排列数课件(1)高二下学期数学人教A版选择性

6.2.2排列数

(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并

排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性；(2)元素的有序性.判断关键是看选出的元素有没有顺序要求.复习引入思考：研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？探究一：排列数排列数：我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号

表示.排列的第一个字母元素总数取出元素个数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6，可记作：问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24，可记作：排列数与排列的区别：一个排列就是完成一件事的一种方法，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.探究二：排列数公式探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数(m≤n)是多少?我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数是多少？分析：由

的意义，假定有排好顺序的2个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空，可分为两个步骤：第1位第2位nn-1第1步,填第1个位置的元素，从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；第2步,填第2个位置的元素，从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有n-1种选法.根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数共有同理：求排列数可以按依次填3个空位来考虑：第1位第2位第3位n-2nn-1一般地：求排列数可以按依次填m个空位来考虑：…第1位第2位第3位第m位nn-1n-2例如：①第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1；②最后一个因数是n－m＋1；③共有m个因数．说明:(1)公式的特征：1.排列数公式:归纳总结这时，排列数公式中m＝n，有（2）阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.全排列数公式：排列数公式的连乘形式2.全排列数：（1）全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同元素的一个全排列.解：根据排列数公式，可得：例1：计算：例题课本P19解：1.计算：课本P20练习2.12思考：由例3可以看到，观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？证明：排列数公式的连乘形式排列数公式的阶乘形式排列数公式的应用：排列数公式有两种形式，一是连乘形式，这种形式主要用于计算，二是阶乘形式，这种形式主要用于化简或证明（对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，写成这种形式有利于发现相互之间的关系）.归纳总结排列数公式的阶乘形式:

证明：证明：例题求证：证明：课本P20练习例3：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?例题分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.课本P19例3：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.百位十位个位第1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为:特殊位置优先法课本P19例3：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?解法2：符合条件的三位数可以分成三类：百位十位个位0百位十位个位0百位十位个位第3类,十位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位,有种取法.第2类,个位上的数字是0的三位数,可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位,有种取法；第1类,每一位数字都不是0的三位数,可以从1~9这9个数字中取出3个,有种取法；根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为特殊元素优先法课本P19例3：用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?解法3:从0~9这10个数字中选取3个的排列数为

，即所求三位数的个数为它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数,其中0在百位上的排列数为

，间接法课本P19（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称为特殊元素优先法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称特殊位置优先法)．有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：反思归纳（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．变式1：用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?解：00变式2：用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?00在个位的有个；0在十位的有个；没有0的有个.∴共有解：0在十位的有个；没有0的有个.∴共有一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法?解：要停放4列不同的火车，需要从8股岔道上任选4股岔道，所以不同的停放方法有课本P20练习

随堂检测2.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（

）A.12种 B.24种

C.48种 D.120种解析：∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种.(用数字作答)由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36(种)选法.5.用0，1，2，3，4，5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？解：(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个).(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.故所求三位数共有5×6×6＝180(个).(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？解：(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个).(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个).因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个).(5)可以组成多少个大于3000，小于5421的不重复的四位数？解：分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5