电路基础与实践（第4版）课件：线性动态电路的复频

线性动态电路的复频域分析

拉普拉斯变换及其性质拉普拉斯反变换动态线性电路的复频域模型线性电路的复频域法求解线性动态电路的复频域分析

7.1拉普拉斯变换及其性质

7.2拉普拉斯反变换7.3动态线性电路的复频域模型7.4线性电路的复频域法求解

线性动态电路的复频域分析

引例：高阶电路高阶电路就是能用高阶微分方程描述的电路，高阶电路可以是含有两个不同种类的储能元件或者含有一种储能元件，但是储能元件有多个串并联，且不能化简成一个储能元件的电路。典型的高阶电路如图7-1所示，它是R、L、C串联的二阶电路。图7-1R、L、C串联的二阶电路线性动态电路的复频域分析

开关闭合后，对图7-1电路应用基尔霍夫电压定律列方程有在学过，各个元件的电压电流关系为,因此有把uR、uL带入KVL方程，把uL放前面有可见该电路可用二阶微分方程描述。图7-1R、L、C串联的二阶电路线性动态电路的复频域分析

对于二阶微分方程的求解过程非常麻烦，更遑论高阶微分方程求解。而实际工程中，有些系统或者电路，数学建模都是高阶微分方程，这给工程分析和应用带来很大麻烦。如何解决这个问题？本章的复频域分析法给出很好的答案。前面几章的内容，研究的是电路中的电压和电流随时间变化情况，称为时域分析；本章将研究电路中的电压和电流随复频率的变化。2024/12/280:02培养目标知识目标能力目标素养目标1)熟练掌握常用信号的拉普拉斯变换。2)熟练掌握拉普拉斯反变换的部分分式法。3)熟练掌握电路元件的复频域电压电流关系及电路的复频域模型。4)掌握电路定律的复频域形式及线性电路的复频域分析方法。1)能够对常用信号进行拉普拉斯变换。2)能够应用电路的基本定理对电路进行分析计算。3)能够应用部分分式法进行拉普拉斯反变换。4)会把给定电路变换为复频域模型。1）具有创造性思维、创新意识和实践能力。2）具有良好合作交流能力及团队协作精神。3）具有安全意识，自觉遵守规章制度。4）具有良好的工程意识，严谨的工作作风，自觉遵守工程规范。5）具有社会责任心与节能和环境保护意识。一、拉普拉斯变换的定义

7.1拉普拉斯变换及其性质

定义：由电气一个定义在[0，∞]区间的函数f（t）它的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）定义为：

象函数

：F（s）即为函数f（t）的拉普拉斯变换，F（s）称为f（t）的象函数。原函数：F（s）即为函数f（t）的拉普拉斯变换，f（t）称为F（s）的原函数。拉氏变换存在条件:对于一个时域函数f（t），若存在正的有限值M和c，使得对于所有t满足：f（t）的拉氏变换F（s）总存在。象函数与原函数的关系还可以表示为单边氏变换收敛域复平面称为s平面，水平轴称为轴，垂直轴称为轴，称为收敛坐标，通过的垂直线是收敛域的边界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收敛域位于收敛轴的右边。单边拉氏变换的收敛域

1．线性性质二、拉普拉斯变换的基本性质

a1，a2为常数

2．微分性质推论若则3．积分性质若则4．尺度性质若则收敛区间

5．时移性质若收敛区间

则表7-1常用信号的拉普拉斯变换三、常用信号的拉普拉斯变换例7-1已知f（t）=e-atu（t），试求其导数的拉氏变换

解：解法一：由基本定义式求：因为f（t）导数为解法二：由微分性质求

已知两种方法结果相同，但后者考虑了f（0-）

例7-2衰减余弦的拉氏变换

解：经查表7-1得

7.2拉普拉斯反变换定义

在计算出信号的拉普拉斯变换以后，通过反变换，可以将信号还原为其原函数。则由F（s）到f（t）的变换称为拉普拉斯反变换，它的定义为例如拉普拉斯变换表示为拉普拉斯反变换表示为部分分式展开法（Haviside展开法）基本思想是根据拉氏变换的线性特性，将复杂的F（s）展开为多个简单的部分的和，通过一些已知的拉氏变换的结果，得到的F（s）的原函数。假设F（s）可以表示成有理函数形式

式中，an、bm为实常数，n、m为正整数。可以将其通过部分分式展开，表示为多个简单的有理分式之和。这里分几种情况讨论：1．m＜n，D（s）=0无重根假设D（s）=0的根为S1，S2，…Sn，则可以将F（s）表示为：常数Kk的求法：为了确定系数Kk，可以在上式的两边乘以因子（s-sk），再令s=sk，这样上式右边只留下Kk项，便有求得系数Kk后，则与F（s）对应的时域函数可表示为

例7-3求的原函数f（t）解:

首先将F（s）化为真分式

令解得：

s1=-1，s1=-2，s1=-3所以F（s）的真分式可展成部分分式系数K1、K2、K3为

F（s）可展开为则得：2．m＜n，D（s）=0有重根

若D（s）=0只有一个r重根s1，即s1=s2=s3=…sr，而其余（n-r）个全为单根，则D（s）可写成F（s）展开的部分分式为例7-4求的原函数f（t）

解:由于D（s）=0有复根，根据D（s）=0有重根F（s）展开的部分分式为各系数为所以原函数3．m≥n时先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和7.3动态线性电路的复频域模型一、基尔霍夫定律的复频域形式

KCL和KVL的时域形式分别为设RLC系统（电路）中支路电流i（t）和支路电压u（t）的单边拉普拉斯变换分别为I（s）和U（s），得到

1.电阻元件

二、动态电路元件的S域模型

设线性时不变电阻R上电压u（t）和电流i（t）的参考方向关联，则R上电流和电压关系的时域形式为单边拉普拉斯变换

U（s）=RI（s）（a）（b）图7-3R的时域和S域模型（a）时序模型（b）频域模型

2.电感元件

关联方向：（a）（b）图7-4电感L的时域和零状态S域模型（a）时序模型（b）频域模型电感L的时域模型如图7-4（a）所示。设i（t）的初始值i（0_）=0（零状态），u（t）和i（t）的单边拉普拉斯变换分别为U（s）和I（s），对上式取单边拉普拉斯变换，根据时域微分、积分性质，得

U（s）=sLI（s）若电感L的电流i（t）的初始值i（0_）不等于零，如图7-5所示电感元件的非零状态S域模型，对电感元件VAR的时域式取单边拉普拉斯变换，可得图7-5电感元件的非零状态S域模型3.电容元件

关联方向若u（t）的初始值u（0_）=0（a）（b）图7-6电容元件的时域和零状态S域模型（a）时序模型（b）频域模型

u（t）的初始值u（0-）不等于零

（a）（b）图7-7电容元件的非零状态S域模型1.线性电路的复频域等效模型7.4线性电路的复频域法求解画s域模型过程中要特别注意三点:1）对于具体的电路，只有给出的初始状态是电感电流和电容电压时，才可方便地画出s域等效电路模型，否则就不易直接画出，这时不如先列写微分方程再取拉氏变换较为方便。2）不同形式的等效s域模型其电源的方向是不同的，千万不要弄错。3）在作s域模型时应画出其所有内部电源的象电源，并特别注意其参考方向例7-5

电路如图7-8（a）所示，激励为e（t），响应为i（t），求s域等效模型及响应的s域方程。解:s域等效模型如图7-8（b）所示，列KVL方程:（a）（b）图7-8例7-5图（a）电路系统（b）s域网络模型解出其中，Z（s）为s域等效阻抗。2线性电路的复频域法求解线性电路的复频域法求解步骤：1）由换路前电路计算uc（0-），iL（0-）。2）画s域等效模型电路图。3）应用电路分析方法求象函数。4）反变换求原函数。解

作s域模型如图7-9（b）所示。初始条件以内部象电流源形式