勾股定理练习题及答案

勾股定理课时练（1）.在直角三角形ABC中，斜边AB=1,贝UAB2+5C2+AC2的值是（ ）.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD#BC,斜腰DC的长为10cm,ZD=120°,则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）..直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为..一根旗杆于离地面12加处断裂，犹如装有皎链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16加,旗杆在断裂之前高多少加？.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.第2题图第5题图.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?.如图所示，无盖玻璃容器，高18c加，底面周长为60cm,在外侧距下底1C加的点c处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1。加的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.第7题图.一个零件的形状如图所示，已知AC=3C加，AB=4cm,BD=12。加。求CD的长.第8题图.如图，在四边形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=2,CD=3,求AB的长.第9题图.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？ 17^13m5m第n题12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案:，提示：根据勾股定理得BO?+A02=1,所以ab2+602+A02=1+1=2；，提示：由勾股定理可得斜边的长为5机，而3+4-5=2机，所以他们少走了4步.. ,提示：设斜边的高为了,根据勾股定理求斜边为J122452=4W=131, _60利用面积法得，—x5xl2--xl3xx,x--.乙 乙 JLJ.解：依题意，AB=16m,AC=12m,在直角三角形ABC中，由勾股定理,BC?-AB2+AC2=I62+122=202所以BC=20机,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32加高..解:如图，由题意得,AC=4000米，NC=90°,AB=5000米，由勾股定理得BC=<50002-40002:3000（米），3所以飞机飞行的速度为』一=540（千米/小时）3600.解：将曲线沿AB展开，如图所示，过点C作CELAB于E.在“ACEF,/CEF=90。,ef=18--1=16(。加),

ce二工二3。(5),由勾股定理，得cf=4C^2+石尸2=Y302+162=34(on)«解：在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得O.BC?-AC2+AB2=32+42=25在直角三角形CBD中，根据勾股定理，得CD产BQ+BD?=25+12?=169,所以CD=13..解：延长BC、AD交于点E.(如图所示)VZB=90°,ZA=60°,AZE=30°又•.•CD=3,ACE=6,ABE=8,8设AB=%,则AE=2%,由勾股定理。得(2x)2—12=82,%=w.如图，作出A点关于MN的对称点屋，连接〃B交MN于点P,RtAAzDB中，由勾股定理求得A'B=17kmn.解：根据勾股定理求得水平长为4132-52=12m,地毯的总长为12+5=17(m),地毯的面积为17X2=34(m2),铺完这个楼道至少需要花为：34X18=612(元).解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即0A=12.乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，走了5千米，即0B=5.在RS0AB中，AB?=12?十5?=169,.*.AB=13,因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．•.T5〉13, ...甲、乙两人还能保持联系.勾股定理的逆定理（2）一、选择题TOC\o"1-5"\h\z1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）,12,15B.$3 ，， ，41,9二14,’4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角比为1：2：1 B.三边之比为1：2：C.三边之比为J3：2：J50.三个内角比为1：2：3.已知三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A.42B.2J10 C.46或2K正D.以上都不对.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A B C D二、填空题.AABC的三边分别是7、24、25,则三角形的最大内角的度数是..三边为9、12、15的三角形，其面积为..已知三角形ABC的三边长为。，4C满足 .C=8,则此三角形为 三角形.a+b=1U,ab=lo.在三角形ABC中，AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,则BC边上的高为AD=cm.三、解答题.如图，已知四边形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.

.如图，E、F第别题圉方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4,CE=BC,F为CD的中点，连接AF、AE,问AAEF是什么三角形？请说明理由..如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB..如图，为修通铁路凿通隧道AC,量出NA=40°ZB=50°,AB=5公里，BC=4公里，若每天凿隧道公里，问几天才能把隧道AB凿通?勾股定理的逆定理答案：一、；；，提示：当已经给出的两边分别为直角边时，第三边为斜边=J2工=当6为斜边时，第三边为直角边=462—22=435；4.c；二、。提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为90° 提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为：x9xl2=54.7.直角，提示：(a+Z?)2=100,得a2+Z?2+2ab-100,a2+Z?2=100-2x18=64=82=c2；608. ,提示：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再利用面积法求得—xl2x5=—xl3xAD.2 2 '三、9.解：连接AC,在Rt^ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=25, AC=5.在AACD中，AC2+Ca=25+122=169,而AB2=132=169,AG+CD2=AR,ZACD=90°.1111故S=S+S=-AB•BC+—AC•CD=—X3X4+—X5X12=6+30=36.四边形ABCDAABCAACD2 2 2 2.解：由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,*.*AE2=EF2+AE,...△aef是直角三角形.设AD=x米，则AB为(10+x)米，AC为(15-x)米，BC为5米，(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,.*.10+x=12(米).解：第七组，^=2x7+1=15,Z?=2x7x(7+l)=112,c=112+1=113.第〃组，a=2n+l,b=2n(n+l),c=2n(n+1)+1图图18-2-7勾股定理的逆定理（3）一、基础-巩固.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：5.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD〃BC,斜腰DC的长为10cm,ZD=120°,则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.图18 图18-2-5 图18-2-6.如图18-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S、S,且S=4,S=8,1 2 3 1 2则AB的长为..如图18—2—6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=』AD,4试判断AEFC的形状..一个零件的形状如图18—2—7,按规定这个零件中NA与NBDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？.已知AABC的三边分别为k2—1,2k,k2+l(k>l),求证：AABC是直角三角形.二、综合-应用.已知a、b、c是RtAABC的三边长，AABC的三边长分别是2a、2b、2c,那么AABC是直111111角三角形吗？为什么？.已知：如图18—2—8,在△ABC中，CD是AB边上的高，且O=AD・BD.求证：AABC是直角三角形.图18-2-8.如图18—2—9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),AOAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18-2-9.已知：在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断AABC的形状.12.已知：如图18—2—10,四边形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18-2-10参考答案一、基础-巩固.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.答案：D.如图18-2-4所示，有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD#BC,斜腰DC的长为10cm,ZD=120°,则该零件另一腰AB的长是cm（结果不取近似值）.图18-2-4解：过D点作DE〃AB交BC于E,则是直角三角形.四边形ABED是矩形，.\AB=DE.VZD=120°,AZCDE=30°.又•.•在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，，CE=5cm.根据勾股定理的逆定理得，DE=<102—52=5^3cm.，AB=Jl02—52=5J3cm..如图18-2-5,以RtAABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S、S、S,且S=4,S=8,1 2 3 1 2则AB的长为.图18-2-5 图18-2-6思路分析：因为△ABC是口△,所以BQ+AOAB?,即S+S=S,所以S=L2,因为S=AB?,所以1 2 3 3 3AB=q可=6=2"工答案：2百1.如图18—2—6,已知正方形ABCD的边长为4,E为AB中点，F为AD上的一点，且AFm^AD，试判断△EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.解：TE为AB中点，，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得，EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=3z+42=25.CE2+EF2=CF2,...AEFC是以ZCEF为直角的直角三角形..一个零件的形状如图18—2—7,按规定这个零件中NA与NBDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？图18-2-7思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断AADB和△DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以△ABD为直角三角形，ZA=90°.在△BDC中，BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以△BDC是直角三角形，ZCDB=90°.因此这个零件符合要求..已知AABC的三边分别为k2—1,2k,k2+l(k>l),求证：AABC是直角三角形.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.证明：Vk2+l>k2-l,k2+l-2k=(k-l)2>0,即k2+l>2k,Aks+l是最长边.*.*(k2—1)2+(2k)2=k4—2k2+l+4k2=k4+2k2+l=(le+l)2,「.△ABC是直角三角形.二、综合-应用.已知a、b、c是RtAABC的三边长，AABC的三边长分别是2a、2b、2c,那么AABC是直111111角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形(例2已证).解：略.已知：如图18—2—8,在△ABC中，CD是AB边上的高，且O=AD・BD.求证：AABC是直角三角形.图18-2-8思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.证明：,.*AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2,.,.AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD・BD+BEh=(AD+BD)2=AB2.「.△ABC是直角三角形..如图18—2—9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),AOAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.图18-2-9思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、0B的长度，再利用勾股定理的逆定理判断AOAB是否是直角三角形即可.解：*.*OA2=OA2+AA2=32+12=10,0B2=0B2+B62=22+42=20,11AB2=AC2+BC2=12+32=10,.\0A2+AB2=0B2....△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形..阅读下列解题过程：已知a、b、c为AABC的三边，且满足a2c2—b2c2=a4—b4,试判断AABC的形状.解：*.*a2C2—b2c2=a14—b&,(A)C2(a2—b2)=(a2+b2)(a2—b?),(B) C2=a2+b2,(C).*.△ABC是直角三角形.问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号1;②错误的原因是;③本题的正确结论是.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.答案：①(B)②没有考虑好b这种可能，当a=b时AABC是等腰三角形；③AABC是等腰三角形或直角三角形.H.已知：在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断AABC的形状.思路分析：(1)移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,则都为0；(3)已知a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.解：由已知可得a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,配方并化简得，(a—5”+(b—12)2+(c—13)2=0.*.*(a—5)2^0,(b—12)2^0,(c—13)2^0.a—5=0,b—12=0,c—13=0.解得a=5,b=12,c=13.X*-*a2+b2=169=C2,「.△ABC是直角三角形.12.已知：如图18—2—10,四边形ABCD,AD〃BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18-2-10思路分析：(1)作DE〃AB,连结BD,则可以证明△ABD四(ASA)；(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3；(3)在△!)£(：中，3、4、5为勾股数，△!)£(：为直角三角形,DEXBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.解：作DE〃AB,连结BD,则可以证明△ABD四(ASA),.*.DE=AB=4,BE=AD=3.VBC=6,.*.EC=EB=3.VDE2+CE2=32+42=25=CD2,「.△DEC为直角三角形.又•.•EC=EB=3,...△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,，ABDA是直角三角形.11X6X4=12.它们的面积分别为SABDA=-X3X4=6:SADB=-X6X4=12.AS=S+S=6+12=18.四边形ABCDABDAADBC勾股定理的应用（4）1.三个半圆的面积分别为S=JI,S=8Ji,S=JI,把三个半圆拼成如图所示的图形，则4ABC1 2 3一定是直角三角形吗？说明理由。2.求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量NA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？3..（12分）如图所示，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长。4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是多少？———————六I、一一一一———■■■■■■■ ■■牧《 举东b 5.（8分）观察下列各式，你有什么发现？32=4+5,52=12+13,72=24+25 92=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132=+（2）请写出你发现的规律。（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性。.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD±AB,BC=6,AC=8,求AB、CD的长.在数轴上画出表示的点（不写作法，但要保留画图痕迹）.已知如图，四边形ABCD中，ZB=90°,AB=4,BC=3,CD=12,AD=13,求这个四边形的面积.如图，每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积。勾股定理复习题（5）一、填空、选择题题：3.有一个边长为5米的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少为」 k米。4、一旗杆离地面6米处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，则旗杆折断之前的高度是 L米。6、在△ABC中，ZC=90°,AB=10o（1）若NA=30°,则BC=,AC=。（2）若NA=45°,贝ljBC=,AC=o8、在△ABC中，ZC=90°,AC=,BC=.则斜边上的高CD=mn、三角形的三边abc,满足（”+〃）2—C2=2”〃，则此三角形是 三角形。12、小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地。小明向东走80米后又向方向走的。13、AABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm则AC的长为cm14、两人从同一地点同时出发，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向东直行，5秒钟后他们相距米.15、写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？TOC\o"1-5"\h\z⑴两直线平行，内错角相等。( )⑵如果两个实数相等，那么它们的平方相等。 ()⑶若"2=Z?2,则a=b( )⑷全等三角形的对应角相等。( )⑸角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 ()16、下列各组线段组成的三角形不是直角三角形的是( )(A)a=15 b=8 c=17 (B)a:b:c=l: :26 8(C)a=2 b=-c=- (D)a=13 b=14c=1517、若一个三角形的三边长为6,8,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是().C.V28或停18、下列各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行，同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数相等C.对顶角相等 D.如果a=b或a+b=O,那么="2二、解答题：19、有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？20、一根竹子高1丈，折断后竹子顶端