2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词素养目标·定方向课程标准学法解读1．理解命题的概念，并会推断命题的真假．2．理解全称量词、存在量词的含义．3．驾驭全称量词命题与存在量词命题的真假推断.1．积累全称量词和存在量词，能依据题意确定命题中含有的量词，尤其是省略量词的命题中的隐含量词．2．体会全称量词命题和存在量词命题的不同表述方法．3．会用符号表示全称量词命题和存在量词命题，并能依据所学学问推断其真假．4．依据命题的真假求参数时，留意含全称量词的是恒成立问题，含存在量词的是能成立问题，不要混淆.必备学问·探新知基础学问1．命题定义可供真假推断的陈述语句分类真命题：推断为真的语句假命题：推断为假的语句留意数学中的命题，常常借助符号和式子来表达一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题2．全称量词与全称量词命题(1)全称量词：“随意”“全部”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为__全称量词__，用符号“∀”表示．(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．(3)符号表示：“对集合M中的全部元素x，r(x)”．可简记为：∀x∈M，r(x)．3．存在量词与存在量词命题(1)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为__存在量词__，用符号“∃”表示．(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题．(3)符号表示：“存在集合M中的元素x，s(x)”．可简记为：∃x∈M，s(x)．思索：常见的全称量词和存在量词还有哪些？提示：常见的全称量词还有“一切”“全部”“任给”“凡是”等．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等．基础自测1．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一个根为x＝－1；⑤x>5.其中是命题的是(B)A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；④也是真命题；⑤不能推断真假，不是命题．故选B．2．下列命题中是存在量词命题的是(B)A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等解析：A，C，D是全称量词命题，B是存在量词命题．3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(C)A．每个二次函数的图像都开口向上B．存在实数x，平方为8C．全部菱形的四条边都相等D．存在一个实数x0使不等式xeq\o\al(2,0)－3x0＋6<0成立解析：A是全称量词命题但是假命题，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题且是真命题．4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为__对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立__.解析：“x2＋y2≥2xy”是指对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对随意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立．5．下列命题中，是真命题的为__①②③⑤__.①5能整除15；②不存在实数x，使得x2－x＋2<0；③对随意实数x，均有x－1<x；④方程x2＋3x＋3＝0有两个不相等的实数根；⑤不等式eq\f(x2＋x＋1,|x|)<0的解集为空集．解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题；对于②，因Δ<0，故x2－x＋2<0无解，所以该命题是真命题；对于③，因随意一个数减去一个正数后都小于原数，故该命题是真命题；对于④，因Δ<0，故方程x2＋3x＋3＝0无解，所以该命题是假命题；对于⑤，易知eq\f(x2＋x＋1,|x|)>0，所以eq\f(x2＋x＋1,|x|)<0的解集为空集，所以该命题是真命题．关键实力·攻重难类型命题真假的推断┃┃典例剖析__■典例1推断下列语句是不是命题，假如是，说明其真假．(1)奇数不能被2整除；(2)实数的平方是正数；(3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.思路探究：数学中要判定一个命题为真命题，须要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．解析：(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能推断真假，因此都是命题．(1)是真命题．因为奇数是不能被2整除的整数．(2)是假命题．反例：0的平方还是0，不是正数．(3)是真命题．由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1.(4)是假命题．反例：y＝4，x＝3也满意y＝x＋1.归纳提升：推断一个语句是不是命题的关键点：(1)“是陈述句”．(2)“可以推断真假”，这两个条件缺一不行．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句均不是命题．┃┃对点训练__■1．推断下列命题的真假：(1)一个角的补角必大于这个角；(2)一个有理数必有两个平方根；(3)直径所对的圆周角是直角；(4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；(5)等式两边都加同一个数，结果仍是等式．解析：(1)是假命题，例如设这个角是90°，它的补角是90°，而90°＝90°.(2)是假命题，例如有理数－1没有平方根．(3)是真命题，这是关于圆周角的结论．(4)是假命题，两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等．(5)是真命题，这是等式的性质．类型全称量词命题与存在量词命题的辨析┃┃典例剖析__■典例2推断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次方程都存在实数根；(4)负数没有对数．思路探究：首先确定量词，然后推断命题的类型．解析：(1)命题完整的表述应为“全部梯形的对角线相等”，很明显为全称量词命题．(2)命题为存在量词命题．(3)命题完整的表述为“全部的二次方程都存在实数根”，故为全称量词命题．(4)命题完整的表述是“全部负数都没有对数”，故为全称量词命题．归纳提升：推断一个语句是全称量词命题，还是存在量词命题的思路┃┃对点训练__■2．推断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)对随意的n∈Z,2n＋1是奇数；(2)有些三角形不是等腰三角形；(3)有的实数是无限不循环小数；(4)全部的正方形都是矩形．解析：(1)含有全称量词“随意”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．(3)含有存在量词“有的”，故为存在量词命题．(4)含有全称量词“全部”，故为全称量词命题．类型全称量词命题、存在量词命题的真假推断┃┃典例剖析__■典例3(1)推断下列全称量词命题的真假：①全部的整数都是有理数；②∀x∈R，x2＋1≥1；③对每一个无理数x，x2也是无理数；④末位是0的整数，可以被5整除．(2)推断下列存在量词命题的真假：①至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；②∃x∈Q，x2＝3；③∃x∈Z，x3<1；④存在正实数x，y，使x2＋y2＝0.思路探究：对于全称量词命题，推断为真，须要证明，推断为假，举出反例；对于存在量词命题，推断为真，举出特例，推断为假，须要证明．解析：(1)①整数和分数统称为有理数，所以该命题是真命题．②因为x∈R，所以x2≥0，所以x2＋1≥1，所以该命题是真命题．③eq\r(2)是无理数，但(eq\r(2))2＝2是有理数，所以该命题是假命题．④末位是0或5的整数，都能被5整除，所以该命题是真命题．(2)①真命题．如10.②假命题．由于使x2＝3成立的x的值只有±eq\r(3)，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以该命题是假命题．③真命题．由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以该命题是真命题．④假命题．要使x2＋y2＝0成立，只有x＝y＝0，而0不是正实数，因而不存在正实数x，y，使x2＋y2＝0，因此，该命题是假命题．归纳提升：推断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要推断一个全称量词命题为真，必需给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要推断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．(2)要推断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要推断一个存在量词命题为假，必需对给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．┃┃对点训练__■3．下列命题中的假命题是(B)A．∀x∈R，|x|＋1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，eq\f(1,x)<1 D．∃x∈R,5x－3＝2解析：A项，∵x∈R，∴|x|＋1>0，故A正确；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0冲突，故B错误；C项，当x>1时，eq\f(1,x)<1，故C正确；D项，当x＝1时，5x－3＝2，故D正确．易混易错警示推断命题真假时考虑不全┃┃典例剖析__■典例4(2024·石家庄中学毕业年级质检)给定集合A，若对于随意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__②__.错因探究：A1，A2为闭集，存在A1∪A2不是闭集，不满意闭集条件．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．误区警示：推断命题的真假，肯定要全面分析命题中的相关条件与结论，做到心中有数，切忌主观臆断，丢三落四．学科核心素养含有量词命题中参数范围的策略┃┃典例剖析__■已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，肯定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路．解决此类问题的关键是依据含量词命题的真假转化为相关数学学问，利用集合、方程、不等式等学问求解参数的取值范围，解题过程中要留意变量取值范围的限制．典例5(1)已知命题p(x)：x＋1>x为真命题，求x的取值范围．(2)存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，求实数a的取值范围．(3)已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>a}，若∀a∈A，都有a∈B成立，求实数a的取值范围．思路探究：把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系．解析：(1)因为x＋1>x，所以1>0(此式恒成立)，所以x∈R.(2)因为存在x∈R，使x2＋x＋a＝0成立，所以方程x2＋x＋a＝0存在实数根，则Δ＝1－4a≥0，解得a≤eq\f(1,4)，即实数a的取值范围是a≤eq\f(1,4).(3)因为∀a∈A，都有∀a∈B成立，所以A⊆B，则a≤2，即实数a的取值范围是a≤2.课堂检测·固双基1．(多选)下列命题是全称量词命题的是(ABD)A．中国公民都有受教化的权利B．每一个中学生都要接受爱国主义教化C．有人既能写小说，也能搞独创创建D．任何一个数除0，都等于0解析：A、B、D都是全称量词命题．2．下列命题中是真命题的是(B)A．∃x∈R，x2＋1<0 B．∃x∈Z,3x＋1是整数C．∀x∈R，|x|>3 D．∀x∈Q，x2∈Z解析：A是假命题．因为∀x∈R，x2＋1>1；B是真命题．当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题．如x＝2时，|x|<3；D是假命题．如x＝eq\f(1,2)，x2∉Z.3．下列命题中，是全称量词命题的有__①②③__，是存在量词命题的有__④__.(填序号)①正方形的四条边相等；②全部有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤全部正数都是实数吗？解析：④为存在量词命题，①②③为全称量词命题