变量的相关关系课件高二下学期数学人教A版选择性

变量的相关关系在现实中，我们还经常需要了解两个或两个以上变量之间的关系.例如，教育部门为掌握学生身体健康状况，需要了解身高变量和体重变量之间的关系；医疗卫生部门要制定预防青少年近视的措施，需要了解有哪些因素会影响视力，以及这些因素是如何影响视力的；商家要根据顾客的意见改进服务水平，希望了解哪些因素影响服务水平，以及这些因素是如何起作用的；等等.为此，我们需要进一步学习通过样本推断变量之间关系的知识和方法.创设情境本章的学习内容有成对数据的统计相关性、一元线性回归模型和2×2列联表等，这些知识与方法在解决实际问题中非常有用.可以发现，两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析；利用一元线性回归模型可以研究变量之间的随机关系，进行预测；利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性.本章的学习对于提高我们解决实际问题的能力，提升数据分析、数学建模等素养都是非常有帮助的.如果变量y是变量x的函数，那么由x就可以唯一确定y.

然而，现实世界中还存在这样的情况:两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度.例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值.那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢?下面我们就来研究这个问题.我们知道，一个人的体重与他的身高有关系.一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小.但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素.像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.探究一：相关关系两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在.例如:1.子女身高y与父亲身高x之间的关系.一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮.但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高.2.商品销售收入y与广告支出x之间的关系.一般来说，广告支出越多，商品销售收入越高.但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素，商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关.3.空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系.一般来说，汽车保有量增加，空气污染指数会上升.但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素，气象条件、工业生产排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素.4.粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食亩产量就越高.但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素，粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响.正方形面积与边长是确定关系，是函数关系，y可以由x唯一确定判断下面两变量是否相关关系（1）子女的身高y与父亲身高x（2）商品销售收入y与广告支出x（3）空气污染指数y与汽车保有量x（4）粮食亩产量y与施肥量x（5）正方形的面积y与正方形的边长x练习√√√√×关系项目函数关系相关关系

相同点都是两个变量间的关系不同点是一种确定关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系.是一种非确定关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系.是一种因果关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系变量的相关关系与函数关系的区别和联系：在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系.对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断.“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足.例如，不同经验的人对同一情形可能会得出不同结论，不是所有的情形都有经验可循等.因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断.探究二：两个变量之间相关关系的确定探究：在对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据,如下表,表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个个体的观测结果,它们构成了成对数据.编号1234567年龄/岁23273941454950脂肪/%9.517.821.225.927.526.328.2编号891011121314年龄/岁53545657586061脂肪/%29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？散点图问题1：如果用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，上述数据用直角坐标系中的点表示出来，图有什么特征？成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了统计图.我们把这样的统计图叫做散点图.特征：散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近.散点图的作用：①根据散点图可判断两个变量有无相关关系．②通过散点图不但可以从点的位置判断测量值的大小、变动范围与趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提高估计相关程度的准确性．散点图问题2：你能根据散点图的特征来解析数据得到的结论吗？由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势.这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系.正相关、负相关如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关.归纳总结散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域思考：两个变量正相关、负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域正相关负相关课本95页1.根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系.√√√练习解析:（１）（２）（４）图中的两个变量存在相关关系，图（３）中的散点无规律可言，看不出两个变量有什么相关性．×2.以下是某地不同楼盘新房的销售价格y(单位:万元)和面积x(单位:m2)的数据:

面积x(m2)11511080135105销售价格y(万元)24.821.619.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)判断新房的销售价格和面积之间是否具有相关关系．如果有相关关系，是正相关还是负相关？解：(1)数据对应的散点图如图所示.(2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房的销售价格和面积之间具有相关关系，且是正相关.线性相关一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.观察：下图中请指出哪些图的两个变量具有相关性，并判定是否是线性相关？非线性相关非线性相关不具有相关性一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.非线性相关x10151720252832y11.31.822.62.73.3解：(1)散点图如右图所示：(2)由图可知,所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关.1.某公司的利润y(单位:千万元)与销售总额x(单位千万元)之间有如下表对应数据：(1)画出散点图；(2)判断y与x是否具有线性相关关系.x30252015100535y0.511.522.533.5·······练习2.下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系?如果是，那么这种相关关系有什么特点?地区ABCDEFGHIJK海拔高度/m1250115810674577017316106701493762549鸟的种类/种363037111113171329415解：画鸟的种类数与海拔高度的散点图，如图所示.510海拔高度/m20160014001200600020040080010001540353025鸟的种类/种•••••••••••从散点图中散点的分布看，鸟的种类数与海拔高度正相关，鸟的种类数在海拔高度1000m以上的明显多于在海拔高度1000m以下的.但从局部看，不管是在海拔高度1000m以上，还是在海拔高度1000m以下，鸟的种类数和海拔高度正相关都不明显.课本96页随堂检测1.(多选)下列关系中，是相关关系的为(

)A.学生的学习态度与学习成绩之间的关系B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系解析：A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系；B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；C，D都不具备相关关系.2.对变量x，y有成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有成对样本数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断（

）A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关解析：由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关.A.该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高B.该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分C.该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系D.该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关性，且为正相关3.(多选)对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图.下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是（

）解析：散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确；该同学在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关性，且为正相关，C不正确，D正确.故选ABD.4.下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________(填序号).③解析：散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；散点图②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；散点图③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；散点图④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系.5.下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：施化肥量15202530354045水稻产量320330360410460470480(1)将上述数据制成散点图；解：散点图如下：(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗？解：从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大