高考数学二轮专题复习与测试专题强化练（十三）圆锥曲线中的最值范围证明问题

专题强化练(十三)圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1．(2023·茂名模拟)已知平面内动点P(x，y)，P到定点F(eq\r(6)，0)的距离与P到定直线1：x＝eq\f(4\r(6),3)的距离之比为eq\f(\r(3),2).(1)记动点P的轨迹为曲线C，求C的标准方程．(2)已知点M是圆x2＋y2＝10上任意一点，过点M做曲线C的两条切线，切点分别是A，B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标．注：椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一点P(x0，y0)处的切线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.解：(1)设d是点P到直线1：x＝eq\f(4\r(6),3)的距离，根据题意，动点P的轨迹就是集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(M|\f(|MF|,d)＝\f(\r(3),2))).由此得eq\f(\r(（x－\r(6)）2＋y2),|\f(4\r(6),3)－x|)＝eq\f(\r(3),2)，化简得eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝10，切线MA方程：eq\f(x1x,8)＋eq\f(y1y,2)＝1，切线MB方程：eq\f(x2x,8)＋eq\f(y2y,2)＝1，两直线都经过点M，所以，得eq\f(x1x0,8)＋eq\f(y1y0,2)＝1，eq\f(x2x0,8)＋eq\f(y2y0,2)＝1，所以直线AB的方程是：eq\f(x0,8)x＋eq\f(y0,2)y＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0,8)x＋\f(y0,2)y＝1，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))得(3yeq\o\al(2,0)＋10)x2－16x0x＋64－32yeq\o\al(2,0)＝0，由韦达定理，得x1＋x2＝eq\f(16x0,3yeq\o\al(2,0)＋10)，x1x2＝eq\f(64－32yeq\o\al(2,0),3yeq\o\al(2,0)＋10)，|AB|＝eq\r(1＋（\f(x0,4y0)）2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(xeq\o\al(2,0),16yeq\o\al(2,0)))·eq\r(（\f(16x0,3yeq\o\al(2,0)＋10)）2－4\f(64－32yeq\o\al(2,0),3yeq\o\al(2,0)＋10))＝eq\f(2\r(10)（3yeq\o\al(2,0)＋2）,3yeq\o\al(2,0)＋10)，点M到直线AB的距离d＝eq\f(|\f(x0,8)·x0＋\f(y0,2)·y0－1|,\r(（\f(x0,8)）2＋（\f(y0,2)）2))＝eq\f(|\f(xeq\o\al(2,0),8)＋\f(yeq\o\al(2,0),2)－1|,\f(1,8)\r(xeq\o\al(2,0)＋16yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(|xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)－8|,\r(xeq\o\al(2,0)＋16yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(|10－yeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)＋8|,\r(10－yeq\o\al(2,0)＋16yeq\o\al(2,0)))＝eq\f(3yeq\o\al(2,0)＋2,\r(5)\r(2＋3yeq\o\al(2,0)))，所以S△MAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(\r(2)（3yeq\o\al(2,0)＋2）\s\up6(\f(3,2)),3yeq\o\al(2,0)＋10)，其中yeq\o\al(2,0)≤10，令t＝eq\r(3yeq\o\al(2,0)＋2)，则t∈[eq\r(2)，4eq\r(2)]，所以S△MAB＝eq\f(\r(2)t3,t2＋8)，令f(t)＝eq\f(\r(2)t3,t2＋8)，则f′(t)＝eq\f(\r(2)（t4＋24t2）,（t2＋8）2)>0，所以f(t)在t∈[eq\r(2)，4eq\r(2)]上递增，所以t＝4eq\r(2)，即yeq\o\al(2,0)＝10时，△MAB的面积取到最大值eq\f(32,5)，此时点M(0，±eq\r(10))．2．(2023·河源模拟)中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国．后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合．将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓．如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹．(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；(2)设定点A坐标为2，纸片圆的边界方程为(x＋2)2＋y2＝r2.若点M(2，3)位于(1)中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求△EOF面积的最小值．(1)证明：由题意知|QA|＝|QP|，所以||QA|－|QD||＝||QP|－|QD||＝|DP|＝r，因此动点Q到定点D和A的距离之差的绝对值为定值r，且r<|DA|，由双曲线定义知，点Q的轨迹是以D，A为焦点的双曲线．(2)解：由(1)知双曲线中2a＝r，2c＝4，设双曲线方程为eq\f(x2,\f(r2,4))－eq\f(y2,4－\f(r2,4))＝1，又点M(2，3)在双曲线上，解得r＝2，因此双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，双曲线的渐近线为y＝±eq\r(3)x，则∠EOA＝∠AOF＝eq\f(1,2)∠EOF＝eq\f(π,3)，①若直线l斜率不存在，此时△EOF为顶角为eq\f(2π,3)的等腰三角形，且|OE|＝4，所以S△EOF＝4eq\r(3)；②若直线l斜率存在，设方程为：y＝k(x－2)＋3，联立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2）＋3，,x2－\f(y2,3)＝1，))得：(3－k2)x2＋(4k2－6k)x－4k2＋12k－12＝0，因为l交双曲线于y轴右侧，且eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以k<－eq\r(3)或k>eq\r(3)，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，联立直线l和渐近线解得：x3＝eq\f(－2k＋3,\r(3)－k)，x4＝eq\f(－2k＋3,－\r(3)－k)，所以|OE|＝eq\f(|x3|,cos∠EOA)，|OF|＝eq\f(|x4|,cos∠AOF)，所以S△EOF＝eq\f(1,2)·|OE|·|OF|sin∠EOF＝|x1x2|·tan∠EOA＝eq\r(3)|x1x2|，所以S△EOF＝eq\f(\r(3)（－2k＋3）2,k2－3)＝4eq\r(3)＋3eq\r(3)·eq\f(7－4k,k2－3)，令f(k)＝eq\f(7－4k,k2－3)(k<－eq\r(3)或k>eq\r(3))，f′(k)＝eq\f(2（x－2）（2x－3）,（k2－3）2)，当k<－eq\r(3)时，f′(k)>0，f(k)单调递增，且f(k)>0，此时S△EOF>4eq\r(3)；当eq\r(3)<k<2，f′(k)<0，当k>2时，f′(k)>0，f(k)min＝f(2)＝－1，此时S△EOF＝eq\r(3)，综上所述，△EOF面积的最小值为eq\r(3)，此时k＝2且Δ＝0，即直线l与双曲线相切．3．(2023·湖北模拟)已知动圆过点F(0，1)，且与直线l：y＝－1相切，设动圆圆心D的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过l上一点P作曲线C的两条切线PA，PB，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于M，N两点．记△AFM，△PMN，△BFN的面积分别为S1、S2、S3.(ⅰ)证明：四边形FNPM为平行四边形；(ⅱ)求eq\f(Seq\o\al(2,2),S1S3)的值．解：(1)设圆心D(x，y)，由题意得：eq\r(x2＋（y－1）2)＝|y＋1|，化简整理得：x2＝4y，所以曲线C的方程为x2＝4y.(2)(ⅰ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\f(x,2)，所以直线PA的方程为y＝eq\f(x1,2)(x－x1)＋y1，即y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，令y＝0，得到x＝eq\f(x1,2)，同理可得直线PB的方程为y＝eq\f(1,2)x2x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,2)，令y＝0，得到x＝eq\f(x2,2)，所以M(eq\f(x1,2)，0)，N(eq\f(x2,2)，0)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x1x－\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，,y＝\f(1,2)x2x－\f(1,4)xeq\o\al(2,2)，))消去y，解得x＝eq\f(x1＋x2,2)，所以P(eq\f(x1＋x2,2)，－1)，又F(0，1)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\f(x1,2)，－1)＋(eq\f(x2,2)，－1)＝(eq\f(x1＋x2,2)，－2)＝eq\o(FP,\s\up6(→))，所以四边形FNPM为平行四边形；(ⅱ)由(ⅰ)知直线PA的方程为y＝eq\f(1,2)x1x－eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，又xeq\o\al(2,1)＝4y1，所以eq\f(1,2)x1x－y－y1＝0，即x1x－2y－2y1＝0，同理可知直线PB的方程为x2x－2y－2y2＝0，又P在直线PA，PB上，设P(x0，－1)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1x0－2y1＋2＝0，,x2x0－2y2＋2＝0，))所以直线AB的方程为：x0x－2y＋2＝0，故直线AB过点F(0，1)，因为四边形FNPM为平行四边形，所以FM∥BP，FN∥AP，所以FN＝PM，PN＝MF，eq\f(BN,NP)＝eq\f(BF,FA)＝eq\f(MP,MA)，所以MP·NP＝MA·BN，因为S1＝eq\f(1,2)|MA||MF|sin∠AMF，S2＝eq\f(1,2)|PM||PN|sin∠MPN，S3＝eq\f(1,2)|NB||NF|sin∠BNF，所以eq\f(Seq\o\al(2,2),S1S3)＝eq\f(（\f(1,2)|PM||PN|sin∠MPN）2,（\f(1,2)|MA||MF|sin∠AMF）·（\f(1,2)|NB||NF|sin∠BNF）)＝eq\f(（|PM|·|PN|）2,|MA|·|MF|·|NB|·|NF|)＝eq\f(|PM|·|PN|,|MA|·|NB|)＝1.4．(2023·广东二模)已知A，B是抛物线E：y＝x2上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足eq\f(|PA|,|PC|)＝eq\f(|PB|,|PD|)＝λ，其中λ是常数，且λ≠1.(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；(2)若点P为半圆x2＋y2＝1(y<0)上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC面积的最大值．(1)证明：因为eq\f(|PA|,|PC|)＝eq\f(|PB|,|PD|)＝λ，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以AB∥CD，所以直线AB和直线CD的斜率相等，即kAB＝kCD，设A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))，C(x3，xeq\o\al(2,3))，D(x4，xeq\o\al(2,4))，则点M的横坐标xM＝eq\f(x1＋x2,2)，点N的横坐标xN＝eq\f(x3＋x4,2)，由kAB＝kCD，得eq\f(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1),x2－x1)＝eq\f(xeq\o\al(2,4)－xeq\o\al(2,3),x4－x3)，因式分解得eq\f(（x2－x1）（x2＋x1）,x2－x1)＝eq\f(（x4－x3）（x4＋x3）,x4－x3)，约分得x2＋x1＝x4＋x3，所以eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(x3＋x4,2)，即xM＝xN，所以MN垂直于x轴．(2)解：设P(x0，y0)，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝1，且－1≤y0<0，当λ＝2时，C为PA的中点，则x3＝eq\f(x0＋x1,2)，y3＝eq\f(y0＋xeq\o\al(2,1),2)，因为C在抛物线上，所以eq\f(y0＋xeq\o\al(2,1),2)＝(eq\f(x0＋x1,2))2，整理得xeq\o\al(2,1)－2x0x1＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0，当λ＝2时，D为PB中点，同理得xeq\o\al(2,2)－2x0x2＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0，所以x1，x2是方程x2－2x0x＋2y0－xeq\o\al(2,0)＝0的两个根，因为Δ＝4xeq\o\al(2,0)－4(2y0－xeq\o\al(2,0))＝8(xeq\o\al(2,0)－y0)>0，由韦达定理得x1＋x2＝2x0，x1x2＝2y0－xeq\o\al(2,0)，所以x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝xM，所以PM也垂直于x轴，所以|PM|＝eq\f(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2),2)－y0＝eq\f(4xeq\o\al(2,0)－4y0＋2xeq\o\al(2,0),2)－y0＝3(xeq\o\al(2,0)－y0)，因为|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(4xeq\o\al(2,0)－8y0＋4xeq\o\al(2,0))＝2eq\r(2)·eq\r(xeq\o\al(2,0)－y0)，所以S四边形ABDC＝eq\f(3,4)S△PAB＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)·|PM|·|x1－x2|＝eq\f(3,8)·3(xeq\o\al(2,0)－y0)×2eq\r(2)·eq\r(xeq\o\al(2,0)－y0)＝eq\f(9\r(2),4)(eq\r(xeq\o\al(2,0)－y0))3＝eq\f(9\r(2),4)(eq\r(－yeq\o\al(2,0)－y0＋1))3，－1≤y0<0，当y0＝－eq\f(1,2)时，－yeq\o\al(2,0)－y0＋1取得最大值eq\f(5,4)，所以S四边形ABDC≤eq\f(9\r(2),4)×(eq\r(\f(5,4)))3＝eq\f(45\r(10),32)，所以四边形ABDC面积的最大值为eq\f(45\r(10),32).5．(2023·广东模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为eq\f(\r(3),2).点P(4，2)，直线l：x＋2y－1＝0.(1)证明：直线l与椭圆C相交于两点，且每一点与P的连线都是椭圆的切线；(2)若过点P的直线与椭圆交于A，B两点，与直线l交于点Q，求证：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→)).(1)证明：由题意可得2b＝2，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝eq\r(3)，所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，直线l与椭圆方程联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去x，整理得8y2－4y－3＝0，则Δ＝16－4×8×(－3)＝112>0，所以直线l与椭圆C相交于两点，设M(1－2y0，y0)为直线l与椭圆C的交点，则8yeq\o\al(2,0)－4y0－3＝0，yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,2)y0＋eq\f(3,8)，直线PM的方程为y＝eq\f(y0－2,－2y0－3)(x－4)＋2，即y＝eq\f(2－y0,2y0＋3)x＋eq\f(8y0－2,2y0＋3)，代入椭圆方程得eq\f(x2,4)＋(eq\f(2－y0,2y0＋3)x＋eq\f(8y0－2,2y0＋3))2＝1，整理得(8yeq\o\al(2,0)－4y0＋25)x2＋16(－4yeq\o\al(2,0)＋9y0－2)x＋4(60yeq\o\al(2,0)－44y0－5)＝0，即2x2＋4(2y0－1)x－(4y0－5)＝0，所以Δ＝16(2y0－1)2＋8(4y0－5)＝8(8yeq\o\al(2,0)－4y0－3)＝0，故PM是椭圆的切线．(2)解：因为P，A，B，Q四点共线，由(1)可知P在线段AB外，Q在线段AB内，所以eq\o(PA,\s\up6(→))与eq\o(PB,\s\up6(→))的方向相同，eq\o(QB,\s\up6(→))与eq\o(AQ,\s\up6(→))的方向相同，要证eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AQ,\s\up6(→))，只需要|PA|·|QB|＝|PB|·|AQ|，即证eq\f(|PA|,|AQ|)＝eq\f(|PB|,|QB|).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x3，y3)，不妨设x1<x3<x2，则eq\f(|PA|,|AQ|)＝eq\f(|PB|,|QB|)等价于eq\f(4－x1,x3－x1)＝eq\f(4－x2,x2－x3)，即(4－x1)(x2－x3)－(4－x2)(x3－x1)＝0，显然(4－x1)(x2－x3)－(4－x2)(x3－x1)＝－8x3＋(x3＋4)(x1＋x2)－2x1x2，设直线PQ的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝kx＋2－4k，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－4k，,x2＋4y2＝4，))消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16(1－2k)·kx＋4(2－4k)2－4＝0，则x1＋x2＝eq\f(16（2k－1）k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4（2－4k）2－4,1＋4k2)；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－4k，,x＋2y－1＝0，))可得x3＝eq\f(8k－3,1＋2k)；因此－8x3＋(x3＋4)(x1＋x2)－2x1x2＝eq\f(－8（8k－3）,1＋2k)＋(eq\f(8k－3,1＋2k)＋4)eq\f(16（2k－1）k,1＋4k2)－eq\f(8（2－4k）2－8,1＋4k2)＝eq\f(24－64k,1＋2k)＋eq\f(16k＋1,1＋2k)×eq\f(16（2k2－k）,1＋4k2)＋eq\f(8（－16k2＋16k－3）,1＋4k2)＝eq\f(8[（3－8k）（1＋4k2）＋（16k＋1）（4k2－2k）＋（－16k2＋16k－3）（1＋2k）],（1＋2k）（1＋4k2）)＝0，所以结论成立．6．(2023·湖南模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，过点F的直线l与双曲线C的右支相交于M，N两点，点M关于y轴对称的点为P.当eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝0时，|MN|＝eq\f(2\r(3),3).(1)求双曲线C的方程；(2)若△MNP的外心为Q，求eq\f(|QF|,|MN|)的取值范围．解：(1)点M关于y轴对称的点为P，故MP平行于x