广东省普宁市华侨中学2025届高考考前模拟数学试题含解析_第1页
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文档简介

广东省普宁市华侨中学2025届高考考前模拟数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.我国古代数学名著《九章算术》有一问题:“今有鳖臑(biēnaò),下广五尺,无袤;上袤四尺,无广;高七尺.问积几何?”该几何体的三视图如图所示,则此几何体外接球的表面积为()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺2.在复平面内,复数(为虚数单位)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数的大致图象为A. B.C. D.4.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.5.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市月至月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()A.1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了C.8月是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差.6.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.7.设是等差数列的前n项和,且,则()A. B. C.1 D.28.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.509.学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级.某班共有名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中,这两科等级均为的学生有人,这两科中仅有一科等级为的学生,其另外一科等级为,则该班()A.物理化学等级都是的学生至多有人B.物理化学等级都是的学生至少有人C.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D.这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人10.已知椭圆的短轴长为2,焦距为分别是椭圆的左、右焦点,若点为上的任意一点,则的取值范围为()A. B. C. D.11.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若向量与向量垂直,则______.14.假如某人有壹元、贰元、伍元、拾元、贰拾元、伍拾元、壹佰元的纸币各两张,要支付贰佰壹拾玖(219)元的货款,则有________种不同的支付方式.15.若,,则___________.16.设满足约束条件,则的取值范围是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,平面,,,.(I)证明:;(Ⅱ)若是中点,与平面所成的角的正弦值为,求的长.18.(12分)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当直线的倾斜角为时,求线段AB的中点的横坐标;(2)设点A关于轴的对称点为C,求证:M,B,C三点共线;(3)设过点M的直线交椭圆于两点,若椭圆上存在点P,使得(其中O为坐标原点),求实数的取值范围.19.(12分)已知函数与的图象关于直线对称.(为自然对数的底数)(1)若的图象在点处的切线经过点,求的值;(2)若不等式恒成立,求正整数的最小值.20.(12分)已知函数u(x)=xlnx,v(x)x﹣1,m∈R.(1)令m=2,求函数h(x)的单调区间;(2)令f(x)=u(x)﹣v(x),若函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,且满足1e(e为自然对数的底数)求x1•x2的最大值.21.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.22.(10分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据三视图得出原几何体的立体图是一个三棱锥,将三棱锥补充成一个长方体,此长方体的外接球就是该三棱锥的外接球,由球的表面积公式计算可得选项.【详解】由三视图可得,该几何体是一个如图所示的三棱锥,为三棱锥外接球的球心,此三棱锥的外接球也是此三棱锥所在的长方体的外接球,所以为的中点,设球半径为,则,所以外接球的表面积,故选:A.【点睛】本题考查求几何体的外接球的表面积,关键在于由几何体的三视图得出几何体的立体图,找出外接球的球心位置和半径,属于中档题.2、C【解析】

化简复数为、的形式,可以确定对应的点位于的象限.【详解】解:复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,属于基础题.3、A【解析】

因为,所以函数是偶函数,排除B、D,又,排除C,故选A.4、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.5、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天,月份的空气质量最差.故本题答案选.6、C【解析】

由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.7、C【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件,求得的值.【详解】由于等差数列满足,所以,,.故选:C【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,属于基础题.8、C【解析】

先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.9、D【解析】

根据题意分别计算出物理等级为,化学等级为的学生人数以及物理等级为,化学等级为的学生人数,结合表格中的数据进行分析,可得出合适的选项.【详解】根据题意可知,名学生减去名全和一科为另一科为的学生人(其中物理化学的有人,物理化学的有人),表格变为:物理化学对于A选项,物理化学等级都是的学生至多有人,A选项错误;对于B选项,当物理和,化学都是时,或化学和,物理都是时,物理、化学都是的人数最少,至少为(人),B选项错误;对于C选项,在表格中,除去物理化学都是的学生,剩下的都是一科为且最高等级为的学生,因为都是的学生最少人,所以一科为且最高等级为的学生最多为(人),C选项错误;对于D选项,物理化学都是的最多人,所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少(人),D选项正确.故选:D.【点睛】本题考查合情推理,考查推理能力,属于中等题.10、D【解析】

先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到,利用二次函数的性质可求,从而可得的取值范围.【详解】由题设有,故,故椭圆,因为点为上的任意一点,故.又,因为,故,所以.故选:D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质,一般地,如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有,我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题,本题属于基础题.11、B【解析】

根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.12、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、0【解析】

直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】向量与向量垂直,则,故.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算能力.14、1【解析】

按照个位上的9元的支付情况分类,三个数位上的钱数分步计算,相加即可.【详解】9元的支付有两种情况,或者,①当9元采用方式支付时,200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;②当9元采用方式支付时:200元的支付方式为,或者或者共3种方式,10元的支付只能用1张10元,此时共有种支付方式;所以总的支付方式共有种.故答案为:1.【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,属于中档题.做题时注意分类做到不重不漏,分步做到步骤完整.15、【解析】

因为,所以,又,所以,则,所以.16、【解析】

作出可行域,将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或,分别计算出与,再由不等式的简单性质即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,显然当时,z=0;当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或显然,联立,所以则或,故或综上所述,故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,再利用线面垂直的判定定理证明.(Ⅱ)设,则,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加求得,再过作,则平面,即点到平面的距离,由是中点,得到到平面的距离,然后根据与平面所成的角的正弦值为求解.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)设,,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加得:,所以,,过作,则平面,即点到平面的距离,因为是中点,所以为到平面的距离,因为与平面所成的角的正弦值为,即,解得.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,线面角的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力,属于中档题.18、(1)AB的中点的横坐标为;(2)证明见解析;(3)【解析】

设.(1)因为直线的倾斜角为,,所以直线AB的方程为,联立方程组,消去并整理,得,则,故线段AB的中点的横坐标为.(2)根据题意得点,若直线AB的斜率为0,则直线AB的方程为,A、C两点重合,显然M,B,C三点共线;若直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为,联立方程组,消去并整理得,则,设直线BM、CM的斜率分别为、,则,即=,即M,B,C三点共线.(3)根据题意,得直线GH的斜率存在,设该直线的方程为,设,联立方程组,消去并整理,得,由,整理得,又,所以,结合,得,当时,该直线为轴,即,此时椭圆上任意一点P都满足,此时符合题意;当时,由,得,代入椭圆C的方程,得,整理,得,再结合,得到,即,综上,得到实数的取值范围是.19、(1)e;(2)2.【解析】

(1)根据反函数的性质,得出,再利用导数的几何意义,求出曲线在点处的切线为,构造函数,利用导数求出单调性,即可得出的值;(2)设,求导,求出的单调性,从而得出最大值为,结合恒成立的性质,得出正整数的最小值.【详解】(1)根据题意,与的图象关于直线对称,所以函数的图象与互为反函数,则,,设点,,又,当时,,曲线在点处的切线为,即,代入点,得,即,构造函数,当时,,当时,,且,当时,单调递增,而,故存在唯一的实数根.(2)由于不等式恒成立,可设,所以,令,得.所以当时,;当时,,因此函数在是增函数,在是减函数.故函数的最大值为.令,因为,,又因为在是减函数.所以当时,.所以正整数的最小值为2.【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题,涉及到单调性、构造函数法等,考查函数思想和计算能力.20、(1)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞)(2)【解析】

(1)化简函数h(x),求导,根据导数和函数的单调性的关系即可求出(2)函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,则f′(x)=lnx﹣mx=0有两个正根,由此得到m(x2﹣x1)=lnx2﹣lnx1,m(x2+x1)=lnx2+lnx1,消参数m化简整理可得ln(x1x2)=ln•,设t,构造函数g(t)=()lnt,利用导数判断函数的单调性,求出函数的最大值即可求出x1•x2的最大值.【详解】(1)令m=2,函数h(x),∴h′(x),令h′(x)=0,解得x=e,∴当x∈(0,e)时,h′(x)>0,当x∈(e,+∞)时,h′(x)<0,∴函数h(x)单调递增区间是(0,e),单调递减区间是(e,+∞)(2)f(x)=u(x)﹣v(x)=xlnxx+1,∴f′(x)=1+lnx﹣mx﹣1=lnx﹣mx,∵函数f(x)恰有两个极值点x1,x2,∴f′(x)=lnx﹣mx=0有两个不等正根,∴lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,两式相减可得lnx2﹣lnx1=m(x2﹣x1),两式相加可得m(x2+x1)=lnx2+lnx1,∴∴ln(x

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