湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖南省娄底市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题(本大题共12道小题，共36分1．下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝1x+1 B．y＝1x2 C．y＝﹣12．已知xyA．5x=3y B．3x=5y C．5y=33．方程x2A．x=0 B．x=±1 C．x1=0，x24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是（）A．12 B．32 C．555．关于反比例函数y=−6x的图象和性质，下列说法A．函数图象经过点(−3，2)C．比例系数是−6 D．当x>0时，y随x的增大而减小6．一个学习小组有x人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡56张，则（）A．12x(x−1)=56 C．x(x−1)=56 D．x(x+1)=567．在三角形ABO中，已知点A(−6，3)，B(−6，−4)，以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点AA．(−2，1) B．(−8，4)C．(−8，4)或(8，−4) D．(−2，1)8．如图所示（图像在第二象限），若点A在反比例函数y=kx(k≠0)的图像上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3A．6 B．3 C．−3 D．−69．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.A．5 B．4 C．3 D．210．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a，已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即A．asin26.5° B．acos26.5∘11．如图，直线y=x+2与反比例函y=kx的图像在第一象限交于点P．若OP=20A．6 B．8 C．10 D．1212．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（）A．b2＞4acB．ax2+bx+c≥﹣6C．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1二、填空题(本大题共6道小题，共18分13．从1000个零件中任意抽取100个检测，有2个不合格，估计这1000个零件中合格的零件约有个．14．若y=(m+1)xm2−m+3x是y关于15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度为cm．16．如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙长为15m），另外三边用长为16m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为．17．定义：在平面直角坐标系中，点M(x0，y0)到直线l：y=kx+b的距离d=|k18．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．三、解答题（共66分，第19、20题各6分；第21、22题各8分；第23、24题各9分；第25、26题各10分）19．计算：4320．已知关于x的一元二次方程x2（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且x121．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若S△DFA=122．人口自然增长率（人口自然增长率=人口出生率-人口死亡率）是反映人口自然增长的趋势和速度的指标．根据对多年的人口出生率和死亡率的数据进行了整理、描述和分析，形成了如下统计表和统计图．指标2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年人口出生率(‰)11.9913.5712.6410.8610.48.527.526.77人口死亡率(‰)7.077.047.067.087.097.077.187.37（1）求2022年的人口自然增长率．（2）从2015年—2022年，年的人口自然增长率最大．（3）下列推断合理的是．（只填序号）①2015年—2016年，人口出生率呈上升趋势；2016年—2022年，人口出生率呈下降趋势；②人口自然增长率从2016年起持续呈下降趋势，是因为人口死亡率持续呈上升趋势；③优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题．23．为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价x(单位∶万元)成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？24．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的体现，在计算tan15°时，如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以（1）类比这种方法，求得tan22.5°=（2）如图2，锐角∠ABC=α，已知tanα=m，求证：tanα25．如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图像相交于点A(2，（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC（3）过点B作BC⊥x轴于C，问：是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，若存在，求出D的坐标；若不存在，说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，点A(1，2)，B(5，0)，抛物线y=ax2−2ax(a>0（1）求点C的坐标和直线AB的表达式；（2）设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA，①若△CDB与△BOA相似，求抛物线表达式；②若△OAE是等腰三角形，则a的值为▲（请直接写出答案即可）．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A、∵y＝1x+1是y与（x+1）的反比例函数，∴A不符合题意；

B、∵y＝1x2是y与x2的反比例函数，∴B不符合题意；

C、∵y＝-12x是y与x的反比例函数，∴C符合题意；

D、∵y＝-x2是y与-2．【答案】B【解析】【解答】A、∵5x=3y，∴xy=35，∴A正确，不符合题意；

B、∵3x=5y，∴xy=53，∴B不正确，符合题意；

C、∵5y=3x，∴xy=35，3．【答案】C【解析】【解答】∵x2=x，

∴x（x-1）=0，

解得：x1=0，x24．【答案】C【解析】【解答】∵∠C=90°，AC=2，BC=1，

∴AB=AC2+BC2=5，

∴5．【答案】D【解析】【解答】A、将点x=-3代入y=−6x可得：y=-6-3=2，∴函数图象经过点(−3，2)，∴A正确，不符合题意；

B、∵反比例函数的解析式为y=−6x，∴函数图象在第二、四象限，∴B正确，不符合题意；

C、∵反比例函数的解析式为y=−6x，∴比例系数是−6，∴C正确，不符合题意；

D、∵反比例函数的解析式为y=−6．【答案】C【解析】【解答】根据题意可得：x(x−1)=56，

故答案为：C.

【分析】根据“全组共送出贺卡56张”列出方程x(x−1)=56即可.7．【答案】D【解析】【解答】∵点A的坐标为（-6，3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，

∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），

故答案为：D.

8．【答案】D【解析】【解答】∵AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，

∴|k|=2S△AMO=2×3=6，

∴k=±6，

∵反比例函数的图象在第二象限，

∴k<0，

∴k=-6，

故答案为：D.

【分析】利用反比例函数k的几何意义可得|k|=2S△AMO=2×3=6，再利用反比例函数的图象与系数的关系求出k的值即可.9．【答案】C【解析】【解答】∵AC=1.6，AE=0.4，

∴CE=AC-AE=1.6-0.4=1.2，

∵∠BAE=∠DCE=90°，∠AEB=∠CED，

∴△ABE∽△CDE，

∴ABDC=AECE，

∴1CD=0.41.2，10．【答案】D【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠ABC=26.5°，AC=a，

∵tan∠ABC=ACBC，

∴BC=ACtan∠ABC=atan26.5°11．【答案】B【解析】【解答】设点P的坐标为（m，m+2），

∵OP=20，

∴m2+m+22=20，

解得：m1=2，m2=-4（舍），

∴点P的坐标为（2，4），

将点P（2，4）代入y=kx，

12．【答案】C【解析】【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0所以b2＞4ac，故A选项正确；B、抛物线的开口向上，函数有最小值，因为抛物线的最小值为﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，故B选项正确；C、抛物线的对称轴为直线x=﹣3，因为﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，故C选项错误；D、根据抛物线的对称性可知，（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点为（﹣5，﹣4），所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，故D选项正确．故选C．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。13．【答案】980【解析】【解答】设这1000个零件中合格的零件约有x个，

根据题意可得：x1000=100-2100，

解得：x=980，

∴这1000个零件中合格的零件约有980个，

故答案为：980.14．【答案】2【解析】【解答】∵y=(m+1)xm2−m+3x是y关于x的二次函数，

∴m+1≠0m2-m=2，15．【答案】4【解析】【解答】∵点P为AB的黄金分割点(AP>PB)，

∴AP=5-12AB=5-12×8=4516．【答案】32【解析】【解答】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，

根据题意可得：y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，（x<8），

∵墙长为15m，

∴16-2x≤15，

解得：0.5≤x<8，

∴当x=4时，y有最大值为32，

故答案为：32.

【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（16-2x）m，苗圃园面积为y，再利用矩形的面积公式求出y=x（16-2x）=-2（x-4）2+32，最后利用二次函数的性质分析求解即可.17．【答案】4【解析】【解答】根据题意可得：点(−2，3))到y=34x−1218．【答案】2【解析】【解答】解：连接DE，如图所示：在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，∴∠α=30°，同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．又∵∠AEC=60°，∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=3a，∴AD=AE∴sin（α+β）=AEAD=2a故答案为：27

【分析】连接DE，先求出∠CDE=∠CED=30°=∠α．再求出∠AED=∠AEC+∠CED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=3a，利用勾股定理求出AD的长，最后利用正弦的定义求出sin（α+β）=AEAD=2a19．【答案】解：4=4=6−1+1=6【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可.20．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0，解得：m≥﹣1；（2）解：∵x1和x2是方程x2∵x1+x2=2，x1x2=﹣m，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6，∴22+2m=6，解得：m=1．【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=﹣m，再结合x12+21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA∴(AE∴AEAD=3∴AE=3∴BE=A∴BE的长为23【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠AEB=∠DAF，再结合∠B=∠DFA即可证出△ABE∽△DFA；

（2）利用相似三角形的性质可得(AEAD)22．【答案】（1）解：6.答：2022年的人口自然增长率是−0.（2）2016（3）①③【解析】【解答】（2）根据统计表和统计可以看出2016人口出生率最大，人口死亡率最低，

∴2016年的人口自然增长率最大，

故答案为：2016；

（3）①∵2015年-2016年，人口出生率呈上升趋势，2016年-2022年，人口出生率呈下降趋势，∴①合理；

②∵人口自然增长率从2016年起持续呈下降趋势，∴②不符合题意；

③∵由于人口出生率下降，∴优化三孩生育政策有利于应对我国人口减少问题，∴③合理，

故答案为：①③.

【分析】（1）根据表格中的数据列出算式求解即可；

（2）根据统计表和折线统计图分析求解即可；

（3）根据统计表和折线统计图分析求解即可.23．【答案】（1）解：设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：40k+b=60045k+b=550解得：k=−10b=1000∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．（2）解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，整理，得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，再根据“该公司想获得10000万元的年利润”列出方程（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，再求解即可.24．【答案】（1）2（2）证明：延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=α设BC=1，∵tanα=m，∴AC=m，AB=m∴CD=∴tanα【解析】【解答】解：（1）作Rt△ABC，使∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB到D，使BD=AB，连接AD，设AC=x，则BC=x，AB=2x，tan22故答案为：2−1

【分析】（1）延长CB到D，使BD=AB，连接AD，设AC=x，则BC=x，AB=2x，CD=(1+2)x，再利用正切的定义可得tan22.5°=tan∠D=ACCD=x(1+2)x=25．【答案】（1）解：∵反比例函数y=kx过点∴y=2×3=6，∴反比例函数的关系式为y=6（2）解：∵一次函数y=x+1与反比例函数y=6x的图像相交于点A(2，∴y=x+1解得：x1=−3y∴B(−3，又∵BC⊥x轴，∴点C(−3，设xA、xC分别为点A、C的横坐标，yB、yC分别为