浙江省北斗星盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

绝密★考试结束前高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4．考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（）A．B．C．D．3．已知双曲线的方程是，它的两个焦点分别是与，M是双曲线上的一点，且，则的值为（）A．1B．13C．1或13D．4或104．已知是等差数列的前n项和，若，则（）A．2B．3C．4D．55．已知，则点D到平面ABC的距离为（）A．3B．C．D．6．在四棱台中，平面ABCD，，且，动点P满足，则直线CP与平面ABCD所成角正弦值的最大值为（）A．B．C．D．7．设椭圆的左，右焦点分别为，点M，N在C上，且点M，N关于原点O对称，当时，，当点M在椭圆C上运动时，四边形面积的最大值是，则椭圆C的焦距为（）A．B．6C．D．8．记圆锥的侧面是曲面，且曲面平面，其中l是圆锥的一条母线，则称平面是“平面”，“平面”上不与l平行且不与l重合的直线称为“圆锥的斜切直线”．已知直线a是圆锥的“斜切直线”，且直线a经过圆锥某条母线的中点，若圆锥的体积是，底面面积是，且圆锥底面中心C到直线a的距离是，则直线l与圆锥底面夹角的正弦值为（）A．B．C．D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知圆，直线与圆C交于A，B两点，则以下四个选项中正确的是（）A．圆C的圆心坐标是B．C．D．的面积是10．如图，把正方形纸片ABCD沿着AE（E是线段BC的中点）翻折成平面，O是原正方形的中心，则在翻折过程中，以下说法正确的是（）A．B．与BD所成角的最大值是C．若F是CD的中点，则与平面ABCD所成角的正弦值的最大值是D．过B做AE的垂线与AE交于点H，11．已知曲线，直线l经过点，则以下说法正确的是（）A．记曲线围成的面积是S，则B．若，直线l与曲线交于不同的两点B，C，的最小值是C．当时，有2条不同的直线l，直线l与曲线有3个不同的交点D．若，设点B是曲线上的任意一点，则非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知等比数列满足，则___________．13．在棱长为6的正方体中，E，F分别是线段OA，OC上的动点，直线和平面所成的角为，则点B到直线EF的最大距离为__________．14．已知椭圆，左、右焦点分别为在直线上有一动点，过点P作两条直线，其中与椭圆相切于点D，经过点与椭圆交于点B，C当时，__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列是公比不为1的等比数列，前n项和为，且满足．（1）求数列的公比；（2）若是递增数列且，求数列的前n项和．16．（15分）已知椭圆经过点，点P是椭圆上的动点，左右焦点分别是与，过的直线交椭圆于A，B两点，周长的为16．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆上有且只有3个点到直线的距离为1，求m．17．（15分）如图，三角形PAB和菱形ABCD所在平面垂直，且．线段BC的中点为E．（1）当时，证明：直线平面ABCD；（2）当时，求平面PAB和平面PDE夹角的正弦值．18．（17分）已知平面上的动点P到点的距离与直线的距离相等．（1）求点P的轨迹方程；（2）已知圆C方程是，过点P的两条直线分别与圆C相切于点A，B．（i）记四边形PACB的面积是S，若．求点P纵坐标的取值范围；（ii）设直线PA，PB的斜率是，若，求的取值范围．19．（17分）取整函数被广泛的应用于数论，函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数另外也称是x的整数部分已知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，其中，求k的值；（3）求证：为8的倍数其中．（参考公式：）高二年级数学学科参考答案一、选择题题号12345678答案CBBDBADD1．【C】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，即倾斜角正切值，所以倾斜角为．2．【B】圆心坐标，半径对于A选项，此时圆心坐标为，半径为2，圆心距为，舍去对于B选项，此时圆心坐标为，半径为，圆心距为，符合题意对于C选项，此时圆心坐标为，半径为，圆心距为，舍去对于D选项，此时圆心坐标为，半径为，圆心距为，舍去3．【B】由题意得：或13，又不符题意，舍去．4．【D】设等差数列的公差为d，则，解方程组得．5．【B】由题意得：，设平面ABC的法向量为，则有：令，解得又点D到平面ABC的距离为6．【A】如图所示，当点P与点重合时，直线CP与平面ABCD所成角正弦值最大为．7．【D】由题意得：，由余弦定理得：，解得①又当M，N分别为椭圆得上、下顶点时，四边形面积最大，②，又③①②③联立解得：焦距为．8．【D】如图建立坐标系，设A为母线的中点且在直线a上，平面的法向量．不妨取直线a上一点使得，此时，可得，可以令，则所以此时底面中心到直线a的距离，解得而底面的法向量，记直线a与底面所成角为，所以．二、选择题91011ABABDAD9．【AB】解析：对于A选项，，因此圆心的坐标是；对于B选项，圆心到直线的距离是，则；对于C选项，，因此C选项错误；对于D选项，，因此D选项错误．10．【ABD】解析：对于A选项，，则平面．对于B选项，，直线BD与直线的夹角，就是直线AH与AH的夹角，设，当在平面ABCD时，，因此直线BD与直线的夹角最大值是．对于C选项，如图所示，的轨迹是圆G，当与圆G相切时，则与平面ABCD所成角的正弦值的最大，设正方形的边长是2，因此C选项错误．对于D选项，与都是等腰三角形，，因此．11．【AD】解析：对于A选项，该曲线的图象如图所示，与x轴的交点是，因此该封闭图形的面积由一个正方形和四个半圆组成，计算可得正方形的面积是，半圆的半径是，四个半圆的面积是，因此；对于B选项，若过的直线l与曲线相交，则当直线l的斜率为0时，交点落在以为圆心，半径是n的圆上，而其他直线与曲线的交点都在圆外，但是曲线也经过，因此不是最小值，B选项错误；对于C选项，如图所示，当时，点A在曲线外，若直线l与曲线有3个不同的交点，因此这样的直线l有4条，C选项错误；对于D选项，无论点在曲线内还是曲线外，到曲线上点的最大值可以转化成点到如图所示的四个圆上的点的最大值，由对称性可知，点到四个圆上的点的最大值在左上圆或者左下圆取到，则最大值是．三、填空题12．213．14．012．2解析：已知等比数列满足，则13．解析：如图1所示，过点O做平面的垂线，垂足是G，延长与底面相交，交点是L，由于，则点L的轨迹是圆，如图2所示，设直线OL的倾斜角是，则，因此圆O的切线方程是，则点B到直线的距离是．当时，“=”成立．所以点B到直线EF的最大值是．图1图214．0设点，直线的斜率为直线的斜率为由于直线与椭圆相切，所以直线DP的方程为：，因为点P在切线上，将点P代入，化简可得①而，所以②将①式和②式联立可得，，化简得③又因为，即，而所以，将③式代入化简，可得，解得或（舍去）所以轴，即点P此时为直线和x轴的交点，故四、解答题15．（1）解：由（2分）化简得，解得或（6分）（2）由题可知，（8分）两式相减得：，化简得（13分）16．解：周长（2分）椭圆，将代入解得：（4分）所以椭圆方程为（6分）（2）由题意得，到1的距离为1的点的轨迹是与l平行的两条直线，可设为，则得或（8分）因为，所以椭圆与相交且与相切由方程组消去y，得．①方程①的根的判别式．由，得（12分）所以同理：所以（15分）17．（1）当时，又，所以故为等腰直角三角形，（2分）取CD中点F，连AF因为四边形ABCD为菱形，，所以所以因为平面平面ABCD，且交线为AB所以平面PAB，故（6分）所以平面ABCD（7分）（2）如图建系因为平面平面ABCD，可设所以，解得，（10分）所以（10分）又平面PAB的法向量，设平面PDE的法向量则所以，化简得，令，所以故（12分）记平面PAB和平面PDE夹角为，所以所以．（15分）18．解析：（1）设点，由于动点P到点的距离与直线的距离相等则点P的轨迹是抛物线，抛物线的方程是．（4分）（2）若，可以转化为，设点，则，则，（7分）联立圆方程与椭圆方程，解得，则抛物线与圆只相较于，而过只能做圆C的一条切线，因此，所以（8分）（3），可得，可得（10分）设PA的方程是，化简可得由相切可得，整理可得（13分），（16分）所以（17分