2024高考数学一轮复习专练56古典概型与几何概型含解析文新人教版

PAGE专练56古典概型与几何概型命题范围：随机事务概率、古典概型、几何概型基础强化一、选择题1．[2024·全国卷Ⅱ]在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，很多志愿者踊跃报名参与配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预料其次天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使其次天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少须要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名2．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现；红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少须要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)4．[2024·全国卷Ⅱ]生物试验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)5．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)6．设z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.eq\f(3,4)＋eq\f(1,2π)B.eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)C.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)D.eq\f(1,2)＋eq\f(1,π)7．[2024·湖南长沙高三测试]已知f(x)＝3＋2cosx，f′(x)是f(x)的导函数，则在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))任取一个数x0使得f′(x0)<1的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,8)D.eq\f(7,8)8．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.79．两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)二、填空题10．[2024·郑州一中高三测试]盒中有三张分别标有号码3,4,5的卡片，从盒中随机抽取一张登记号码后放回，再随机抽取一张登记号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个是奇数的概率为________．11．记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．12．甲、乙两人玩猜数字的嬉戏，先由甲任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现随意找两个人玩这个嬉戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．实力提升13．[2024·全国卷Ⅰ]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(4,5)14．某袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3，蓝色卡片两张，标号分别为1,2.从以上五张卡片中任选两张，则这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,3)15．[2024·江西临川高三测试]已知圆O的一条直径为线段BC，A为圆上一点，∠BCD＝∠CBD＝30°，∠ABC＝45°，则向圆O中随意投掷一点，该点落在阴影区域内的概率为________．16．[2024·湖南师大附中高三测试]从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为eq\f(6,25)，则k的最大值是________．专练56古典概型与几何概型1．B由题意得其次天订单不超过1600份的概率为1－0.05＝0.95，故第一天积压订单加上其次天的新订单不超过1600＋500＝2100份的概率为0.95，因为超市本身能完成1200份订单配货，所以须要志愿者完成的订单不超过2100－1200＝900份的概率为0.95，因为900÷50＝18，所以至少须要18名志愿者，故选B.2．B从5个人中选2人共有10种不同的选法，其中含有甲的有4种，∴所求事务的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).3．B行人在红灯亮起的25秒内到达路口，即满意至少须要15秒才出现绿灯，∴所求事务的概率P＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).4．B本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解实力；考查的核心素养是数学运算与数据分析．记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本领件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本领件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事务的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．C从4种颜色的花中任选2种，共有如下6种不同的情形：(红黄)，(红白)，(红紫)，(黄白)，(黄紫)，(白紫)，共中红色与紫色在同一花坛的情形有两种，故所求事务的概率P＝1－eq\f(2,6)＝eq\f(2,3).6．B∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，其面积为π，又直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相交于O(0,0)，A(1,1)两点，其中满意y≥x的为图中的阴影部分，∴S阴影＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，∴所求事务的概率为P＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).7．D由f′(x)＝－2sinx<1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，π))得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))，因此所求概率eq\f(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))),π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))))＝eq\f(7,8)，选D.8．B所求事务的概率P＝1－0.45－0.15＝0.4.9．C设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，则由题意可得，0≤x≤4,0≤y≤4；而所求事务“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x，y)||x－y|≤2}，由图示得，该事务概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(16－4,16)＝eq\f(3,4).10.eq\f(8,9)解析：解法一两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，其中至少有一个是奇数有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共8种，因此所求概率为eq\f(8,9).解法二所求事务的对立事务为：两次抽取的卡片号码都为偶数，只有(4,4)这1种取法，而两次抽取的卡片号码有(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共9种，因此所求事务的概率为1－eq\f(1,9)＝eq\f(8,9).11.eq\f(5,9)解析：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，则所求概率为eq\f(3－－2,5－－4)＝eq\f(5,9).12.eq\f(5,8)解析：两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，有16种状况，其中满意|a－b|≤1的状况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10种，故这两人“心有灵犀”的概率为eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).13．A从O，A，B，C，D中任取3点的状况有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(B，C，D)，(A，C，D)，共有10种不同的状况，由图可知取到的3点共线的有(O，A，C)和(O，B，D)两种状况，所以所求概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).故选A.14．C从五张卡片中任选两张的全部可能状况有(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种．其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，共3种状况，故所求的概率为eq\f(3,10).15.eq\f(3＋\r(3),3π)解析：设圆O的半径为2，则S阴影＝eq\f(1,2)×4×(2＋2tan30°)＝eq\f(43＋\r(3),3)，S圆＝4π