河北省石家庄市灵寿中学 高中数学综合卷二

数学测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图集合A={2,3,4,5,6,8}，B={1,3,4,5,7}，C={2,4,5,7,8,9}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,4,5,8}B.{2,8}C.{2,6,8}D.{1,3,6}2．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（） B． C． D．3．下列命题正确的是（）A．直线：，：，的充分条件是；B．平面截圆锥所得的截面是圆；C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件；D．棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等.4.已知向量，，，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.5.已知椭圆(a>b>0),过点P(-3,0)且方向为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,若点P在直线上,则这个椭圆的离心率为()A. B. C. D.6．的有理项共有（）项A．4 B．5 C．6 D．87.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．188.是定义在上的可导函数，且满足，对任意实数，，若，则必有（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选的对得3分，有选错的得0分.9.年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（）A.当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系B.由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米C.曲线与都经过点D.模型回归曲线的拟合效果比模型的好10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（）A．异面直线､所成角为定值B．C．的面积与的面积相等D．三棱锥的体积为定值11.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.的图象关于对称 D.在上的最大值是112．已知函数，则以下结论正确的是（）A．是的极大值点 B．方程有实数解C．函数有且只有一个零点 D．存在实数，使得方程有4个实数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.14.党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________.15.已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.16.三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是________；它的外接球的表面积是________.四、解答题：本题共6分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4x﹣3y+5＝0垂直；②直线的一个方向向量为＝（﹣4，3）；③与直线3x+4y+2＝0平行．已知直线l过点P（1，﹣2），_____．（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆x2+y2＝5相交于P，Q，求弦长|PQ|．18.（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得,并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．19.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.(1)求证：⊥平面；(2)求二面角余弦值的大小；(3)求点到平面的距离．20.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成木为100万元，每生产x千件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元），每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?21．（12分）某大学生命科学学院为激发学生重视和积极参与科学探索的热情和兴趣，提高学生生物学实验动手能力，举行生物学实验技能大赛．大赛先根据理论笔试和实验操作两部分进行初试，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有理论笔试和实验操作两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的比赛．在初试部分，甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论笔试与实际操作两项考试，谁获得下一轮比赛的可能性最大？（2）这三人进行理论笔试与实际操作两项考试后，求恰有两人获得下一轮比赛的概率．22.已知函数，，.（1）求函数的极值点；（2）若时，求证：.数学测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图集合A={2,3,4,5,6,8}，B={1,3,4,5,7}，C={2,4,5,7,8,9}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,4,5,8}B.{2,8}C.{2,6,8}D.{1,3,6}【答案】B2．经统计某射击运动员随机命中的概率可视为，为估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率，现采用随机模拟的方法，先由计算机产生0到9之间取整数的随机数，用0，1，2表示没有击中，用3，4，5，6，7，8，9表示击中，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7625，0283，7150，6857，0346，4376，8658，7855，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根据以上数据，则可估计该运动员射击4次恰好命中3次的概率为（） B． C． D．【答案】C．【分析】首先确定古典概型问题，进一步利用关系式的应用求出结果．解：根据题意，射击20次，命中3次的有7次，故P＝．即该运动员射击4次恰好命中3次的概率为．3．下列命题正确的是（）A．直线：，：，的充分条件是；B．平面截圆锥所得的截面是圆；C．设，，则“且”是“”的必要而不充分条件；D．棱台的上下底面可以不相似，但棱长一定相等.【答案】A【分析】对于A，根据直线平行进行计算得出的值并进行充要条件的判断；对于B，平面和圆锥的不同位置关系会得到不同的截面；对于C，根据必要而不充分条件的定义进行判断；对于D，根据棱台的定义进行判断即可.【详解】对于A：直线的斜率为，的斜率为，若，有，得.经验证时两直线不重合.故，.故A正确；对于B：只有当截面垂直与圆锥的中轴线段并与之相交时，截面的形状为圆.否则截面为椭圆或曲线或直线.故B错误；对于C：若“且”可推出“”正确，而“”无法得出“且”，故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误.对于D：棱台的上、下底面一定相似，侧棱长不一定相等，故D错误.故选：A.【点睛】结论点睛：本题主要考查充分和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．4.已知向量，，，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出，，，代入我们易求出向量与的夹角．【详解】解：，，，设向量、的夹角为，则，又，得，故选：.【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属于中档题．5.已知椭圆(a>b>0),过点P(-3,0)且方向为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,若点P在直线上,则这个椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】A【分析】由入射光线所在直线的方向向量求出反射光线所在直线的斜率，从而可得反射光线所在直线的方程，令，得，结合准线方程可得，进而可得结果.【详解】如图所示,设过点且方向为的直线为,则，直线方程为，即与联立,可得，由光线反射的对称性知，直线方程为，即，令，得，又，则，所以椭圆的离心率，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．6．的有理项共有（）项A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先求得二项式的通项公式，再根据有理项求解.【详解】的通项公式为：，，，，所以有理项共有6项，故选：C7.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A．21 B．20 C．19 D．18【答案】B．解：设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴Sn＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，Sn达到最大值400．故选：B．8.是定义在上的可导函数，且满足，对任意实数，，若，则必有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据是定义在上的可导函数，且满足，构造函数，研究其单调性即可.【详解】因为是定义在上的可导函数，且满足，所以令，，所以在R上是减函数.因为，所以，即.故选：D【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选的对得3分，有选错的得0分.9.年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年月至年月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码分别对应年月年月)根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为和，并得到以下一些统计量的值：注：是样本数据中的平均数，是样本数据中的平均数，则下列说法正确的是（）A.当月在售二手房均价与月份代码呈负相关关系B.由预测年月在售二手房均价约为万元/平方米C.曲线与都经过点D.模型回归曲线的拟合效果比模型的好【答案】BD【解析】对于选项A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，故A错误；对于选项B，令，由，所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.05091.0509万元/平方米，故B正确；对于选项C，非线性回归曲线不一定经过，故C错误；对于选项D，越大，拟合效果越好，由，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查了根据散点图的分布可判断A选项的正误；将代入回归方程可判断B选项的正误；根据非线性回归曲线不一定经过可判断C选项的正误；根据回归模型的拟合效果与的大小关系可判断D选项的正误;属于基础题.10.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（）A．异面直线､所成角为定值B．C．的面积与的面积相等D．三棱锥的体积为定值【答案】BD【解析】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系则，0，，，1，，设，，，则，，，其中，对于选项A，，，．取时，，取时，，，异面直线、所成角不是定值，故错误；对于选项B，由正方体的结构特征可知，，，又，平面，则，故正确；对于选项C，到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，则到的距离大于1，的面积大于的面积，故错误；对于选项D，到平面的距离为，的面积为定值，三棱锥的体积为定值，故正确．故选：．【点睛】本题考查了通过坐标法研究空间异面直线成角的大小,考查了几何体的体积以及截面面积，考查了学生空间想象能力与运算能力，属于基础题.11.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（）A. B.的图象关于点对称C.的图象关于对称 D.在上的最大值是1【答案】ABC【解析】因为最小正周期为，，解得，，将的图象向左平移个单位长度得，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得，即，则，故A正确；，的图象关于点对称，故B正确；，的图象关于对称，故C正确；当时，，则，即，故在上最大值为，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了三角函数图像与性质,考查了对称轴和对称中心的判别方法：对于，若函数满足，则关于点对称；若函数满足，则关于对称,属于中档题.12．已知函数，则以下结论正确的是（）A．是的极大值点 B．方程有实数解C．函数有且只有一个零点 D．存在实数，使得方程有4个实数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共30分.13.设复数满足，在复平面内对应的点为则，满足的关系式为______.【答案】【分析】设复数，根据，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设复数，因为，可得，整理得，即复数在复平面内对应的点为则满足的关系式为.故答案为：.14.党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________.【答案】90【解析】将5名毕业生按分组，则方法有，分配到3所乡村小学，共有，所以分配方案的总数为.故答案为：90【点睛】本题考查了排列、组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确运用分组公式，属于中档题.15.已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.【答案】【解析】由，的坐标得.设双曲线方程为，则.设，，则，，.由，得，即，∴.于是，，所以的方程为.故答案为：【点睛】本题考查了双曲线方程、双曲线与直线的位置关系以及点差法的应用，属于中档题.16.三棱锥中，顶点P在底面ABC的投影恰好是的内心，三个侧面的面积分别为12，16，20，且底面的面积为24，则该三棱锥的体积是________；它的外接球的表面积是________.【答案】【解析】不妨设设P在底面ABC的投影为H，分别作于点D，于点E，于点F，则，，．依题意，H为的内心，则，故，又，，，所以，所以，令．所以，解得，所以．设内切圆半径为，则，即，解得，故，由，得，所以，所以.，点C在以AB为直径的圆上，取AB中点为G，则以AB为直径的圆的圆心为点G，设三棱锥P-ABC的外接球球心为点O，连接OG，易知平面ABC，又平面ABC，则，过点O作交PH于点N，平面ABC，平面ABC，，即，四边形GHNO为矩形，则，在平面ABC上建立如图所示直角坐标系，则，，设，若点N在线段PH上，则，，在直角中，即，解得，故点N在线段PH的延长线上，则，同理可得，解得，所以三棱锥P-ABC的外接球半径为，三棱锥P-ABC的外接球表面积.故答案为：；【点睛】本题考查了空间几何体体积以及外接球表面积,属于中档题.四、解答题：本题共6分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4x﹣3y+5＝0垂直；②直线的一个方向向量为＝（﹣4，3）；③与直线3x+4y+2＝0平行．已知直线l过点P（1，﹣2），_____．（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l与圆x2+y2＝5相交于P，Q，求弦长|PQ|．【分析】（1）先选条件，然后根据条件求直线方程；（2）利用直线与圆相交，建立直角三角形，即可求解．解：（1）选①：因为直线4x﹣3y+5＝0的斜率为k1＝，因为直线4x﹣3y+5＝0与直线l垂直，所以直线l的斜率为k＝﹣，依题意，直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即3x+4y+5＝0；选②：因为直线的一个方向向量为＝（﹣4，3），所以直线l的向量为k＝﹣，依题意，直线l的方程为y+2＝﹣（x﹣1），即3x+4y+5＝0；选③：因为3x+4y+2＝0的斜率为k＝﹣，又因为直线l与3x+4y+2＝0平行，所以直线l的斜率为k＝﹣，依题意，直线l的方程为：y+2＝﹣（x﹣1），即3x+4y+5＝0；（2）圆x2+y2＝5的圆心O（0，0）到直线3x+4y+5＝0的距离为d＝，设P，Q的中点为M，由圆的半径为r＝可知：|PM|＝＝2，因此|PQ|＝2|PM|＝4，即弦长|PQ|为4．18.（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得,并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．解：在中，．………2分由正弦定理得．………6分所以………9分在中，…………11分答：塔高为．……12分19.如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.(1)求证：⊥平面；(2)求二面角余弦值的大小；(3)求点到平面的距离．(1)见解析，(2)(3)【详解】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.…………4分解：（2）由（1）得.设平面PCD的法向量为，则，即，∴故平面PCD的法向量可取为∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量.……………7分设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得.……………9分（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，故可取为.………11分∵，∴C到面PBD的距离为…13分考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角；点、线、面间的距离计算．【点睛】综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角；②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小．20.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成木为100万元，每生产x千件，需另投入成本为（万元），当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元），每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）；（2）40千件，700万元.【解析】【分析】（1）根据条件可知年利润=收入-成本，分段求函数的解析式；（2）根据（1）的解析式，分段求函数的最大值，比较两段的最大值，最后再比较求函数的最大值.【详解】（1）∵每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1000x万元，当0＜x＜80时，=，当