空间向量运算的坐标表示空间向量平行和垂直的条件课件高二上学期数学北师大版选择性

第三章

空间向量与立体几何

空间向量运算的坐标表示、空间向量平行（共线）和垂直的条件1.掌握空间向量的坐标表示及其运算.

2.理解空间向量平行与垂直的条件.探究1

平面向量的坐标是如何定义的？1.标准正交基

在空间直角坐标系O－xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作______向量i，j，k，这三个__________的单位向量就构成空间向量的一组基{i，j，k}，这组基叫作标准正交基.知识梳理单位互相垂直2.空间向量的坐标

根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p，都存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝xi＋yj＋zk，反之，任意给出一个三元有序实数组________________，也可找到唯一的一个向量p＝xi＋yj＋zk与之对应.把三元有序实数组________________叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝________________，单位向量i，j，k都叫作__________，xi，yj，zk实际上分别是向量p在i，j，k方向上所作的__________，x，y，z分别是向量p在i，j，k方向上所作投影向量的数量.(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)坐标向量投影向量(x2－x1，y2－y1，z2－z1)终点坐标减去起点坐标温馨提示例1以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，思维升华训练1易知B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2).探究3

类比平面向量运算的坐标表示，能否得出空间向量运算的坐标表示？提示可以.知识梳理设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则有向量运算坐标表示加法a＋b＝_________________________减法a－b＝_________________________数乘λa＝___________________________数量积a·b＝______________________(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)(x1－x2，y1－y2，z1－z2)(λx1，λy1，λz1)，λ∈Rx1x2＋y1y2＋z1z2温馨提示例2因为a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，所以c＝4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20).所以a·c＝0＋18＋80＝98.思维升华关于空间向量坐标运算的两种形式(1)直接利用坐标公式首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标.(1)已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.训练2√2(1)b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2).(2)据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.探究4

平面向量中的结论：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.此结论在空间向量中能推广吗？提示不能推广.知识梳理设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).1.当b≠0时，a∥b⇔∃λ∈R，使得_________________2.当b与三个坐标平面都不平行(即x2y2z2≠0)时，a∥b⇔__________________.3.a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________________.温馨提示例3已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)，分别求满足下列条件的实数k的值：(1)(ka＋b)∥(a－3b)；(2)(ka＋b)⊥(a－3b).ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16).(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，思维升华判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.训练3√1、背诵空间向量坐标的求法2、背诵记忆空间向量的运算法则3、背诵记忆空间向量共线和垂直的条件√√由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，3.已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.-4易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋