第五章 抛体运动 知识要点讲义 高一年级下册物理人教版（2019）必修第二册

第五章抛体运动

5.1.曲线运动

一、曲线运动

1.定义

物体运动轨迹是曲线的运动。

2.曲线运动的速度

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向。

(2)曲线运动的速度特点

曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是曲线上这一点的切线方向。

所以曲线运动的速度方向时刻在变化。

3.物体做曲线运动的条件

F合(a)与v不共线，包含三层意思：①vOrO；②F合力0；③F合(a)方向与v方

向不共线

4.曲线运动的性质及分类

(1)性质：由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变.速运动，加速度一定

不为零，所受合外力一定不为零。

(2)分类：①匀变速曲线运动：加速度恒定；②非匀变速曲线运动：加速度变化。

5.曲线运动的轨迹与速度、合力的关系

做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方

向与合力方向之间.

6.合外力与速率变化的关系

(1)内容：当合力厂(加速度a)跟物体速度不共线时，此时可以把尸(a)在沿速度的方向

和垂直速度的方向进行分解，如图a、b所示。其中与速度共线，只能改变速度的大

小，图a中£(&)与速度同向，故速度要增大，图b中£(团)与速度反向，故速度要减小；

4(加)与速度垂直，只能改变速度的方向，不能改变速度的大小。

⑵结论：若合力方向与速度方向的夹角为a,贝ij：

-a为锐角时，速率增大,如图一

倚力与速率变化的关系於0为宜角时'速率不变'如图乙一

■a为钝角时，速率减小,如图丙

7.运动的五种类型

轨迹特点加速度特点运动性质

加速度为零匀速直线运动

直线加速度不变匀变速直线运动

加速度变化变加速直线运动

加速度不变匀变速曲线运动

曲线

加速度变化变加速曲线运动

二、典例题

例1:下列说法正确的是（）

A.做曲线运动的物体速度方向一定发生变化

B.速度方向发生变化的运动一定是曲线运动

C.速度变化的运动一定是曲线运动

D.加速度变化的运动一定是曲线运动

答案A

解析做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，故A正确；速度方向发生变化不是判断

物体做曲线运动的条件，而是曲线运动的特点，如物体在弹簧作用下的往返运动，物体速度

方向改变，但做直线运动，故B错误；速度是矢量，速度的变化包括大小和方向的变化，如

匀变速直线运动，物体速度大小发生变化，但不是做曲线运动，故C错误；做直线运动的物

体加速度也可以变化，如变加速直线运动，故D错误.

例2：假设“嫦娥三号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从的点向〃点飞行的过程中,

速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（）

BCD

答案C

解析由合力方向指向轨迹弯曲的一侧知A、D一定错误。由于运动方向是从M点向N点，B

中合力与速度的夹角为锐角，速度增加，C中合力与速度的夹角为钝角，速度减小，故选C。

例题3：（多选）物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能

做（）

A.匀速直线运动B.匀加速直线运动

C.匀减速直线运动D.匀变速曲线运动

答案BCD

解析剩余几个力的合力恒定不为零，所以物体不可能做匀速直线运动，选项A错误.剩余

的几个力的合力与撤去的力等值、反向、共线，所以这个合力恒定不变，物体一定做匀变速

运动.若物体的速度方向与此合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；若剩余的几个力的

合力与物体的速度方向相反，则物体做匀减速直线运动；若剩余几个力的合力与速度不共线，

物体做匀变速曲线运动，选项B、C、D正确.

5.2运动的合成和分解

一、一个平面运动的实例

1.蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为小玻璃管向右匀速移动的

速度设为匕，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t,蜡块的位置。可以用它的x、y

两个坐标表示：x=v*t,y^Vyt.

2.蜡块运动的速度：大小1，=4属+方向满足tan0~~-

3.蜡块运动的轨迹：y=~x,是一条过原点的直线.

Vx

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动

(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动

就是分运动.

(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的

位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.

2,合运动与分运动的四个特性

等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同

等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同

同体性各分运动与合运动是同一物体的运动

独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响

3.运动的合成与分解

(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运

动的分解.

(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量,

遵循的是平行四边形定则.

4.合运动的性质判断

变化：变加速运动

(1)加速度(或合外力)

不变：匀变速运动

共线：直线运动

（2）加速度（或合外力）与速度方向

不共线：曲线运动

5.两个直线运动的合运动性质的判断

两个互成角度的分运动合运动的性质

两个匀速直线运动匀速直线运动

一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动匀变速曲线运动

两个初速度为零的匀加速直线运动匀加速直线运动

如果丫石与a6共线，为匀变速直线运动

两个初速度不为零的匀变速直线运动如果ya与a备不共线，为匀变速曲线运

动

三'小船渡河问题

1.渡河时间最短问题

当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，人此时船渡河的位移k系，位移

方向满足tan仁会.

2.渡河位移最短问题

情况一：K*<Kffl

当船头方向与上游夹角9满足VMCOS«=『*时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于

河宽,,此时渡河所用时间'=品。,如图甲所示.

情况二：V^>V（S

当船头方向（即「行方向）与合速度方向垂直时,渡河位移最短,为如图乙

所示，由图可知si…十，最短航程为此时船头指向应与上游河岸成勿角，且3"，

四、绳（杆）端速度分解模型

1.模型特点

绳（杆）拉物体或物体拉绳（杆），以及两物体通过绳（杆）相连，物体运动方向与绳（杆）

不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。

2.模型分析

①合运动一绳（杆）拉物体的实际运动速度r

［其一：沿绳（或杆）的分速度以

②分运动一《

I其二：与绳（或杆）垂直的分速度匕

（3）解题原则：根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：

五、典例题

例题1.（多选）关于合运动和分运动，下列说法中正确的有（）

A.物体同时参与几个运动时的实际运动就是这几个运动的合运动

B.合运动的时间比分运动的时间长

C,合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都一定满足平行四边形定则

D.合速度一定大于分速度

答案AC

解析物体同时参与几个运动时，物体的实际运动叫作这几个运动的合运动，A正确；合运

动与分运动同时进行，具有等时性，B错误；位移、速度、加速度都是矢量，故合运动与分

运动的位移、速度、加速度的关系都满足平行四边形定则，C正确；根据平行四边形定则可

知，合矢量可能大于分矢量，也可能小于分矢量，即合速度可能小于分速度，D错误。

例题2.雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（）

①风速越大，雨滴下落时间越长②风速越大，雨滴着地时速度越大③雨滴下落时间与风

速无关④雨滴着地速度与风速无关

A.①②B.②③

C.③④D.①④

答案B

解析将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖

直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确.风速越大，落地时，雨滴水平方

向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.

例题3.如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在力点匀速上升的

同时，使玻璃管从48位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的

（）

A.直线户B.曲线。

C.曲线/?D.三条轨迹都有可能

答案B

解析红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，

实际运动的轨迹即是合运动的轨迹.由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，

而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，

故轨迹是曲线.又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折（或加速度方向总指向曲

线的凹侧），故选项B正确.

例题4.某质点在。％平面上运动。2=0时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度一时

间图像如图甲所示，它在y方向的位移一时间图像如图乙所示，贝卜）

A.质点做匀加速直线运动

B.1s末的瞬时速度大小为11m/s

C.2s内的位移大小为2而m

D.质点沿y轴正方向做匀速直线运动

答案C

解析质点在x轴方向做匀变速运动，而在y轴方向上为匀速直线运动，故合运动一定为匀

变速曲线运动，A错误；质点在x方向的加速度为a=《j=2m/s[质点在x方向1s末的

Ax

速度为%=Vo+at=6m/s,质点在y方向做匀速直线运动，在y方向的速度为为=~^~^5m/s,

则1s末瞬时速度大小为v=yj\^+vy=y[Mm/s,B错误；2s末，质点在x方向的位移x

=研+/#=12m,质点在y方向的位移y=10m,则2s末位移大小为xo=\Jf+夕

m,C正确；质点的运动方向应该是合速度的方向，不是y轴的方向，D错误。

例题5.质量由2kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速

度14和修随时间变化的图像如图所示，求：

⑴物体所受的合力大小；

⑵物体的初速度大小；

⑶6=4s时物体的位移大小；

(4)6=8s时物体的速度大小；

⑸物体运动的轨迹方程。

2

答案(1)1N(2)3m/s(3)4y[wm(4)5m/s⑸尸金

解析(1)物体在x方向的加速度d=0,

/\Yy-

在y方向的力口速度=.=0.5m/s,

△t

故合加速度为a=y/a：+aj=O.5m/s2

根据牛顿第二定律得尸合=侬=1No

⑵由题图可知以)=3m/s,i6o=0,

所以物体的初速度大小为%=«i4+0=3m/so

(3)工1=4s时，必=心右=12m,yi=-ayt?=4m

所以此时物体的位移大小Si=y]6+d=4/_6mo

(4)七2=8s时，心=%=3m/s,口=/,2=4m/s,

所以物体的速度大小为V2=yj必+&=5m/so

11

(5)由x=vxt=3t,/=5斗#=W-，

q

联立消去t得y=T7»

例题6.小船在200m宽的河中横渡，水流速度为2m/s,船在静水中的速度为4m/s。

⑴若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？

⑵要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？

⑶小船渡河的最短时间为多长？

⑷若水流速度是5m/s,船在静水中的速度是3m/s,则怎样渡河才能使船漂向下游的距离

最短？最短距离是多少？

答案见解析

解析(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动

之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t=

担•="s=50s。小船沿水流方向的位移1=2X50m=100m,即船将在正对岸下

咻！4

游100m处靠岸。

⑵要使小船到达正对岸，合速度。应垂直于河岸，如图中所示，则

cose=£=湾，故6=6。°，即船的航向与上游河岸成60。，渡河时间力=(=而能F

100A/3

s=3

乙

⑶考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角8,如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直

于河岸方向的分速度8,故小船渡河的时间为『品下,当『0。,即

船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin=50So

（4）因为V梏=301/5</水=5m/s,所以船不可能垂直于河岸横渡，不论航向如何，总被水流

冲向下游。如图丙所示，设船头（/阴）与上游河岸成8角，合速度v与下游河岸成a角，可

以看出：a角越大，船漂向下游的距离x‘越短。以/水的矢尖为圆心，以小合的大小为半径

3

画圆，当合速度卜与圆相切时，a角最大。则cos6=—=~故船头与上游河岸的夹角8

v水□

=53°,又乙丁=上=且三也代入数据解得x'-267m。

d咋咋

例题7.（多选）如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C,与质量为卬的物体A

连接，4放在倾角为。的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体8连接，连接

物体8的绳最初水平。从当前位置开始，使物体8以速度/沿杆匀速向下运动，设绳的拉力

为T,在此后的运动过程中，下列说法正确的是（）

A.物体力做加速运动B.物体力做匀速运动

C.7小于侬sin6D.厂大于侬sin6

答案AD

解析由题图可知绳端的速度为3ina,与8的位置有关，因为8为匀速运动，8下降过

程中a变大，因此物体4做加速运动，厂大于娱in6,故A、D正确，B、C错误。

例题8.如图所示，一根长直轻杆在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当杆和墙的夹角

为e时，杆的力端沿墙下滑的速度大小为必，8端沿地面滑动的速度大小为电则%、益的

关系是（）

A.V\=V2

C.Ui=Kztan9D.%=K?sin9

答案C

解析将A、B两点的速度分解为沿A8方向与垂直于A8方向的分速度，沿A8方向的速度

分别为功〃和。2〃，由于A8不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同,则有V]//=V]Cos仇

02〃=O2Sin。，由。1〃=也〃，得0=02tan。，C正确。

5.3.实验：探究平抛运动的特点

一、抛体运动

1.定义

以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动。

2.分类

竖直上抛运动（竖直下抛运动）、斜抛运动、平抛运动

二、平抛运动

1.定义

沿水平方向的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力作用，

这时的运动叫平抛运动。

2.条件

①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。

3.性质

平抛运动是曲线运动，所受合力（重力）恒定，故平抛运动为加速度为g的匀变速曲线

运动。

三、实验思路

方法一：喷水法

如图所示，倒置的饮料瓶内装有水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水

平，且加上一个很细的喷嘴.水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运

动的轨迹.将它描在背后的纸上，进行分析处理.

方法二：频闪照相法

数码照相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片.将照片上不同时刻的小

球的位置连成平滑曲线便得到了小球的运动轨迹.

实验结论：平抛运动在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。

方案三：对比实验法

步骤一：探究平抛运动竖直分运动的特点

1.用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；

2.同时B球被释放，做自由落体运动；

3.观察两球轨迹，比较落地时间先后；

4.改变小球距地面高度和小锤击打力度，重复多次试验。

实验现象：两小球同时落地

实验结论：平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动

步骤二：探究平抛运动水平分运动的特点

如右图所示的装置中，斜槽M末端水平。钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出

后做平抛运动。在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N,钢球飞出后，落到挡

板上。实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上。钢球落到倾斜的挡板上后，就

会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。上下调节挡板N,通过多次实验，在白纸上记录钢球

所经过的多个位置。最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。

设计实验：

①如图所示安装实验装置，将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上，用铅垂线把木板调整

到竖直方向并固定;调节斜槽M末端水平。

②把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点0,为坐标原

点，再利用铅垂线在纸上画出通过0点的竖直线，即y轴，过0点垂直y轴画出x轴。

③钢球在斜槽中从某一高度由静止滚下，从末端飞出后做平抛运动落到挡板N±,在白纸

上记录钢球位置。

④同一高度释放小球，上下调节挡板N,重复多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个

位置。

⑤用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。

实验注意事项：

(1)保证斜槽末端的切线必须水平。

(2)木板平面竖直且平行于小球平抛的轨道平面，并使小球的运动靠近木板但不接触。

(3)坐标原点不在斜槽口的末端，应在槽口上方小球球心处。

(4)小球应在同一位置无初速自由释放；释放的高度要适当，使小球以合适的水平初速度抛

出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。

例题1.(1)为了探究平抛运动的规律，老师做了如下两个演示实验：

①为了说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，用如图甲所示装置进行实验。小锤打击

弹性金属片，4球水平抛出，同时8球被松开自由下落。关于该实验，下列说法正确的有

A

力讪）“7

甲

A.所用两球的质量必须相等

B.只做一次实验发现两球同时落地，即可以得到实验结论

C.应改变装置的高度多次实验

D.本实验也能说明4球在水平方向上做匀速直线运动

②如图乙所示，两个相同的弧形轨道队/V位于同一竖直面内，其中〃轨道的末端与光滑的

水平地面相切。两个完全相同的小钢球入。以相同的水平初速度玲同时从轨道"、/V的末

端射出，观察到夕落地时与。相遇。只改变弧形轨道"的高度，多次重复实验，仍能观察到

相同的现象。这说明：»

⑵为了进一步研究平抛运动，某同学用如图丙所示的装置进行实验。

①为了准确地描绘出平抛运动的轨迹，下列要求合理的是0

A.小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放

B.斜槽轨道必须光滑

C.斜槽轨道末端必须水平

D.本实验必需的器材还有刻度尺和停表

②甲同学按正确的操作完成实验并描绘出平抛运动的轨迹，以平抛运动的初始位置。为坐标

原点建立万%坐标系，如图1所示。从运动轨迹上选取多个点，根据其坐标值可以验证轨迹

符合尸ax?的抛物线。若坐标纸中每小方格的边长为4根据图中〃点的坐标值，可以求出

③乙同学不小心将记录实验的坐标纸弄破损，导致平抛运动的初始位置缺失。他选取轨迹中

任意一点。为坐标原点，建立坐标系（x轴沿水平方向、y轴沿竖直方向），如图2所示。

在轨迹中选取48两点，坐标纸中每小方格的边长仍为Z,重力加速度为g。由此可知：小

球从。点运动到A点所用时间右与从4点运动到8点所用时间&的大小关系为：

*6（选填或“="）；小球平抛运动的初速度/=，小球

平抛运动的初始位置坐标为（）。

④丙同学将实验方案做了改变，如图3所示，他把桌子搬到墙的附近，调整好仪器，使从斜

槽轨道滚下的小球打在正对的墙上，把白纸和复写纸附在墙上，记录小球的落点。然后等间

距地改变桌子与墙的距离，就可以得到多个落点。如果丙同学还有一把刻度尺，他是否可以

计算出小球平抛时的初速度？请简要阐述理由。

答案（1）①C②做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动

1

⑵①AC②9③二2而Z-4Z.-L④可以用刻度尺测量落点

0£

与抛出点之间的竖直距离人测量墙与桌子的水平距离%根据尸;4

,可得t=

则改变桌子与墙的水平距离X，测量多组X,V值，计算多组初速度，取平

均值即可

解析（1）①本实验应改变装置高度多次实验，发现两球的下落时间总是相同，进而说明平

抛运动的竖直分运动是自由落体运动，但不能说明水平分运动是匀速直线运动。由自由落体

运动规律有下落时间与球质量无关，两球质量可以不等。

②小球。在光滑水平面上做匀速直线运动，改变弧形轨道的的高度，。球从不同高度做平抛

运动，落地时均与。相遇说明相同时间内两球运动相同的水平位移，即平抛运动的水平分运

动为匀速直线运动。

⑵①小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，滑到斜槽末端时的速率一定，保证平抛初速

度不变，描出的是同一轨迹。斜槽轨道不必光滑。末端水平，才能保证小球做平抛运动。本

实验不需要停表。

②由得a=4,将"点坐标（5Z.,5D代入得a=2=！。根据*=玲［，

X\uL）□£Z

③0、44、8间水平方向均为4个格，由可知，&=t2。YAB—yoA=gf,r=A———=

vo=#=272gL。小球竖直方向做自由落体运动，从开始下落，相邻相等时间内竖

直位移之比为1：3：5,而%:加=3：5,因此初始位置坐标为（一44-£）o

5.4抛体运动的规律

一、抛体运动

1.定义

以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动。

2.分类

竖直上抛运动(竖直下抛运动)、斜抛运动、平抛运动

二、平抛运动

1.定义

以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。

2.条件

①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。

3.性质

平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。

4.处理方法

“化曲为直”，平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动,

一个是竖直方向的自由落体运动。

5.规律

(3)轨迹

由水平方向解出t=5，代入得了=京矛2,平抛运动的轨迹是一条抛物线.

（4）两个重要推论

①做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为心位移与

水平方向的夹角为。，则tan，=2tana。

②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移

的中点，则x=2施。

（5）常用结论

①飞行时间：他,取决于下落高度A,与初速度的无关。

①水平射程：x=vot=由初速度的和下落高度方共同决定，与其他因素无关。

③落地速度：v=7/+诵+2的,以e表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan。

=三="皿，所以落地速度只与初速度的和下落高度/?有关。

vx%

④速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量A△力相同，方向恒为竖直向下，

如图所示。

三、一般的抛体运动

物体抛出的速度的沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动（设的与水平方向夹角为9）,

如图所示.

1.水平方向：物体做匀速直线运动，初速度K,=VoCOS夕.

2.竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度匕=%sin〃.

3.斜上抛运动

⑴任意时刻t物体的速度：vv=v^cosOvy=vosinO-gt

2

(2)任意时刻t物体的位置：x=vQtcos0y=vQtsinO-^gt

⑶射程：x1n2。

g

22

v()sin0

(4)射高：y=U------

2g

⑸飞行时间：f=2汕吆

g

四'与斜面结合的平抛运动问题

1.顺着斜面抛

如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上，此时平抛运动物体

的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角.分解位移，构建位移三角形。结论有：

(1)速度方向与斜面夹角恒定：tan(0+R=2tan。，所以a不变

2v?tan

(2)运动时间：x=vot,y=^-gr=>t=^

2g

2

(3)末速度y大小：y=Jv；+3>=v0>/l+4tan0

(4)A、B之间的距离s：s=^^=2%tan。

cos。geos。

2.对着斜面抛

如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜

面的倾角.分解速度，构建速度三角形。结论有：

(1)速度方向与斜面垂直.

⑵水平分速度与竖直分速度的关系：tan<=¥=舞

vygI

⑶运动时间右湍行

3.与弧面相关的平抛运动

分解位移，构建几何三角形。竖直方向：h=切,水平方向：R±\lR2-h2=V0t

五、类平抛运动

1.受力特点

物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.

2.运动特点

在初速度。o方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动.加

速度片穿

3.类平抛运动的求解方法

(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即

沿合外力的方向)的匀加速直线运动.

(2)特殊分解法：可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度。分解为处、ay,初速

度矶)分解为％、vy,然后分别在x、y方向列方程求解.

例：如图所示的光滑斜面长为/、宽为6、倾角为一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶

点"水平射入，恰好从底端。点离开斜面，试求：(重力加速度为㈤

⑴物块由户运动到。所用的时间t;

⑵物块由。点水平射入时的初速度3;

⑶物块离开。点时速度的大小K

宏索”/21eg/gsin0/（炉+4?）gsin万

答案（叫外加。⑵叭I21（3、21

解析⑴沿斜面向下的方向有〃?gsin8=加〃，/=%尸

联立解得‘“

（2）沿水平方向有b=v°f

„_2_/八Msin°

（3）物块离开Q点时的速度大小

六、平抛运动中的临界、极值问题

例：如图所示，排球场总长为18m,设球网高度为2m,运动员站在离网3m的线上（图中

虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。（不计空气阻力，g取lOm/s?）

⑴设击球点在3m线正上方高度为2.5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不

触网也不越界？

⑵若击球点在3m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就

是越界，试求这个高度。

答案（1）3师m/s<v<12y[2m/s（2）2.13m

解析（1）如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移》=3m,竖直位

移yi=/?2—力i=（2.5—2）m=0.5m,根据位移关系x=”,y—^gi1,可得代入数

据可得s=3回m/s,即所求击球速度的下限。设球刚好打在边界线上，则击球点到落地

点的水平位移戈2=12m,竖直位移＞2=〃2=2.5m,代入上面的速度公式v=.势可求得

02=12小m/s,即所求击球速度的上限。欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足

3y[\0m/s<o<12吸m/s»

甲

(2)设击球点高度为心时，球恰好既触网又压线，如图乙所示。

乙

设此时排球的初速度为。，击球点到触网点的水平位移X3=3m,竖直位移》=/73—肌=(人3

—2)m,代入速度公式。=.)^宗;可得兀三］；同理对压线点有X4=12m,丫4=/?3,

代入速度公式。=^^可得两式联立解得自72.13m,即当击球高度小于2.13

m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界。

例：一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为Z■，和£2)中间球

网高度为人发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒

乓球，发射点距台面高度为3仇不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速

率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则V的最大取

值范围是()

6h

(4L1+⑶g

6h

答案D

解析设以速率。।发射乒乓球，经过时间外刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3〃一/7

=上*①，水平方向上有9=0四②。由①@两式可得设以速率。2发射乒

乓球，经过时间攵刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3/J=余4③，在水平方

+L]=V2t2④。由③④两式可得^2=2（4L个"）g,则。的最大取值

范围为V]<V<V29故D正确。

七、经典习题

1.（多选）如图所示，从半径为R=1m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球,

经，=0.4s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g取10m/s2,据此判断小球的初速度

可能为（）

B.2m/s

C.3m/sD.4m/s

答案AD

解析由//=%尸，可得力=0.8m<lm,如图所示，小球落点有两种可能，若小球落在左侧，

,o4

由几何关系得平抛运动水平距离为0.4m,初速度。（）=於m/s=1m/s;若小球落在右侧，平

抛运动的水平距离为1.6m,初速度。（）=羔m/s=4m/s,A、D正确。

2.某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹

如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.第1次击中篮板时的速度小

B.两次击中篮板时的速度相等

C.球在空中运动过程中第1次速度变化快

D.球在空中运动过程中第2次速度变化快

答案A

解析将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，

由〃=*产得/=、席，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越

长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动

过程中速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度

变化快慢相同，故C、D错误。

3.有A、8两小球，8的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气

阻力，如图所示，①