2024-2025学年山西省晋城市高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年山西省晋城市高二上学期12月月考数学检测试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请将全部答案按要求写在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在下列各题的四个选项中选出一个符合题意的选项．）1．已知集合则（

）A． B．C． D．2．已知向量，且，则的值为（

）A．或4 B． C． D．43．已知等差数列中，，则公差（

）A．4 B．3 C． D．4．已知等比数列中，，，则公比（

）A．2 B． C．4 D．5．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（

）A．4 B．8 C．16 D．326．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．7．设等差数列的前项和为，若，则（

）A． B．4 C． D．8．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在下列各题的四个选项中，有多个选项符合题意，请你选出正确的选项．注：多选、错选不给分，选不全者得2分．）9．已知复数，则下列说法正确的是（

）A．的实部为3 B．的虚部为2C． D．10．已知椭圆.则下列结论正确的是（

）A．长轴为6 B．短轴为4C．焦距为 D．离心率为11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（

）A． B．C． D．12．如图，在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，下列说法正确的是（

）

A．B．三棱锥的体积是C．点到平面的距离是D．该正方体外接球的半径与内切球的半径之比是第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分．）13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为．14．从0～9这10个数中随机选择一个数，则这个数的平方的个位数字是奇数的概率为．15．直线被圆截得的弦长为.16．椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为.四、解答题（本题共6个小题，共70分．解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在等差数列中，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角的大小；(2)若，，求．19．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在内，按照，，…，分组，得到如下频率分布直方图：(1)求图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(3)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少.21．已知数列的前项和为，且(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和22．已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．1．D【分析】根据并集的知识求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D2．A【分析】由平行向量的坐标表示求解即可.【详解】因为向量，且，所以，解得，或.故选：A.3．B【分析】根据等差数列通项公式即可求解.【详解】在等差数列中，，所以有．故选：B4．D【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意.故选：D5．A【分析】根据已知条件求得，进而求得.【详解】依题意，所以.故选：A6．C【分析】根据等差数列前项和公式和通项公式即可求解.【详解】由题意得，解得，，故选：C.7．C【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值【详解】设等差数列的首项为，公差为，∵等差数列的前项和为，，∴，整理得，∴．故选.8．A【分析】利用等差数列的性质得出即可求解.【详解】等差数列，，，，，则取最大值时，.故选：A.9．BD【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案.【详解】由于复数，所以z的实部为，虚部为2，所以，.所以AC选项错误，BD选项正确.故选：BD10．ABD【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.所以A、B、D对，C错.故选：ABD11．AC【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；由公式，可得，.【详解】由题意得，设直线：即，则点到直线的距离是，所以，得，所以，，，所以AC正确，故选：AC.12．AC【分析】A由正方体的性质，应用线面垂直的判定和性质判断；B由，应用棱锥体积公式求体积；C先证面，再将点到平面的距离化为到面的距离判断；D由正方体外接球、内切球半径与棱长关系即可判断.【详解】A：由面，面，则，又，而，面，则面，面，所以，对；

B：由，错；

C：由，面，面，则面，又面即为面，且是上的动点，所以点到平面的距离，即为到面的距离，由⊥平面，平面，则，又，而，平面，则⊥平面，所以所求距离为，对；

D：由于正方体外接球半径为体对角线的一半，即为，正方体内切球的半径为棱长的一半，即为1，所以正方体外接球的半径与内切球的半径之比是，错.故选：AC13．【分析】根据面积公式直径运算求解即可.【详解】由题意可得的面积为.故答案为.14．##0.5【分析】利用列举法求解出古典概型的概率.【详解】，其中个位数字是奇数的有，共5个，故这个数的平方的个位数字是奇数的概率为.故15．2【分析】将直线方程代入圆的一般方程，解方程得出两个交点的坐标，结合两点距离公式计算即可求解.【详解】由题意知，，代入圆的一般方程，得，解得，当时，，对应的点为，当时，，对应的点为，所以该弦长为.故2.16．##【分析】根据椭圆与双曲线共用一对焦点，设双曲线方程，根据椭圆与双曲线的定义可得，，再根据可得勾股定理，结合化简求解即可.【详解】设，在双曲线中，渐近线为，即，故，，，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，因为，∴，而，代入可得：，∴.故17．(1)(2)【分析】根据等差数列的通项公式，前项的和公式可对（1），（2）求解.【详解】（1）设的公差为，由：，得：，所以：，故：数列的通项公式.（2）由等差数列前项公式：，得：，故：数列的前项的和.18．(1)或(2)当时，；当时，【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解.（2）根据角的大小，结合余弦定理，即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，又，所以，因为，所以，因为，或.（2）因为，，当时，，因为，则；当时，，因为，则.综上，当时，；当时，.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明；（2）根据线面角的向量求法即可求解.【详解】（1）

以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面.（2）由（1）得，，设直线与平面所成的角为，则.20．(1)(2)(3)65分【分析】（1）由所有频率和为1，列方程求出的值，（2）由平均数公式求解即可，（3）设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程估计录取的分线【详解】（1）由题意得，解得（2）这些应聘者笔试成绩的平均数为（3）根据题意，录取的比例为，设分数线定为，根据频率分布直方图可知，则，解得，所以估计应该把录取的分数线定为65分21．(1)(2)【分析】（1）由与的关系和等比数列的定义进行求解即可；（2）由错位相减法进行求解即可.【详解】（1）由已知，当时，，即，∴.当时，∵，∴，两式相减，得，即，∴（），∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，∴数列的通项公式为.（2）由第（1）问，，∴，①①，得，，②∴①②，得，∴.22．(1)(2)证明见详解【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程