理学随机过程课件-马尔可夫链

随机过程课件-马尔可夫链本课件将介绍随机过程中的一个重要概念：马尔可夫链。马尔可夫链在各个领域有着广泛的应用，例如金融建模、生物学、计算机科学等。引言随机过程是研究随机现象随时间变化规律的数学理论。它是现代概率论的重要组成部分，在许多领域都有广泛的应用，例如金融、工程、物理、生物等。什么是随机过程随机变量随机过程是指随时间变化的随机现象。它可以被看作是随机变量的函数，其中随机变量的值随时间而变化。时间序列随机过程通常用时间序列来表示，它记录了随机变量在不同时刻的值。时间序列可以是离散的或连续的。随机过程的分类按时间参数分类随机过程可以分为连续时间随机过程和离散时间随机过程。按状态空间分类随机过程可以分为连续状态空间随机过程和离散状态空间随机过程。按统计性质分类随机过程可以分为平稳随机过程和非平稳随机过程。马尔可夫过程概念记忆性马尔可夫过程具有“无后效性”，即系统未来的状态只取决于当前状态，而与过去的状态无关。随机性系统的状态变化是随机的，无法完全预测未来状态。状态空间马尔可夫过程的所有可能状态的集合称为状态空间。马尔可夫链定义状态空间马尔可夫链的每个状态对应一个特定的状态。转移概率从一个状态转移到另一个状态的概率。时间步长时间按照离散的步长进行，每个步长对应一次状态转移。马尔可夫性质1未来只取决于现在系统的未来状态只取决于当前状态，与过去状态无关。2记忆力有限系统没有记忆，不会记录过去发生的事情，只关注现在。3随机性存在未来的状态是随机的，但概率由当前状态决定。马尔可夫链状态空间定义状态空间是指所有可能状态的集合。简单来说，状态空间包含了所有马尔可夫链可能处于的可能状态。类型状态空间可以是有限的，也可以是无限的。有限状态空间是指只有有限个可能状态。无限状态空间是指有无限个可能状态。可数状态空间的马尔可夫链1状态可数有限或可数无限状态2状态空间离散可以枚举所有可能状态3应用广泛许多实际问题建模转移概率矩阵1矩阵元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。2行和每行的元素之和为1，表示从该状态转移到任何状态的概率总和。3列和每列的元素之和可能不为1，表示从任何状态转移到该状态的概率之和。初始分布和稳态分布初始分布描述马尔可夫链在初始时刻各个状态的概率分布。稳态分布指马尔可夫链经过足够长时间后，各个状态的概率分布不再随时间变化。稳态分布的计算1计算公式使用矩阵运算求解稳态分布2迭代法通过多次迭代逼近稳态分布3特征向量法利用转移概率矩阵的特征向量求解齐次马尔可夫链时间独立性转移概率不随时间变化，每个状态的转移概率保持一致。预测能力可根据当前状态推断未来状态的概率分布，预测系统未来发展趋势。非齐次马尔可夫链时间依赖性转移概率随时间变化，不同时间点的转移概率可能不同。复杂性分析和预测难度较大，需要考虑时间因素的影响。应用领域应用于金融市场、天气预报等领域，需要考虑时间变化的随机现象。吸收状态和遷出概率1吸收状态一个状态一旦进入，就永远不会离开，称为吸收状态。2遷出概率从一个非吸收状态到达某个特定吸收状态的概率，称为遷出概率。3计算方法遷出概率可以使用马尔可夫链的转移概率矩阵和矩阵运算计算。趣味例题一假设一个赌徒玩掷硬币的游戏，每次掷硬币正面朝上，他就赢得1元钱，反面朝上，他就输掉1元钱。这个赌徒初始资金为5元，请问他破产的概率是多少？趣味例题二假设你有一个朋友，他每天都玩一个游戏，游戏有三种状态：赢、输、平局。如果他今天赢了，明天有50%的概率赢，30%的概率输，20%的概率平局；如果他今天输了，明天有40%的概率赢，40%的概率输，20%的概率平局；如果他今天平局，明天有20%的概率赢，30%的概率输，50%的概率平局。现在问，如果他第一天赢了，三天后他赢的概率是多少？应用案例一金融市场中的股票价格走势可被视为马尔可夫链，通过分析历史数据，可以预测未来股价走势，为投资决策提供参考。应用案例二在金融领域，马尔可夫链被广泛用于风险管理和投资组合优化。例如，金融机构可以使用马尔可夫链模型来预测市场走势、评估投资风险和制定投资策略。马尔可夫链还可以用于构建金融产品，例如保险产品，以更好地匹配客户的需求。应用案例三金融市场预测马尔可夫链可以用于预测金融市场的趋势和波动。信用风险评估马尔可夫链模型可以帮助银行和金融机构评估借款人的信用风险。应用案例四马尔可夫链在金融领域可以用于构建模型，以模拟金融市场的价格波动，预测未来价格走势。例如，可以利用马尔可夫链分析股票价格的历史数据，建立模型来预测未来股票价格的涨跌概率。应用案例五马尔可夫链在机器人控制领域也发挥着重要作用。例如，在路径规划中，可以利用马尔可夫链模型来预测机器人下一步的移动方向，并找到最优路径。此外，马尔可夫链还可以用于机器人学习，帮助机器人从经验中学习并改进其行为。未来展望1应用范围拓宽随着数据采集和处理技术的不断发展，马尔可夫链在更多领域得到应用，如金融风险评估、生物信息学、人工智能等。2模型复杂化为了更准确地刻画复杂系统的随机变化，研究者们正在开发更复杂的马尔可夫链模型，如隐藏马尔可夫模型(HMM)等。3交叉学科研究马尔可夫链与其他学科的交叉研究将不断涌现，例如，马尔可夫链与机器学习的结合，将为解决现实问题提供新的思路。本课程总结马尔可夫链本课程讲解了随机过程中的一个重要概念：马尔可夫链。马尔可夫链是一种特殊的随机过程，它具有“无记忆性”的性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。应用马尔可夫链在很多领域都有广泛的应用，例如金融、经济、生物、物理等。它可以用来模拟各种随机现象，例如股票价格的波动、人口的增长、疾病的传播等等。参考文献SheldonM.Ross.IntroductiontoProbabilityModels,11thEdition.AcademicPress,2019.RichardDurrett.Probability:TheoryandExamples,5thEdition.CambridgeUniversityPress,2019.G.R.GrimmettandD.R.Stirzaker.ProbabilityandRandomProcesses,4thEdition.OxfordUniversityPress,2020.问答交流欢迎大家