全国小学数学教师教学设计比赛一等奖数学七年级上册（人教2024年新编）《解一元一次方程实际问题与一元一次方程（第2课时销售中的盈亏问题）》教学设计

5.3实际问题与一元一次方程（第2课时销售中的盈亏问题）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次方程”5.3实际问题与一元一次方程第2课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决“销售中的盈亏”问题.2.内容解析“销售中的盈亏”问题是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有一定的代表性.“增长率问题”“溶液配比问题”等相关问题均与其具有类似的数量特征．这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这一问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.在“销售中的盈亏”的探究中，解决问题的关键有以下两点:（1）理解和生活紧密相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念；（2）“利润率”“亏损率”都是比值，要找准这一比值所对应的参照量.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：“销售中的盈亏”问题的探究过程．二、目标和目标解析1.目标（1）理解“销售中的盈亏”问题中的相关概念及它们之间的数量关系．（2）能适时地利用“一元一次方程”这一工具解决问题（3）经历探究解题的过程，增强探究解决综合性问题的能力．2.目标解析（1）理解问题相关的“成本”“售价”“盈利”“亏损”“利润率”等相关概念；理解“利润＝售价－成本”“利润率＝”等数量关系．（2）能找解决问题所需的关键量，如“盈利衣服的盈利额”“亏损衣服的亏损额”，并利用一元一次方程将之求出．（3）经历“估算猜想—探究验证”的问题探究过程，积累探究综合性问题的经验，增强探究解决综合性问题的能力．三、教学问题诊断分析学生通过之前的学习，对应用一元一次方程解决简单实际问题具备了一定的基础，对建立方程模型解决问题的基本过程也有基本的认识．但在这些问题中建立方程的目的就是为求得问题中某一变量的值，所以设未知数和列方程的指向性比较明显．而本课中，以探究问题为代表的系列问题均以“判断决策”为最终目标，没有明确要求建立方程以及为何建立方程，这一过程中就需要学生自行分析并发现影响决策的关键变量，并自觉建立方程来求得．学生在这种自行选择探究方向和探究方法的问题中缺乏经验，为帮助学生克服这一困难，教学过程中教师应加强引领和示范，突出将“判断决策”的实际问题转化为“比较数字大小”的数学问题的过程，及一元一次方程的工具性.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中适时建立一元一次方程解决问题．四、教学过程设计（一）回顾旧知1.商品原价200元，九折出售，售价是180元.2.商品进价是150元，售价是180元，则利润是30元，利润率是20%.3.某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是0.9a元.4.某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为1.25a元.5.某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是16元.师生活动：学生回顾，组内完成后，教师提出思考：（1）以上问题中有哪些量？（2）这些量有何关系？（二）问题的初探一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？问题1：你估计盈亏情况是怎样的？（A）盈利．（B）亏损．（C）不盈不亏．师生活动：教师提出问题，学生通过估算猜想结论，简单阐述理由；教师通过学生回答情况了解学生对问题的认识情况．【设计意图】估算能力是数学应用过程中的重要能力之一，设置对结论的估算环节可以培养学生的估算能力，并通过学生的估算了解学生对销售问题的认识水平．问题2：销售的盈亏决定于什么？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，得到“总的盈亏决定于总成本和总售价的比较”这一结论，引导学生关注“两件衣服的总成本”，学生回答过程中，教师适时提问“成本”“售价”等相关概念，引领学生熟悉问题情境．【设计意图】借助问题引导学生熟悉并理解问题情境及相关概念，并引领学生将“总的是盈利还是亏损”的实际问题转化为“比较总成本与总销售额大小”的数学问题，渗透转化思想．（三）问题的进一步探究问题3：两件衣服的成本各是多少元？这个结论与你的猜想一致吗？解：（1）设盈利25%的衣服进价是x元，依题意得x＋0.25x＝60.解得x＝48.（2）设亏损25%的衣服进价是y元，依题意得y－0.25y＝60.解得y＝80.两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128（元）.因为120－128＝－8（元）所以卖这两件衣服共亏损了8元．师生活动：教师提出问题，学生自行演算，教师巡视指导．在指导过程中，教师应关注：（1）学生对“利润率”和“亏损率”这两个概念能否正确理解；（2）学生是否注意在同一问题中出现两个未知量，应设不同的未知数表示．学生演算完成后提示学生将演算结论和之前估算的结论进行比较，并分析原因．在学生完成之后，选同学表述解题过程，教师板书并点评．【设计意图】教师通过问题2帮助学生明确了探究方向之后，让学生自主探究这一问题，使学生经历探究过程，尤其是让学生体验“估算猜想—探究验证”的过程，有助于提高学生的探究能力．（四）针对训练1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元．其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？答案：这次琴行亏本80元．2.某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？答案：这次交易盈利8元.3.某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折(即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．解：设该商品的进价为每件x元，依题意，得900×0.9－40＝10%x＋x，解得x＝700.答：该商品的进价为700元．师生活动：教师依次给出练习，学生自主练习，教师巡视，选学生展示解答过程，学生点评．【设计意图】在教师引领完成探究问题之后，依次给出练习，使学生在探究问题中获得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．（五）当堂巩固1.某种商品的进货价为每件a元，零售价为每件90元，若商品按八五折出售，仍可获利10%，则下列方程正确的是（D）A．85%a=10%×90B．90×85%×10%=aC．85%(90－a)=10%D．(1+10%)a=90×85%2.两件商品都卖120元，其中一件盈利25%，另一件亏本20%，则两件商品卖出后（D）A．盈利16元B．亏本16元C．赢利6元D．亏本6元3.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（C）A．500元B．400元C．300元D．200元4.某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为2725元.5.我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在2019年涨价30%后，2021年又降价70%至a元，则这种药品在2019年涨价前的价格为元.6.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？解：设商店最多可以打x折出售此商品，根据题意，得．解得x=7.答：商店最多可以打7折出售此商品.【设计意图】考查学生对销售问题中“盈利率”等概念的理解情况，以及对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（六）能力提升据了解个体商店销售中售价只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%~100%标价，假若你准备买一双标价为600元的运动鞋，应在什么范围内还价？解：如下图：答：应在360元～480元内还价.【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（七）感受中考1.（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金.当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金.（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：，解得：x=2100，∴这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500=3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为（元）.2.（2023•陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元.已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价.【解答】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是（x-3）元.∵买了一种大笔记本4个和一种小笔记本6个，共用了62元，∴4x＋6(x-3)=62，解得：x=8；答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元.【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（八）课堂小结教师和学生共同回顾本节内容，并回答以下问题：1.这节课你学习了哪些内容？2.通过学习你有哪些收获？【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．（九）布置作业P136：练习：第1题.P141：习题5.3：第10题.五、教学反思本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习了有理数、整式的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有理数，知道了用字母可以表示具有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深入，他们的代数变形能力正逐步提高．本节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合运用，也是七上教材“数与代数”领域的压轴内容．列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生有层次、有梯度地学习．列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．学生在小学阶段及前三小节对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．第五章一元一次方程5.3实际问题与一元一次方程（2）【教学目标】1.经历解决销售中的盈亏问题的过程，学习建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念；3.进一步体会一元一次方程的应用价值.【教学重点】建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想.【教学难点】建立一元一次方程模型解决实际问题基本思想.【教学过程】 一、情境导入前面我们学习了用一元一次方程的解决配套物品等问题，有些实际问题中的数量关系比较隐蔽，需要仔细分析才能列出方程.下面进一步研究几个问题.本节课的继续学习5.3实际问题与一元一次方程（2）（板书课题）二、合作探究活动一：销售中的盈亏问题探究：销售中的盈亏问题：一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?学生活动：先大体估计盈亏，再通过准确计算检验自己的判断.教师活动：探究1.有同学可能认为，一件盈利25%，另一件亏损25%，合起来是不盈不亏，怎样判断是盈是亏？引导学生：判断是盈是亏实际上要看这家商店买进这两件衣服时共花了多少元.如果总售价大于总进价就盈利，总售价小于总进价就亏损，相等就不盈不亏.可以通过列方程解决问题.教师活动：探究2.假设一件商品的进价是40元，如果卖出后盈利25%，那么商品利润是多少？如果卖出后亏损25%，那么商品利润是多少？师生共同探究用列方程解决问题：设盈利的那件衣服的进价是元，它的商品利润就是元.根据进价与利润的和等于售价，列得方程.解得.类似地，可以设另一件衣服的进价为元，它的商品利润是元，列得方程.解得.两件衣服的总进价是(元)，而两件衣服的总售价是(元)，总售价小于总进价，由此可知卖这两件衣服共亏损8元.总结提高：列、解方程后得出的结论与你先前的估计一致吗?通过对本题的探究，你对方程在实际问题中的应用有什么新的认识?活动二：进一步探究用一元一次方程解盈亏问题例1.某商店将某种型号的冰箱按成本加价作为标价后，又以标价的八五折出售，售价为10200元，问商店出售这种型号的冰箱每台可以赚多少钱？师生共同按列方程解决实际问题的步骤探究解决问题.学生写出解答过程，教师点评，规范.【示范】解：设这种型号的冰箱成本价为x元，根据题意，得，解得：，（元），答：商店出售这种型号的冰箱每台可以赚200元．例2.一套家具按成本价提高六成标价出售，第一周没有售出，第二周按照标价的降低价格售出，售价为6336元．这套家具售出后可以赚多少元？学生按列方程解决实际问题的步骤探究解决问题.教师点评，指导.【示范】解：设这套家具的成本为元，依题意得：，解得元，∴元．答：这套家具售出后可以赚元．三、强化巩固1.练习1、2.部分学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：华为专卖店为了提高销售服务品质，决定对华为A和华为B两款手机开展销售奖励活动，奖励办法从2024年9月30日后执行，已知华为专卖店在奖励办法出台前一个月售出华为A和华为B两款共部，奖励办法出台后的第一个月售出这两种手机共部，其中华为A和华为B两款的销售量分别比奖励办法出台前一个月增长和．（1）在奖励办法出台前一个月，该门店销售的华为A和华为B两款各有多少部？