高职高等数学教案第四章不定积分

第四章不定积分§4-1不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间上，可导函数的导数为，即对任一，都有或，则称为在区间上的一个原函数。例：，则是的一个原函数；，则都是的原函数。2.原函数性质定理1：如果在区间上连续，则在该区间原函数一定存在。定理2：如果是的一个原函数，则是的全体原函数，且任一原函数与只差一个常数。例：验证都是的原函数证：，则三个函数都是的原函数3.不定积分定义定义2：的全体原函数称为的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。说明：如果是在区间上的一个原函数，则就是的不定积分，即例1：求解：因为，所以是的一个原函数则例2：求解：当时，当时，所以4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为，可由沿轴平移得到。OOxy例：一条积分曲线过点，且平移后与重合，求该曲线方程解：设由于曲线过则，二、不定积分性质性质1：性质2：性质3：三、基本积分表(1)(k是常数)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例1：求解：例2：求解：例3：求解：例4：求解：注：根式或多项式函数需化成形式，再利用公式。例5：求解：例6：求解：例7：求解：例8：求解：例9：求解：注：三角函数不定积分问题需要利用三角函数常用平方和公式及二倍角公式。§4-2换元积分法一、第一类换元积分法定理：如果，则，其中为关于的任意可微函数。第一类换元积分法（凑微分法）：对于不定积分中被积函数，如果可以将整理成的形式，则设，则原式例1：求解：设，则原式例2：求解：设，则原式例3：求解：设，则原式注：变量代换熟练后，可省略中间变量换元过程，直接利用凑微分形式解决问题。例4：求解：例5：求解：例6：求解：即同理可得例7：求解：即同理可得含三角函数（为非负整数）形式的积分：（1）若中有一个奇数，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，并将一次幂与凑微分。（2）若同为偶数，利用三角函数的倍角公式例8：求解：例9：求解：例10：求（选讲）解：即例11：求（选讲）解：即例12：求（选讲）解：即二、第二类换元积分法定理：设有连续导数，且，又设有原函数，是的反函数，则有例1：求解：设，则，例2：求解：设，则，注：若被积函数中含有被开方因式为一次式的根式，如，可设消去根式，再求积分。例3：求解：设，则，ttax如图由于则，，因此例4：求解：设，则，ttax如图由于则因此，其中例5：求解：设，则，ttax如图由于，则，其中常用积分公式补充：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)§4-3分部积分法1.引入分部积分公式：设函数及具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为：经过移项可得：两边求不定积分可得：，即此公式称为分部积分公式。2.直接利用分部积分公式例1：求解1：令，则解2：令，则注：1．通过例子可以看出解2中利用分部积分公式后积分变得更加复杂，因此应恰当选择2．利用分部积分公式后要比容易求解3．选择的方法：按“反对幂指三”的顺序，靠前为，靠后为例2：求解：令，则例3：求解：令，则例4：求解：令，则注：熟练后可不写出3.多次使用分部积分公式例1：求解：例2：求解：