2024-2025学年新教材高中数学第十章复数10.3复数的三角形式及其运算教师用书教案新人教B版必修第四册

PAGE1-10.3复数的三角形式及其运算[课程目标]1.驾驭复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.驾驭复数的代数形式与三角形式的转化关系．学问点一复数的三角形式[填一填]1．假如非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量eq\o(OZ,\s\up16(→))的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，则r＝|z|＝eq\r(a2＋b2)，依据随意角余弦、正弦的定义可知，cosθ＝eq\f(a,r)，sinθ＝eq\f(b,r).因此，a＝rcosθ，b＝rsinθ，如图所示，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．2．任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且随意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特殊地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.[答一答]1．复数的三角形式条件是什么？提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，①r≥0.②加号连接．③余弦在前，正弦在后．④θ前后一样，可随意值．学问点二复数三角形式的乘法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，将eq\o(OZ1,\s\up16(→))绕原点旋转θ2，再将eq\o(OZ1,\s\up16(→))的模变为原来的r2倍，假如所得向量为eq\o(OZ,\s\up16(→))，则eq\o(OZ,\s\up16(→))对应的复数即为z1z2，如图所示．3．假如n∈N，则[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]．[答一答]2．复数三角形式的乘法的运算原则是什么？提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．学问点三复数三角形式的除法[填一填]1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)(z2≠0)，则eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．2．两个复数相除的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，将eq\o(OZ1,\s\up16(→))绕原点顺时针旋转θ2，再将eq\o(OZ,\s\up16(→))的模变为原来的eq\f(1,r2)，假如所得向量为eq\o(OZ,\s\up16(→))，则eq\o(OZ,\s\up16(→))对应的复数即为eq\f(z1,z2)，如图所示．[答一答]3．复数三角形式除法的运算法则是什么？提示：两个复数相除(除数不为0)，其商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．也就是说，两个复数相除(除数不为0)，是把模相除作为商的模，辐角相减作为商的辐角．类型一由复数的代数形式化三角形式[例1]下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式．(1)z1＝－2(cosθ＋isinθ)；(2)z2＝cosθ－isinθ；(3)z3＝－sinθ＋icosθ；(4)z4＝sinθ－icosθ；(5)z5＝cos60°＋isin30°.[分析]由三角形式的结构特征，确定推断的依据和变形的方向变形时，可依据如下步骤进行：首先确定复数z在复平面内对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次推断是否要变换三角函数名称，最终确定辐角，此步骤可简称为“定点→定名→定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率．[解](1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换z1＝2(－cosθ－isinθ)，z1在复平面上对应的点(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限，∴z1＝2(－cosθ－isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2在复平面内对应的点(cosθ2，－sinθ)在第四象限(假定θ为锐角)，不需变更三角函数名称，可用诱导公式“2π－θ”或“－θ”将θ变换到第四象限．∴z2＝cosθ－isinθ＝cos(－θ)＋isin(－θ)或z2＝cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．z3在复平面内对应的点(－sinθ，cosθ)在其次象限(假定θ为锐角)，需变更三角函数名称，可用诱导公式“eq\f(π,2)＋θ”将θ变换到其次象限．∴z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ)．(4)同理(3)z4＝sinθ－icosθ＝cos(eq\f(3,2)π＋θ)＋isin(eq\f(3,2)π＋θ)．(5)z5＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i＝eq\f(1,2)(1＋i)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一．对这类与三角形式很相像的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点，有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.[变式训练1]把下列复数代数式化成三角式：(1)eq\r(3)＋i；(2)1＋i；(3)－4＋3i.解：(1)r＝eq\r(3＋1)＝2，∵eq\r(3)＋i对应的点在第一象限，∴tanθ＝eq\f(1,\r(3))，即θ＝eq\f(π,6)，∴eq\r(3)＋i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))).(2)∵r＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，而1＋i对应的点在第一象限，∴tanθ＝eq\f(1,1)＝1，∴θ＝eq\f(π,4)，∴1＋i＝eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(3)∵r＝eq\r(9＋16)＝5.－4＋3i对应点在其次象限，tanθ＝－eq\f(3,4)，∴θ＝π－arctaneq\f(3,4)，∴－4＋3i＝5[cos(π－arctaneq\f(3,4))＋isin(π－arctaneq\f(3,4))]．类型二复数的模及辐角主值[例2]求复数z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)的模与辐角主值．[分析]式子中多了个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”．[解]z＝1＋cosθ＋isinθ＝1＋(2cos2eq\f(θ,2)－1)＋2isineq\f(θ,2)coseq\f(θ,2)＝2coseq\f(θ,2)(coseq\f(θ,2)＋isineq\f(θ,2))．(1)∵π<θ<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴coseq\f(θ,2)<0，∴(1)式右端＝－2coseq\f(θ,2)(－coseq\f(θ,2)－isineq\f(θ,2))＝－2coseq\f(θ,2)[cos(π＋eq\f(θ,2))＋isin(π＋eq\f(θ,2))]∴r＝－2coseq\f(θ,2).∵eq\f(π,2)<eq\f(θ,2)<π，∴eq\f(3,2)π<π＋eq\f(θ,2)<2π，∴argz＝π＋eq\f(θ,2).复数2coseq\f(θ,2)(coseq\f(θ,2)＋isineq\f(θ,2))从形式上看好像就是三角形式，不少同学认为r＝2coseq\f(θ,2)，argz＝eq\f(θ,2).错误之处在于他们没有去考虑θ角的范围，因此肯定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来推断是否为三角形式．看了这道例题，你肯定能解决如z1＝1－cosθ－isinθ(π<θ<2π)，z2＝1＋cosθ－isinθ(π<θ<2π)等类似问题．[变式训练2](1)复数sin50°－isin140°的辐角主值是(D)A．150° B．40°C．－40° D．320°解析：sin50°>0，－sin140°<0，复数sin50°－isin140°在复平面内的对应点在第四象限，因为sin50°－isin140°＝cos40°－isin40°＝cos(360°－40°)＋isin(360°－40°)＝cos320°＋isin320°，所以辐角主值为320°.(2)当实数m＝0时，复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是eq\f(5,4)π.解析：因为辐角主值为eq\f(5,4)π，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2≤0，,2m2－3m－2≤0，,\f(2m2－3m－2,m2－m－2)＝1，))解得m＝0.类型三复数三角形式的乘法运算[例3]计算：3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)]·[10(cos80°＋isin80°)]．[解]3(cos20°＋isin20°)[2(cos50°＋isin50°)][10(cos80°＋isin80°)]＝3×2×10[cos(20°＋50°＋80°)＋isin(20°＋50°＋80°)]＝60(cos150°＋isin150°)＝60(－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i)＝－30eq\r(3)＋30i.若遇到复数的代数式与三角式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数式或三角式，然后进行复数的代数式相乘或三角式相乘.[变式训练3]计算：(－1＋i)[eq\r(3)(coseq\f(7,4)π＋isineq\f(7,4)π)]．解：|－1＋i|＝eq\r(－12＋12)＝eq\r(2)，cosθ＝eq\f(－1,\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，sinθ＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴可取θ＝eq\f(3,4)π.故－1＋i的三角形式为eq\r(2)(coseq\f(3,4)π＋isineq\f(3,4)π)．原式＝eq\r(2)(coseq\f(3,4)π＋isineq\f(3,4)π)[eq\r(3)(coseq\f(7,4)π＋isineq\f(7,4)π)]＝eq\r(2)·eq\r(3)[cos(eq\f(3,4)π＋eq\f(7,4)π)＋isin(eq\f(3,4)π＋eq\f(7,4)π)]＝eq\r(6)(coseq\f(5,2)π＋isineq\f(5,2)π)＝eq\r(6)(coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2))＝eq\r(6)i.[例4]已知n∈N*，求证：(cosθ－isinθ)n＝cosnθ－isinnθ.[证明]左边＝[cos(－θ)＋isin(－θ)]n＝[cos(－nθ)＋isin(－nθ)]＝cosnθ－isinnθ＝右边．复数n次幂的模等于这个复数的模的n次幂.它的辐角等于这个复数的辐角的n倍.也就是说，复数的n次幂n∈N，是把模的n次幂作为幂的模，把辐角的n倍作为幂的辐角.[变式训练4]计算：(1)[eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))]10；(2)[2(coseq\f(2π,15)＋isineq\f(2π,15))]5.解：(1)[eq\r(2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))]10＝(eq\r(2))10(coseq\f(5,2)π＋isineq\f(5,2)π)＝32(coseq\f(π,2)＋isineq\f(π,2))＝32i.(2)[2(coseq\f(2π,15)＋isineq\f(2π,15))]5＝25(coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3))＝32(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝－16＋16eq\r(3)i.类型四复数三角形式的除法运算[例5]已知复数z＝r(cosθ＋isinθ)，r≠0，求eq\f(1,z)的三角形式．[解]eq\f(1,z)＝eq\f(cos0°＋isin0°,rcosθ＋isinθ)＝eq\f(1,r)[cos(0°－θ)＋isin(0°－θ)]＝eq\f(1,r)[cos(－θ)＋isin(－θ)]．由此例可以看出，一个非零复数的倒数，其模是原来复数的模的倒数，其辐角是原来复数辐角的相反数.[变式训练5]计算：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]．解：4(cos80°＋isin80°)÷[2(cos320°＋isin320°)]＝eq\f(4,2)[cos(80°－320°)＋isin(80°－320°)]＝2[cos(－240°)＋isin(－240°)]＝2(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)＝－1＋eq\r(3)i.1．复数eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i的三角形式是(D)A．cos(－eq\f(π,3))－isin(－eq\f(π,3))B．coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)C．coseq\f(π,3)－i