2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语海德学校九年级上学期开学考数学试题

试题PAGE1试题2024-2025学年第一学期九年级数学开学考试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列方程中一定是一元二次方程的是（）A． B．B． D．3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（）A． B．1 C．1或 D．4．如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是，点C的坐标是，则BD的长是（）A． B．5 C． D．5．关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（）A． B．且 C． D．且6．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；B．对角线相等的四边形是矩形；C．有一组邻边相等的矩形是正方形；D．对角线互相垂直的四边形是菱形．7．如图，五边形ABCDE是正五边形，且．若，则（）A．108° B．36° C．72° D．129°8．在平面直角坐标系中，正方形、、、…按如图所示的方式放在其中点在y轴上，点，，，，，、…在x轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长是（）A． B． C． D．二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）9．因式分解______．10．将一元二次方程化为一般形式是______．11．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m取值范围是______．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，作交BA的延长线于点E，连接OE，若，，则菱形ABCD的面积为______．13．如图，在矩形ABCD中，，，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且，则的最小值为______．三、解答题（共7大题，共61分）14．（8分）解方程（1） （2）．15．（5分）先化简代数式，再从，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．16．（8分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归”的数学思想方法解决问题，首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法、同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？例题：解一元二次不等式分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把写成的形式，从而将转化为，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．解：可化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①②，解不等式组①，，解不等式组②，，即一元二次不等式的解集为或拓展应用：（1）求一元二次不等式的解集．（2）求分式不等式的解集______．（3）求一元二次不等式的解集______．17．（8分）．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且，．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若，，求菱形OCED的面积______．18．（10分）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一设计师小聪为某商场设计拍照打卡板（如图1），图2为其平面设计图．该打卡板是轴对称图形，由矩形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B，F，G，C四点共线，其中，点A到BC的距离为1.2m，，．素材二因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作矩形DEFG与等腰三角形ABC（两种图形无缝隙拼接），且甲种材料的费用为85元/，乙种材料的采用为100元/．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中BC的长与C，两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG的长．”他的说法正确吗？请判断并说明理由．任务二探究等腰三角形ABC面积假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积S．求S关于x的函数表达式．任务三确定拍照打卡板小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．（直接写出结果）19．（10分）数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：．（不需要证明）．图1经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取AB的中点H，连接HE，则，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：图5（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由：图2（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？______（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标______以及的面积______．图3 图420．（12分）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．（1）线段______