2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1-3.1.2变化率问题导数的概念课时分层作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-课时分层作业(十三)(建议用时：40分钟)一、选择题1.如图所示，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均改变率是()A．1 B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(1－3,2)＝－1.]2．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均改变率为eq\r(3)，则下面叙述正确的是()A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,6)B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\r(3)D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\f(\r(3),3)B[函数f(x)从x1到x2的平均改变率就是割线AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)，选B．]3．若质点A根据规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为()A．6 B．18C．54 D．81B[因为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝eq\f(18Δt＋3Δt2,Δt)＝18＋3Δt，所以eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝18.]4．已知物体作自由落体运动的位移方程为s(t)＝eq\f(1,2)gt2，g＝9.8m/s2，若v＝eq\f(s1＋Δt－s1,Δt)，当Δt趋于0时，v趋近于9.8m/s，则9.8m/s是()A．物体从0s到1s这段时间的平均速度B．物体从1s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度C．物体在t＝1s这一时刻的瞬时速度D．物体在t＝Δts这一时刻的瞬时速度C[由瞬时速度的定义可知选C．]5．设函数f(x)在点x0旁边有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则()A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝bC[因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx＋bΔx2,Δx)＝a＋bΔx，所以f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))(a＋bΔx)＝a.]二、填空题6．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在[－2，1]上的平均改变率为__________；函数f(x)在[－2，3]上的平均改变率为__________．eq\f(2,3)eq\f(4,5)[从题图中可以看出f(－2)＝－1，f(1)＝1，f(3)＝3，所以函数f(x)在[－2,1]上的平均改变率为eq\f(f1－f－2,1－－2)＝eq\f(1－－1,3)＝eq\f(2,3)，函数f(x)在[－2,3]上平均改变率为eq\f(f3－f－2,3－－2)＝eq\f(3－－1,5)＝eq\f(4,5).]7．国家环保局在规定的排污达标的日期前对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)__________．甲企业[eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(Wt1－Wt2,Δt)，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量削减的多，∴甲企业的治污效果更好．]8．对于函数y＝eq\f(1,x2)，其导数值等于函数值的点是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))[设导数值等于函数值的点是(x0，f(x0))，则f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由题意知f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，从而y0＝eq\f(1,4).]三、解答题9．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均改变率eq\f(Δy,Δx)；(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数增量Δy和平均改变率eq\f(Δy,Δx).[解]f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×xeq\o\al(2,1)＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.10．蜥蜴的体温与阳光的照耀有关，已知关系式为T(t)＝eq\f(120,t＋5)＋15，其中T(t)(单位：℃)为蜥蜴的体温，t(单位：min)为太阳落山后的时间．(1)从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0到t＝10，蜥蜴体温的平均改变率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．[解](1)T(10)－T(0)＝eq\f(120,10＋5)＋15－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,0＋5)＋15))＝－16，即从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃(2)从t＝0到t＝10,蜥蜴的体温的平均改变率是eq\f(T10－T0,10－0)＝eq\f(－16,10)＝－1.6℃/min，它表示从t＝0到t＝10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃(3)因为eq\f(T5＋Δt－T5,Δt)＝eq\f(\f(120,5＋Δt＋5)＋15－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(120,5＋5)＋15)),Δt)＝－eq\f(12,10＋Δt)，所以当Δt趋近于0时，－eq\f(12,10＋Δt)趋近于－1.2，即T′(5)＝－1.2，它表示当t＝5时，蜥蜴体温的下降速度为1.2℃1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx>0)之间的平均改变率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均改变率为k2，则k1与k2的大小关系是()A．k1>k2 B．k1<k2C．k1＝k2 D．不确定A[k1＝eq\f(x0＋Δx2－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(2x0Δx＋Δx2,Δx)＝2x0＋Δx，k2＝eq\f(x\o\al(2,0)－x0－Δx2,Δx)＝eq\f(2x0Δx－Δx2,Δx)＝2x0－Δx，因为Δx>0，所以k1>k2.]2．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝()A．－2f′(2) B．2C．－eq\f(1,2)f′(2) D．eq\f(1,2)f′(2)C[因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2－f2＋Δx,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(2)．]3．如图所示，水波的半径以1m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，水波面的圆面积的膨胀率是__________m2/s.10π[圆的半径r与时间t的关系为r＝tm，则圆的面积y＝πr2＝πt2，当r＝5m时，t＝5s，Δy＝π(5＋Δt)2－π×52＝π(Δt)2＋10πΔt，eq\f(Δy,Δt)＝πΔt＋10π，所以y′|t＝5＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(πΔt＋10π)＝10π.]4．若可导函数f(x)的图象过原点，且满意eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于________．－1[f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，又eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx－0)＝－1，∴f′(0)＝－1.]5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②)).求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．[解](1)∵物体在t∈[3,5]内的时间改变量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移改变量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．∵物体在t＝0旁边的平均改变率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时改变率为eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do10(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18m/s.(3)物体在t＝1时的瞬