1.2 数轴、相反数与绝对值 小节测试 湘教版数学七年级上册（解析版）

第第1页（共1页）解析1.2数轴、相反数与绝对值—小节测试—>>>精品解析<<<一、选择题1、下列说法，其中正确的个数为（）①正有理数和负有理数统称为有理数；②一个有理数不是整数就是分数；③有最小的负数，没有最大的正数；④符号不同的两个数互为相反数；⑤﹣a一定在原点的左边；⑥正整数和负整数统称为整数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个［思路分析］根据有理数的定义，相反数逐一判断即可．［答案详解］解：①正有理数，零和负有理数统称为有理数，原说法不正确；②一个有理数不是整数就是分数，原说法正确；③没有最小的负数，没有最大的正数，原说法不正确；④只有符号不同的两个数互为相反数，原说法不正确；⑤当a＝0时，﹣a＝0，当a＞0时，﹣a一定在原点的左边，当a＜0时，﹣a定理是原点的右边，原说法不正确；⑥正整数，零和负整数统称为整数，原说法不正确．所以正确的说法有1个．故选：A．［经验总结］此题主要考查了有理数相关的定义，相反数，同学们要熟练把握好基础知识才能做出正确的判断．2、若|a+2|+|b﹣7|＝0，则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5［思路分析］根据非负数的性质分别求出a、b，计算即可．［答案详解］解：∵|a+2|+|b﹣7|＝0，∴|a+2|＝0，|b﹣7|＝0，∴a+2＝0，b﹣7＝0，解得，a＝﹣2，b＝7，则a+b＝5，故选：C．［经验总结］本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．3、|a﹣2|+|b+1|＝0，则a+b等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2［思路分析］直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．［答案详解］解：∵|a﹣2|+|b+1|＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．［经验总结］此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．4、如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，且原点为O，根据图中各点位置，判断下列四个式子的值何者最大？（）A．|a|+|b| B．|a|+|c| C．|a﹣c| D．|b﹣c|［思路分析］此题的四个选项都与绝对值有关，可将每个算式都转化为以点A、B、C、O为端点的某条线段的长度，然后进行比较，得出结论．［答案详解］解：由数轴和绝对值的意义，得|a|+|b|＝AB，|a|+|c|＝AC，|a﹣c|＝AC，|b﹣c|＝BC，∵AB＞AC＞BC，∴AB最大，即|a|+|b|的值最大，故选：A．［经验总结］此题的解题关键是理解绝对值的含义以及用减法和绝对值表示线段的长度，属于基础题．5、若|a﹣2|+|b+3|＝0，则（a+b）2016的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2016［思路分析］利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．［答案详解］解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，则原式＝1，故选：B．［经验总结］此题考查了绝对值的性质，理解绝对值的非负性是解本题的关键．6、若a＜0，则2a+5|a|等于（）A．3a B．﹣3a C．7a D．﹣7a［思路分析］利用绝对值的性质：正数，零的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数可将其进行化简．［答案详解］解：∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴原式＝2a﹣5a＝﹣3a，故选：B．［经验总结］本题考查了与绝对值有关的计算，解题的关键在于利用绝对值的性质进行化简．7、﹣a、b两数在数轴上的位置如图，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＜0 B．a＜b C．|a|＝﹣a，|b|＝﹣b D．|a|＞|b|［思路分析］依据题意，根据﹣a，b两数在数轴的位置，确定a，b的符号，并利用得到的结论对四个选项进行逐一判断．［答案详解］解：由题意：﹣a＞0，b＜0，b的绝对值大于﹣a的绝对值．∵﹣a＞0，∴a＜0．∴A选项不正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，b＜0，a＜0，∴a＞b．∴B选项不正确．∵﹣a＞0，b＜0，∴|a|＝﹣a，|b|＝﹣b．∴C选项正确．∵b的绝对值大于﹣a的绝对值，∴|b|＞|a|．∴D选项不正确．故选：C．［经验总结］本题主要考查了数轴和绝对值．解题的关键是应用绝对值的几何意义判断数轴上的点对应的数的符号．8、数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：①﹣m表示的数一定是正数；②若|m|＝8，则m＝﹣8；③在﹣m，，m2，m3中，最大的数是m2或﹣m；④式子|m+|的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个［思路分析］根据点M在数轴上的位置，判断﹣m，，m2，m3的符号，求出当|m|＝8时m的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．［答案详解］解：数轴上点M对应着数m，在原点左边，因此m＜0，∴﹣m＞0，即﹣m是正数，因此①正确；若|m|＝8，则m＝±8；又m＜0，因此m＝﹣8，故②正确；∵m＜0，∵﹣m＞0，＜0，m2＞0，m3＜0，当﹣1＜m＜0时，﹣m＞m2，当m≤﹣1时，﹣m≤m2，因此③正确；∵|m+|≥2，即|m+|≥2，∴|m+|的最小值为2，因此④正确；故选：D．［经验总结］考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，理解点M对应着数m的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．9、﹣3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3［思路分析］根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．［答案详解］解：﹣3的相反数是3．故选：C．［经验总结］本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．10、﹣7的绝对值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣ D．［思路分析］根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．［答案详解］解：|﹣7|＝7，故选：B．［经验总结］本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．二、填空题11、已知|x﹣2|与|y+7|互为相反数，则x+y＝．［思路分析］根据非负数的性质得出x，y的值，再代入计算即可．［答案详解］解：∵|x﹣2|与|y+7|互为相反数，∴|x﹣2|+|y+7|＝0，∴x﹣2＝0，y+7＝0，∴x＝2，y＝﹣7∴x+y＝2﹣7＝﹣5，故答案为﹣5．［经验总结］本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．12、代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是．［思路分析］利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．［答案详解］解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．［经验总结］本题考查了与绝对值有关的问题，解题的关键在于借助数轴，利用绝对值的性质进行求解．13、|a+3|+|b﹣2|＝0，则a+b＝．［思路分析］根据绝对值非负数的性质列式求解即可得到a、b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．［答案详解］解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴a+b＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．［经验总结］本题考查了绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．14、若x+3的相反数是﹣8，则x＝．［思路分析］根据相反数的意义求解即可．［答案详解］解：由题意，得x+3+（﹣8）＝0，解得x＝5，故答案为：5．［经验总结］本题考查了相反数，利用相反数的和为零得出方程是解题关键．15、若﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，则x的相反数是．［思路分析］先根据多重符号的化简方法得出﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，即x＝﹣3，再根据相反数的定义即可求解．［答案详解］解：∵﹣{﹣[﹣（﹣x）]}＝﹣3，∴x＝﹣3，即x的相反数为3．故答案为：3．［经验总结］本题考查了相反数的概念，多重符号的化简规律．用到的知识点：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，a的相反数是﹣a．多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．16、的相反数是．［思路分析］根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答．［答案详解］解：的相反数是﹣，故答案为：﹣．［经验总结］本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．17、化简﹣（﹣5）＝．［思路分析］根据相反数的定义化简即可．［答案详解］解：﹣（﹣5）＝5．故答案为：5．［经验总结］此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解本题的关键．18、若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x+y的值为．［思路分析］根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将x，y再代入计算．［答案详解］解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，∴x＝3，y＝﹣2，∴x+y的值为：3﹣2＝1，故答案为：1．［经验总结］此题主要考查了绝对值的性质，根据题意得出x，y的值是解决问题的关键．19、设a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，则a+2b+c的最小值为．［思路分析］由于|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，则当x在﹣1和1之间时，a+2b+c有最小值．［答案详解］解：|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到﹣1、﹣3的距离以及到1的距离的2倍之和，所以当x在﹣1和1之间时，它们的距离之和最小，此时a+2b+c＝6；故答案为：6．［经验总结］本题考查了绝对值和数轴上两点间的距离，熟练掌握用绝对值表示数轴上两点间的距离是解题关键．20、我们知道，在数轴上，点M，N分别表示数m，n则点M，N之间的距离为|m﹣n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），则线段BD的长度为．［思路分析］先由|a﹣c|＝|b﹣c|＝|d﹣a|＝1（a≠b），推得点C在点A和点B之间，且C与A，C与B之间的距离均为1，D与A之间的距离为2.5，据此画数轴草图，因不知格点的具体位置，故不标原点及数值，据此可解．［答案详解］解：∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1∴点C在点A和点B之间∵|d﹣a|＝1∴|d﹣a|＝2.5不妨设点A在点B左侧，如图（1）线段BD的长为4.5如图（2）线段BD的长为0.5故答案为：4.5或0.5．［经验总结］本题考查了数轴上的点与其距离的关系，将所给绝对值等式化简，数形结合，画草图分析，是解题的关键．三、解答题21、如果|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求a+b的值．［思路分析］根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可得解．［答案详解］解：根据题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，所以a+b＝3．［经验总结］本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．22、先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．［思路分析］（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．［答案详解］解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．［经验总结］本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．23、已知a是最大的负整数的相反数，|b+4|＝2，且|c﹣5|+|d+3|＝0，（1）写出a、b、c、d的值．（2）计算a﹣b﹣c+d的值．［思路分析］（1）根据有理数的概念求出a，根据绝对值的性质求出b的值，再根据非负数的性质列方程求解即可得到c、d；（2）将a、b、c、d的值代入代数式进行计算即可得解．［答案详解］解：（1）∵a是最大的负整数的相反数，∴a＝1，∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝﹣2，∴b＝﹣2或b＝﹣6，∵|c﹣5|+|d+3|＝0，∴c﹣5＝0，d+3＝0，解得c＝5，d＝﹣3，所以，a＝1，b＝﹣2或﹣6，c＝5，d＝﹣3；（2）a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣2）﹣5+（﹣3），＝1+2﹣5﹣3，＝﹣5，或a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣6）﹣5+（﹣3），＝1+6﹣5﹣3，＝﹣1，所以，a﹣b﹣c+d的值为﹣5或﹣1．［经验总结］本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；还考查了绝对值的性质和有理数的概念．24、若|a+1|+|b﹣2|＝0，则a+b﹣1的值为多少？［思路分析］根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．［答案详解］解：由题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，则a+b﹣1＝0．［经验总结］本题考查的是非负数的性质，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．25、同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．［思路分析］（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．［答案详解］解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．［经验总结］此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．26、我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示2和5的两点的距离是，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x是．（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是．［思路分析］（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．（3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值．［答案详解］解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45．（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3．（3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4．故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4．［经验总结］此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．27、在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值；（2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．［思路分析］（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．［答案详解］解：（1）∵abc＜0，∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1．（2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，∴a，b，c中负数有2个，正数有1个，∴abc＞0，∴＝＝1．［经验总结］本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，