2024-2025学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其运算课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE1-课时分层作业(一)空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝()A．30° B．45°C．60° D．以上都不对D[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，∴a·b＝eq\f(3,2)，∴cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,4)．]2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量eq\o(AC1,\s\up7(→))的共有()①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))．A．1个B．2个C．3个D．4个D[依据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行推断：①(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．②(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．③(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．④(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))．所以，所给4个式子的运算结果都是eq\o(AC1,\s\up7(→))．]3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则eq\o(FG,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝()A．eq\f(\r(3),4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)B[由题意可得eq\o(FG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，∴eq\o(FG,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4)．]4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉的值为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2) D．0D[如图所示，∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))·(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝|OA|·eq\o(|OC,\s\up7(→))|·cos∠AOC－eq\o(|OA,\s\up7(→))|·|OB|·cos∠AOB＝0，∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝eq\f(π,2)，cos〈eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))〉＝0．]5．设三棱锥O­ABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，G是△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up7(→))等于()A．a＋b－c B．a＋b＋cC．eq\f(1,2)(a＋b＋c) D．a＋b＋c)D[如图所示，eq\o(OG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．]二、填空题6．已知|a|＝2eq\r(2)，|b|＝eq\f(\r(2),2)，a·b＝－eq\r(2)，则a·b所夹的角为________．eq\f(3,4)π[cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\r(2),2\r(2)×\f(\r(2),2))＝－eq\f(\r(2),2)，又〈a·b〉的取值范围为[0，π]，∴〈a，b〉＝eq\f(3,4)π．]7．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．eq\r(3)[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c＝1＋4＋1－4×cos60°－4×cos60°＋2×cos60°＝3，∴|a－2b＋c|＝eq\r(3)．]8．四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则点B与点D1eq\r(2)[四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．∴eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))，∴eq\o(BD1,\s\up7(→))2＝(eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→)))2＝eq\o(BA,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋eq\o(DD1,\s\up7(→))2＋2eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(BA,\s\up7(→))·eq\o(DD1,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(DD1,\s\up7(→))＝1＋1＋1＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos60°＝2，∴|eq\o(BD1,\s\up7(→))|＝eq\r(2)，∴点B与点D1两点间的距离为eq\r(2)．]三、解答题9．已知长方体ABCD­A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)eq\o(AA′,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB′,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(C′D′,\s\up7(→))；(3)eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AA′,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′D′,\s\up7(→))＝eq\o(AD′,\s\up7(→))．(2)eq\o(AB′,\s\up7(→))＋eq\o(B′C′,\s\up7(→))＋eq\o(C′D′,\s\up7(→))＝eq\o(AD′,\s\up7(→))．(3)设M是线段AC′的中点，则eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A′A,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA′,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→))．向量eq\o(AD′,\s\up7(→))、eq\o(AM,\s\up7(→))如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：(1)eq\o(AM,\s\up7(→))；(2)eq\o(AN,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(AD1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c．(2)eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→)) B．eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))C．eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→)) D．eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))ABCD[对于A，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0．对于B，eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝0．对于C，eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→))＝(eq\o(NQ,\s\up7(→))＋eq\o(QP,\s\up7(→)))＋(eq\o(MN,\s\up7(→))－eq\o(MP,\s\up7(→)))＝eq\o(NP,\s\up7(→))＋eq\o(PN,\s\up7(→))＝0．对于D，eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))＝eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝0．]12．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．90°B[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝eeq\o\al(2,1)－e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝1－1×1×eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)．|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e1－2e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)－4e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(1－2＋4)＝eq\r(3)．∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(3,2),3)＝－eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝120°．]13．已知空间向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．－13[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2,点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|＝______，|eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))|＝______．2eq\r(3)[|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝2×2×cos60°＝2，故|eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝eq\o(BC,\s\up7(→))2－eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up7(→))2＝4－2＋eq\f(1,4)×4＝3，故|eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\r(3)．]15．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|eq\o(MB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AM,\s\up7(→))|，|eq\o(CN,\s\up7(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(ND,\s\up7(→))|，求|eq\o(MN,\s\up7(→))|．[解]∵eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,