一运算，通过比较结果即可得出结论．【解答】解：∵x3＝71，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，∴43与x3最接近，∴与x最接近的是4，故选：B．【点评】本题主要考查了立方根的意义，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．4．（2018秋•拱墅区月考）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（）A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出x、y的值，再代入求出即可．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，即x＝±2，∵﹣64的立方根是y，∴y＝﹣4，当x＝2时，x+y＝2+（﹣4）＝﹣2，当x＝﹣2时，x+y＝﹣2+（﹣4）＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查了平方根和立方根，解题的关键能够根据平方根和立方根的定义是求出xy的值．5．（2015秋•龙湾区校级期中）﹣125的立方根是（）A．±5 B．5 C．﹣5 D．没有意义【分析】根据立方根的定义计算即可．【解答】解：＝﹣5．故选：C．【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．二．填空题（共9小题）6．（2018秋•湖州期中）（﹣8）2的立方根是4．【分析】先求出（﹣8）2，再利用立方根定义即可求解．【解答】解：∵（﹣8）2＝64，64的立方根是4，∴（﹣8）2的立方根是4．故答案4．【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，读作“三次根号a”．其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．7．（2022秋•上城区校级期中）＝3，的算术平方根是．【分析】由立方根，算数平方根的概念即可计算．【解答】解：＝3，∵＝3，∴的算数平方根是，故答案为：3，．【点评】本题考查立方根，算数平方根的概念，关键是掌握：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：；如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．8．（2022秋•苍南县期末）如图，有一个体积为64cm3的魔方，则魔方的表面积为96cm2．【分析】根据题意先求出棱长，然后由表面积计算公式求解即可．【解答】解：∵体积为64cm3的魔方，∴棱长为4cm，∴表面积为：4×4×6＝96cm2，故答案为：96．【点评】题目主要考查正方体的体积及表面积的计算方法，熟练掌握基础知识点是解题关键．9．（2022秋•瑞安市期中）﹣8是a的一个平方根，则a的立方根是4．【分析】根据平方根与平方的互逆关系求得a，再根据立方根的定义求得最后结果．【解答】解：∵﹣8是a的一个平方根，∴a＝（﹣8）2＝64，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了平方根与立方根的定义，关键是根据平方根与平方的互逆关系求得a的值．10．（2022秋•武义县期末）一个体积为8cm3的正方体，其棱长是2cm．【分析】根据正方体的体积公式和立方根的定义得到＝2．【解答】解：＝2，所以体积为8cm3的正方体，其棱长是2cm．故答案为2．【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．11．（2022秋•下城区校级月考）计算：＝﹣5；的平方根＝±2．【分析】利用立方根的定义以及算术平方根与平方根的定义求解即可．【解答】解：＝﹣5；∵＝4，4的平方根为±2，∴的平方根＝±2．故答案为：﹣5，±2．【点评】本题考查了立方根、算术平方根与平方根，熟记定义是解题的关键．12．（2022秋•临平区月考）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．则a＝5，b＝2．【分析】根据立方根的定义可得，4a+7＝33，即可求出a的值，根据算术平方根的定义可得2a+2b+2＝42，即可算出b的值，代入计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，4a+7＝33，解得：a＝5，2a+2b+2＝42，解得：b＝2，故答案为：5，2．【点评】本题主要考查了立方根及算术平方根，熟练掌握立方根及算术平方根的定义进行计算是解决本题的关键．13．（2022秋•宁海县校级期中）若＝3，且（y﹣2x+1）2+＝0，则x+y+z的值为83．【分析】根据立方根的定义，偶次方、算术平方根的非负性可求出x、y、z的值，再代入计算即可．【解答】解：∵＝3，∴x＝27，又∵（y﹣2x+1）2+＝0，∴y﹣2x+1＝0，z﹣3＝0，解得y＝53，z＝3，∴x+y+z＝27+53+3＝83，故答案为：83．【点评】本题考查立方根，偶次方、算术平方根的非负性，理解立方根算术平方根的定义，掌握偶次方、算术平方根的非负性是正确解答的前提．14．（2022秋•西湖区校级期中）a+3的算术平方根是3．b﹣2的立方根是2，则a+3b的算术平方根为6．【分析】先根据算术平方根和立方根的定义求出a、b的值，再代入计算可得．【解答】解：∵a+3的算术平方根是3，∴a+3＝9，∴a＝6，∵b﹣2的立方根是2，∴b﹣2＝8，∴b＝10，则＝＝＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查立方根和算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义．三．解答题（共7小题）15．（2021秋•义乌市期末）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【解答】解：（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【点评】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．16．（2020秋•下城区校级期中）若实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求+的平方根．【分析】先根据平方根的定义得到a+9＝25，解得a＝16，再利用立方根的定义得到2b﹣a＝﹣8，则可求出b＝4，接着计算出+＝6，然后根据平方根的定义求解．【解答】解：∵实数a+9的一个平方根是﹣5，∴a+9＝25，解得a＝16，∵2b﹣a的立方根是﹣2，∴2b﹣a＝（﹣2）3＝﹣8，即2b﹣16＝﹣8，解得b＝4，∴+＝+＝4+2＝6，∴6的平方根为±，即+的平方根为±．【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．也考查了平方根．17．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．【分析】（1）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可；（2）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可．【解答】解：（1）满足题意的值为：a＝1，b＝﹣27（答案不唯一）；（2）满足题意的值为：a＝，b＝﹣（答案不唯一）．【点评】此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．【分析】根据题意知大正方体的体积为64cm3，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积．【解答】解：根据题意大正方体的体积为16×4＝64cm3，则大正方体的棱长为：＝4cm