第06讲 圆周角-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（苏科版）

第06讲圆周角【学习目标】1.理解并掌握圆周角相关概念2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；【基础知识】1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）【考点剖析】一．圆周角定理（共4小题）1．（2021秋•惠州期末）如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．80° B．260° C．100° D．130°2．（2022春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，AB边是圆O的直径，BC与圆O交于点D，且D是BC的中点，∠BAC＝120°，点E在圆O上，则∠BED的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°3．（2021秋•天津期末）如图，已知点A，B．C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（）A．80° B．76° C．62° D．52°4．（2022春•庐阳区校级期中）直线MN交⊙O于点A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，DE⊥MN于E．若DE=3，AE（1）⊙O的半径；（2）圆心O点到AB距离．二．圆内接四边形的性质（共7小题）5．（2021秋•炎陵县期末）如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D＝85°，则∠B＝（）A．85° B．95° C．105° D．115°6．（2021秋•舟山期末）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°7．（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的度数是°．8．（2021秋•吴兴区期末）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，．若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于．9．（2021秋•泗阳县期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC＝150°，求∠EBC的度数．10．（2021秋•山西期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．（1）求∠BAC的度数．（2）求∠BAD的度数．11．（2021秋•南沙区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝110°，求∠BAC的度数．三．相交弦定理（共4小题）12．（2020秋•台江区校级月考）证明：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6 B．7 C．12 D．1614．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•睢宁县模拟）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（）A．45° B．28° C．56° D．60°2．（2022•无锡模拟）如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16° B．20° C．24° D．32°3．（2021•武都区二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A． B． C．5 D．4．（2022•苍南县二模）如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是AC的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（）A．115° B．116° C．118° D．120°5．（2022•惠山区一模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°6．（2022•南京一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°二．填空题（共5小题）7．（2021•饶平县校级模拟）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．（2022•南山区二模）如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．10．（2022•射阳县一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝．11．（2022•温岭市一模）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．三．解答题（共6小题）12．（2022•邯郸一模）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是AB上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．（1）求证：△OCF≌△DOE；（2）若C、D是AB的三等分点，：①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．13．（2022•金东区一模）如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．（1）求证：AE＝AB．（2）求FB的长．（3）求OG的长．14．（2022•瑶海区一模）已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．（1）求证：CD＝BD；（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．15．（2022•宿州一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．16．（2022•蜀山区一模）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直