考研题库 北京大学数学系《高等代数》（第3版）配套题库（真题+课后习题+章节题库+模拟试题）（下册）

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为A,由①知且齐次方程组Ax=0的基础解系为6:=(eiezee)a:=e-e₂·则Kerb=L(E.&),其中&,&为Ker的一组基.Imy+Kery=L(e₁,e)+L(Imy+Kery=L(e,es.es),dim(Imp∩Kery)=dim(Imd)+dim(Kery)-dim(Imd令6=e-e,则ImsNKerd=L(&),且6为Im∩Kerv的一组基.16.设T是线性空间V上的线性变换，Z是V的非零向量.若向量组2.TZ.….TZ线性无关，而T"Z与它们线性相关.证明：子空间W=L(Z.TZ,….T-Z)是T的不变子空间，并求在该组基下的矩阵.[华中科技大学研]设T在基Z.TZ.….TZ下的矩阵为A,则17.(1)设n阶矩阵A和B有相同的特征多项式及最小多项式，问A与B是否相似?若dimV,(A)=dimV.(B)·这里V(A).V(B分别表示A,B的属于λ的特征子空间.[武汉大学2009研]解：(1)矩阵A与B不一定相似，例如：块构成，B由两个jordan块构成，是两个不同的jordan标准形，所以A与B不相似.故dimV(A)=3-rank(AaE-A)=3-rank(A₁E-B)=dimV,(B).和In都只能有以下3种可能性：现在，由于dimV(A)=dimV.(rank(A.E-J)=rank(AE-因此⊥=Jn,故A与B相似.第8章λ-矩阵一、分析计算题1.设n维线性空间V上的线性变换A一的最小多项式与特征多项式相同.求证：3aEV,使得a,Aa,A'a,…,A⁻¹a为v的一个基.[北京大学2007研]则A的前n-1个不变因子为1,1,.….,1,第n个不变因子为d.(A),容易知道，矩阵矩阵为A,即现在令a=EV,则Aa=8,A'a=62.证明：矩不能用相似变换对角化.[中国科技大学研]证明：由有一个一阶子式为非零常数，因此有d₁(A)=1,d.(A)=|AE-A|=a-3).即A的最小多项式为λ-3)²,它有重根，所以A不能对角化.3.设有一个6阶矩阵①在①的右上角有一个5阶子式等于b³,而b≠0.所以D(A)=1.d₁(A)=d(A)=…=d(A)=1.A的初等因子为A的若当标准形为4.设A是n级幂等阵，且秩为r,试求(1)矩阵A的相似标准形，并说明理由；(2)计解：(1)因为A²=A,从而A有无重根的零化多项式g(A)=A-λ.由于e(A)无重根，所以A相似于对角阵，且特征值只能是1或0.再由秩A=r,所以存在可逆阵T,并有A的相似标①其中Er,为r级单位阵.5.已知g(A)=(A²-2A+2)²(A-1)是6阶方阵A的极小多项式，且tr(A)=6,(1)A的特征多项式f(λ)及若当标准形.(2)A的伴随矩阵A*的若当标准形.[华东师范大学研]解：(1)设A的不变因子为d(A),i=1,2,….,6.由于A的极小多项式是A的最后一个不变因子，所以d(A)=(A²-2A+2)²(A-1).又A的特征多项式/(A)=lλE-AI=d,(A)d₂(A)…d₆(A)为6次多项式，且tr(A)=6,所以d,(A)=A-1,d,(A)=1,i从而A的特征多项式S(A)=d₁(A)d₂(A)…d₆(A)=(A有初等因子λ-1,λ-1,(λ-1+i)²,(λ-1+i)2,(λ-1-i)².A的若当标准形为(2)由(1)知，存在可逆阵P,使由于所以A*的若当标准形为6.设A为n阶复方阵.证明：存在一个n维向量α,使α,Aα,…,A¹α线性无关的充要条件是A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量.[南京大学研]证明：→:由于3α,使n维向量组α.Aα,…,A*⁻¹α线性无关，所以可令且由A(α,Aα,…,A⁻α)=(Aα,A²α,…,A*'αf(A)=IAE-Al=d.(A)=A⁴+bA⁻¹+…+b,λ+b₀令f(A)=(A-A.)'(A-A,)²…(A-A.)°,(A≠A.i≠j)则A的初等因子为所以A的每个特征子空间的维数均为1,即A的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量.r(At-A)=n-1,从而A的若当标准形中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A的特征多项式与最小多项式相等.设A的最小多项式为则A与有相同的不变因子，因而A与B相似.取α=α₁,则有α≠0,且α.Aα.….A⁻'α线性无关.第9章欧几里得空间矩阵.[浙江大学研]证明：(1)2.设n维欧氏空间的两个线性变换0,T在V的基》:,n.下的矩阵分别是A和B,证则A'PA=B'PB.证：证法1:由于V恰由一切与V正交的向量组成，所以只要证明V∩V₂≠0即可.所以V:④V₂CV④V.所以dimV₂≤dimV,与dimV,<dim而方程组(1)的方程个数r<未知量个数s,所以它有非零解.(a,t(β)).证明：(1)τ是V的线性变换；(2)t的值域Imt等于σ的核ker(σ)的正交补.[武汉大学研]证明：(1)Vβ,α,γ∈V∈V,由题设可得(α,r(β+γ))=(o(α),β+α)=(σ(α=(α,7(β)+r(γ)).T(β+y)=T(β)+T(γ).(1)同理，有所以由式(1)、式(2)得t是V的线性变换.(2)可等价地证明ker(α)=(Imr)(α,T(β))=(σ(α),β)=(0,β)=0.所以(a(B),a(B))=(β.7(σ(β))=0.5.设S是酉空间V的一个非空集合，记证明：S是子空间，且SC(S+),并举例说明S=(S)不一定成立.[西安交通大学研](复数域),对任一γ∈S有所以(kα+Iβ,y)=k(α,y)+l(β.γ)=0.又Vξ∈S,ηeS+,由题设知(E.n)=0.S=(S+)不一定成立，如在酉空间C³=|(x₁,x₂,x,)lx₁∈C,i=1,2,3中，取S={(0,0,6.在欧氏空间V中S是V的子空间，且①②[四川大学研]证明：(1)因为(a,a)=(β.β),所以(a+β,a-β=(a,a)+(a,-β)=(a,a)-(β.β)-(a,β)+(几何解释：表示菱形两对角线互相垂直.(2)由已知有S¹=(a∈V|(a,B)=0.VBES)仿上题可证S¹是V的予空间，且V=SOS¹,故①成立，且故S和(S¹)+是同一子空间S的正交补，由正交补的惟一性，即证②.7.nXn实矩阵A和B,证明：A和B实相似的充要条件是复相似.[复旦大学研]证明：必要性显然.下证充分性，设A与B复相似，即存在复可逆阵T=M+iH,使T'AT=B.其中M和H都是n阶实方阵，由①有AT=TB,此即AM+iAH=MH+iHB>AM=MB.AH=HB.②因为TI=|M+iH≠0.故M+AHI不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数AP=AM+aAH=MB+aHB=PB.>P'AP=B.8.设T是酉空间V的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价.(1)T是酉变换；(2)T是同构映射；(3)如果E1,",En是标准正交基，那么Te,…,Te.也是标准正交基；(4)T在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵.[湖南大学研]取E1,…,E。为V的一组标准正交基，且令A=(A….A.),A为A的列向量，由①有③所以Te….Te.也是标准正交基.基，且由⑤知B为酉矩阵.设④⑤G⑦由于D是酉矩阵，因此D|=±1.D可逆.故丁是V到V的双射.Va.βEV.Vk∈C.有a=(e…e)x,β=(c,…)y.Ta=[T(…e)]x=(e,….e)(Dx)⑧Ts=(c…,c.)Dy所以T(ka)=(,….c.)kD=k(e由③,④,知故综上所述丁是V的同构映射.第10章双线性函数与辛空间(a,kβ+k₂β)=k₁(a,β)+k₂(a,β).(k₁β+k₂β,a)=k₁(β,a)+k₂(B,a).是一个双线性函数.求证：f为对称的或反对称的.[北京大学2007解：令Y=a.有f(a,β)f(a,a)=f(β,a)f((2)若Vα.都有f(a,a)=0,则Va,β·有/(a-β,a-β)=0,从而有f(a.a)-f(a,β-f(β.a)+f(β,β)=0.第二部分课后习题a∈MNN,即MMNN.这就证明了MNN=M.N.2.证明：MU(NNL)=(MUN)∩(MUL).证明：先证第一式.对a∈MN(NUL),有a∈M及a∈N或a∈L.于是a∈MNN或MNL,即a∈(M∩N)U(M∩L).故得MN(NUL)C(MNN)U(MNL).对a∈(MNN)U(MNL),有a∈MNN或a∈MNL.当a∈MNN时，有a∈M及a∈N,从而证明了(MNN)U(M∩L)=MN(NUL).类似地可以证明第二式.3.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：(1)次数等于n(n≥1)的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；(2)设A是一个n×n实矩阵，A的实系数多项式f(A)(3)全体n级实对称(反对称，上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法；(5)全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：(6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：kα=0;(7)集合与加法同(6),数量乘法定义为：k*α=0;(8)全体正实数R+,加法与数量乘法定义为：kα=0.解：(1)否.该集合中没有零多项式，即没有零元素，故不能构成线性空间.(2)是.令V={f(A)|f(x)是实系数多项式}.给定f(A),g(A)∈V及k是实数，这时f(x)及g(x)是实系数多项式，可令f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x),贝k(x)及d(x)仍是实系数多项式.于是f(A)+g(A)=h(A)∈V,kf(又V中元素皆为n×n实系数矩阵，矩阵的加法和数量乘法自然满足线性空间的八条性质，故V构成实数域上的线性空间.(3)只对全体n×n实反对称矩阵证明它对矩阵的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.设n×n实矩阵A和B皆为反对称，即有则故它们都是实反对称矩阵，即全体n×n实反对称矩阵的集合对加法和数量乘法都封闭.又八条运算性质是自然具备的.故构成实线性空间.(4)否.这集合中不含零向量，故不构成线性空间.(5)是.令V是全体实二元数列的集合.按定义它对加法和数量乘法是封闭的.下面验证八条运算性质.①加法交换律显然成立.②加法结合律：=(a₁+a₂+as,b₁+b₂+a₁a₂+b₃+a=(a₁+a₂+as,b₁+b₂+b₃+a₂a₃+a两者相等，故成立.③(0,0)是加法零元素.④(-a.a²-b)是(a,b)的负元素.⑧故V具备八条运算性质，构成线性空间.(6)否.取平面上任一非零向量α,并取k=1.按线性空间运算性质应有kα=1α=α≠0.但按题目中定义则是k·α=0.故不符合线性空间的要求.(7)否.取平面上任一非零向量α,取k=0.按线性空间性质应有kα=0α=0.但按题目中定义0α=α≠0.故不符合线性空间的要求(8)是.首先R+对定义的加法和数量乘法是封闭的.下面逐条验证八条性质.①aOb=ab=ba=b田a;证明：(1)k0=k(α+(-α))=ka+k(-α)=ka+k(-1)α=ka+(-k)α=(k+(-k))α=0α=0.(2)k(α-β)=k(a+(一β))=ka+k(一β)=ka+k(-1)β=ka+(-1)kβ=ka互素矛盾.故ki=k₂=k₃=0,即fi(x),f₂(x),f₃(x)83=(1,-1,1,-1),84=(83=(1,1,0,0),E4=(0,1,-(2)令ξ=xi81+x282+x383+x484,由此得线性方程组8.求下列线性空间的维数与一组基：(1)数域P上的空间Pn×n;(2)Pn×n中全体对称(反对称，上三角)矩阵作成的数域P上的空间；(3)第3题(8)中的空间；(4)实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的空间，其中解：(1)令i即E;的元素除去第i行，第i列处为1外，其余全为零.:于是任意n×n矩阵是{Ej}的线性组合，故{Ej}是Pn×的一组基，且Pn×n是n²维的.(3)对任意a∈R+,令logioa=k,则a=10k=k-10,又10≠1,它不是R+的加法的零元素，故是线性无关的.于是10是R*这个线性空间的一组基，且R+是一维的.V={f(A)|f(x)是实系数多项式}.及对任意k有对任意f(x)=ao+aix+.…+anx”,故V中任一元是E,A,A²的线性组合.现设aoE+a₁A+a₂A²=0.即有其系数行列式为范德蒙德行列式故上述方程组只有零解，即ao=a₁=a₂=0.于是E,A,A²是线性无关的，因而是V的一9.在P⁴中，求由基ε,82,E3,ε4到基ηi,η2,η3,η4的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的ξ=(1,0,0,0)在ε,82,83,84下的坐标；ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐标.解：(1)εj,82,E3,ε4是单位向量组成的基.ni的各分量恰是它在此基下的各个坐标，故就是过渡矩阵的第i列.因此过渡矩阵是(2)把8},82,8,e]和n7,n,η,n!分别按列排成矩阵M和N.记过渡矩阵为A,A的第i列A;就是η;,在ε,82,83,84下的坐标向量，即ηi=(E1,82,83,84)Ai.用矩阵写出来，就是再利用矩阵分块运算，就可写成N=MA.于是经计算得(3)仿照题(2),把，e2,aS,84和n.n,n.n分别按列排成矩阵M和N,记过渡矩阵为A.则有经计算ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐标是10.继第9题(1),求一非零向量ξ,它在基ε1,82,83,84与ηi,η2,η3,η4下有相同的坐标.即(1,1,1,-1)在此两组基下坐标相同.11.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题(8)中的空间同构.12.设V₁,V₂都是线性空间V的子空间，且V₁SV₂,证明：如果V₁的维数和V₂的维数相等，那么V₁=V₂.证明：设维(V₁)=维(V₂)=r,可取V₁的一组基α1,a₂,…,ar.因V₁Cv₂,这也是V₂中r个线性无关的向量，因维(V₂)=r,故它是V₂的基.因此V₁={α1,α2,….,ar的全部线性组合}=V₂.(1)证明：全体与A可交换的矩阵组成Pn×n的一子空间记作C(A);时，求C(A)的维数和一组基.解：(1)显然C(A)非空，又是Pn×n中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空间.(2)Pn×n中任一矩阵都与E交换，故C(E)=Pn×n.则b;j=ibj,i,j=1,2,.….,n.故当i≠j时有bj=0,即B是对角阵.反之，对角阵也属于C(A)的一组基可取E,E₂2,.….,Em,其维数为n.求P3×3中全体与A可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基.解：令显然B=(bj)3×3∈C(A)当且仅当B∈C(T),也即BT=TB.写出来就是即为其中bi,b₂1,bi₂,b22,b32是自由未知量.分别对自由未知量取bi₂=1,其余为零；b₂2=1,其余为零；b32=1,其余为零；bi=1,其余为零；b₂₁=1,其余为零，得5组解.分别对应了C(A)中5个矩阵：任意B∈C(A)当且仅当b31=9b12+3b₂2+3b32-3b-b₂则B=bi₁A₁+b₂₁A₂+bi₂A₃+b₂₂A且A,A₂,A₃,A₄,As线性无关，故是C(A)的一组基.C(A)是5维的. (a,β)=L(β,γ).16.在P⁴中，求由向量αi(i=1,2,3,4)生成的子空间的基与维数.设解：(1)把α,α2,α3,α4按列排成矩阵.对它用初等行变换来求极大线性无关组.它的第1,2,4列，是列向量的极大线性无关组.因而原矩阵的第1,2,4列也是自己的列向量的极大线性无关组.即α,α2,α4是α1,α2,α3,a₄的极大线性无关组，也是L(a1,α2,α3,α4)的一组基.L(α,α2,α3,α4)是3维的.(2)按(1)题同样的方法，可求出α1,α2是L(a₁,α2,α3,α4)的一组基，而其维数是2.17.在P⁴中，求由n次方程组确定的解空间的基与维数.得到一般解解空间的维数是2.解：(1)xia1+x2a₂属于L(a1,α2)∩L(βi,β2)当且仅当存在yiβ₁+y₂β2解：(1)xia1+x2a₂Xiα1+x2a2+yiβ1+y₂β₂=0.可求得基础解系只有一个解(-1,4,3,-1),全部解是x(-1,4,3,-1).于是L-xa₁+4xα2=x(-5,2,3,4).(5,-2,-3,-4)是它的基，它是一维的.(2)与(1)题同样方法，知L(ai,α2)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x₂a2是使得下列该方程组只有零解.故子空间L(ai,a2)∩L(β,β2)={0},没有基.(3)L(a1,α2,α3)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x₂a2+x3α3xia1+x2a2+x3a3+yiβ₁有解的全部向量x₁α1+x2a₂+x3α3,将上述方程按各分量写出来，得可求得它的全部解x(-3,1,2,1,0).故交子空间的全部向量是x(-3a₁+a₂+2a₃)=xβi,它是一维的，β1是基.19.设V₁与V₂分别是齐次方程组x₁+x₂+.….+xn=0与x₁=x₂=…=xn的解空间，证明Pn=V₁@V2.证明：任意(ti,t₂,….,tn)∈Pn,可写成其中第一个向量属于V₁,第二个向量属于V₂.故Pn=V₁+V₂.即有维(V₁+V₂)=n.又20.证明：如果V=V₁OV₂,V₁=V¹₁@Vi₂,那么V=V¹₁@vi₂OV₂.证明：由题设V=V+V¹₂+V₂,只要证零向量在这些子空间的和中的分解式惟一.设0=ai+α2+β,其中α₁∈V¹,α₂∈V¹2,β∈V₂.来证α₁=α2=β=0.因α₁+a₂∈V₁,β∈V₂,而V=V₁@V₂,于是β=0及α₁+a₂=0.而V₁=V1₁@V¹2,0=α2+α2又是0在Vn+Vi₂中的分解，即得α₁=α₂=0.故V₂VO₁V₁₂v₂.21.证明：每一个n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和.证明：取此空间V的一组基α1,α2,.….,an.显然(an)是n个一维子空间的直和.22.证明：和是直和的充分必要条件是：证明：由故必要性成立.充分性.设有零向量的一个分解a₂,…,as全为零.就证明了V₁④V₂④…④V,是直和.23.在给定了空间直角坐标系的三维空间中，所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R³.(1)问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间；(2)设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间L,L₂,L₃.问L₁+L₂,Li+L₂+L₃能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.(3)就用几何空间的例子来说明：若U,V,X,Y是子空间，满足U+V=X,XY,是解：(1)若原点在所指的平面上，则终点在该平面上的全部向量构成子空间.若原点不在该平面上，则零向量的终点不在该平面上，因而不在此向量集合中.故该集合不(2)设1,I₂,13是过原点的三条直线(可以有重合的),1;,i=1,2,3,上全部向量作成1°考察L₁+L₂:当1,1₂重合时，L₁+L₂=Li=L₂是一维子空间.当l,I₂不重合时，只交于原点，故LINL₂={0},因而Li+L₂=L₁L₂是直和，它是二维子空间.当l,l₂,1₃在同一平面上，但不全重合时，不妨设l,I₂不重合.各取1i上一个非零向量αi,是二维子空间.不共面的向量的线性组合.Li+L₂+L₃=L(a₁)+L(α₂)+L(α3)=三维几何空间的全部向量.构成三维空间.且因维(L₁+L₂+L₃)=3=维(L₁)+维(L₂)+维(L₃),L₁+L₂+L₃=L₁OL₂OL3是直和.(3)不一定成立.例取过原点的不重合的两直线l,l₂.I和l₂上的全部向量分别构成两个一维子空间U和V.U+V是1,1₂决定的平面上全部向量组成的二维子空间.再取此平面上过原点的一条直线1,它不与l,I₂重合.令它上面的全部向量构成能子空间为Y.由(2)24.(1)证明：在P[x]n中，多项式fi=(x-a1).….(x-aj-1)(x-ai+1).….(x-an),i=1,2,…,n(2)在(1)中，取aj,a2,…,an是全体n次单位根，求由基1,x,…,xn-1到基fj,f₂,….,fn的过渡矩阵.证明：(1)fi(x)的特性是fi(aj)=0,j≠i,fi(ai)≠0.设k₁fi(x)+k₂f₂(x)+…+ki-1f-1(x)+kifi(x)+ki+1fi+1(x)+.…+knf用上述特性，将x=ai代入，得到kifi(ai)+..+ki-1fi-1(ai)+k;fi(ai)+ki+1fi+1(ai)+...+knfn(ai)=0.k₁=k₂=….=kn=0.这就证明了fi(x),f(x),…,fn(x)是线性无关的.又P[x]n是n维的，故fi(x),f₂(x),…,fn(x)是它的基.上面Z是α在基α₁,α2,…,an下的坐标作成的列向量.在这同构对应下，线性组合对应成坐标列向量是Y₁,Y₂,...,Ys.则将它们按列排成矩阵就是A.即(βi,β2,….,βs)=(a1,α2,….,an)(Yi,Y²,...,Ys)=(a是β1,…,βr的线性组合，故任意Y;是Y₁,…,YrYs的极大线性无关组.即r是A的秩.26.设f(x₁,….,Xn)是一秩为n的二次型，证明：存在R的一个维子空间V₁(其中s为符号差数),使对任一(x₁,….,xn)∈V,有f(xi,X2,…,Xn)=0.证明：设经可逆线性替换Z=CY,将f(x₁,X₂,….,Xn)变成标准形，即f(x₁,X2,…,xn)=Z'AZ=(CY)不妨设p≤n-p.则下列向量集合构成R"中一个子空间，其维数为p.任意向量Y=(yi,…,yp,)代入g(Y)有g(Y)=yr²….+yp²-yi²-…-yp²=0.但Y∈U,故f(Z)=g(Y)=0.由于对应是同构对应，故V₁也是p维的.而f(Z)=g(Y)的符号差s=(n-p)-p,故有这就证明了题目中的结论.同时成立.证明：因Vi,V₂非平凡，故有a₁∈V₁,a₂∈V:.若有a,EV₂,或a₂∈V,则已完成证明.若α₁+α2是所要求的向量.28.设V,V₂,…,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：V中至少有一向量不属于V,V₂,...,Vs中任何一个.证明：对子空间的数目n作归纳法.当n=1时显然成立.设n=s-1时题目的结论成立.当n=s时.取阳v,,又由归纳假设有α∈V₁,V₂,…,V1于是对任意V;,a,β不能同时属于Vi.考察α+k;β,任意ki.若α+k;β∈Vi,则任何其他k≠k;有α十k;β∈Vi.否则由α+k;β∈Vi及α+k;β∈Vi,k≠k;,易得α,β∈Vi,矛盾，故对于任一V;,最多仅有一个值k;使α+kiβ∈Vi.取k∈P使k≠ki,k₂,….,ks,则α+kβ∈V,i=1,2,…,5完成了归纳法.1.判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1)在线性空间V中，15=ξ+α,其中α∈V是一固定的向量；(2)在线性空间V中，lξ=α,其中α∈V是一固定的向量；(7)把复数域看作复数域上的线性空间，解：(1)当α=0时，/ξ=ξ,有4(ξ+η)=ξ+η=/ξ十/η,故/是线性变换.但(ξ)+(ξ)=ξ+α+ξ+α=2ξ+2a≠l(ξ+ξ).这时不是线性变换.(2)当α=0时是线性变换.(3)计算下面式子.4(2(2,1,1))=l(4,2,2)=(16,4,4)≠2l(2,1,1).故不是线性变换.(4)由易知l(x₁+yi,x₂+y₂,x3+y3)=l(xi,x₂,x₃)+l(yi,y₂,y₃)(5)由于知l(f(x)+g(x))=l(f(x))(6)由于故有l(f(x)+g(x))=l(f(x))(7)不是，例(i·1)=i·1≠i=isf(1).(8)是.=B°=6=8,B≠B,但fG²=B²o²,(x,y,z)=(x,-z,y),B(x,y,6(x,y,z)=(-y,x,z).(1)lα=(x,-y.-z),a=(x,,-y),Aa=(x,y·z),故有=6.同样有⁴=8,G⁴=6.LBα=(z,y,-x)=(z,x,y),8/α=B(x,-z,y)故≠Ssl.PgBα=a(-x,y,~z)=(-x,-y,z),故=F故/B-B=8.故-3/=6.B-BF=(B-O)+(LB-8)证明/是单射.对a,β,若有/α=β用¹同乘此式两边，则左='(sla)=α,件是A可逆.即都是某元在变换下的像.即是满射.再由定理11的推论，知4也是单射，故是可逆的.的垂直投影，是平面上的向量对82的垂直投影，求，B,l在基e₁,82下的矩阵：(3)在空间P[x]n,中，设变换/为f(x)→f(x+1)-f(x),求在基(4)六个函数br,br,br,br,6)下的矩阵；(5)已知P³中线性变换基ηi=(-1,1,1),n₂=(1,0,-1),η3=求在基ε=(1,0,0),E₂=(0,1,0),E₃=(0,0,1)下的矩阵；求在基E₁=(1,0,0),82=(0,1,0),E₃=(0,0,1)下的矩阵；/e₂=(-1,1,0)=(E₁,E₂,E₃)(-1.1(2)E₁=(1,0),E₂=(0,1).则故在E1,82下的矩阵为(3)计算…(4)略去计算.9在基e₁,&2,…,En下的矩阵为(5)因故及在8,82,83下的矩阵是故(7)又因故E=aE₁+cE₂1,类似的计算可得2,在E,E12,E21,E22下的矩阵分别是9.设三维线性空间V上的线性变换在基ε,82,82下的矩阵为(1)求在基e₃,82,81下的矩阵；(3)求在基81+82,82,E₃下的矩阵.解：(1)在ε3,82,E₁下的矩阵是10.设是线性空间V上的线性变换，如果E≠0.但ξ=0,求证ξ,ξ,….,QYk-lξa₂S+a₃Pξ+…+a-¹ξ=0.得到a₁=a2=.….=ak=0.因此5.5.…,线性无关.11.在n维线性空间中，设有线性变换/与向量ξ,使得ξ≠0,但ξ=0.求证在证明：由上一题的结论，5,15,…,线性无关，因而是V的一组基.在这组基下的全体n级方阵.设在该基下矩阵为A.任一线性变换》,设在该基下矩阵为B.13.3/是数域P上n维线性空间V的一个线性变换.证明：如果在任意一组基下的矩证明：取V的一组基ε,82,…,En.设在该基下矩阵为A.我们证明A是数量矩阵.是一组基.于是在这组基下的矩阵是(E+Ej)⁻¹A(E+Ej).A可交换.由第四章习题7的(3),知A是数量矩阵，从而是数乘变换.(1)求在基η₁=8₁-282+84,n₂=382-83-84,η3=83+84,n4=2ε4下的矩阵；(2)求的核与值域；(3)在的核中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵；(4)在的值域中选一组基，把它扩充成V的一组基，并求在这组基下的矩阵.解：(1)(2)设ξ∈'(0),ξ=x₁E₁+x₂&2+xsE3+xE₄则5=0.由定理3,有再求v.由定理10知slv=L(/8,,/8,,/8,/84).(3)易计算(81,82,ξ1,ξ2)=(81,82,83,84)Z,52=-8₁-28₂+84,得81=(1,0,1),82=(2,1,0),ηi=(1,2,-1),η2=(2,2,-1),η3=(2,-1,3E,=η,,i=1.2.3.(2)写出在基ε1,82,E₃下的矩阵；解：(1)令α₁=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),则解此方程，得(2)因为在基81,82,83下的矩阵就是Z.(c/η,/η2,/η₃)=(/e₁,证明：在任意n维线性空间V中取一组基E,82,…,En.作一线性变换，它在ε1,E2,…,8n下的矩阵是在新基下是同一线性变换在不同基下矩阵，故相似.17.如果A可逆，证明：AB与BA相似.相似.相似.相似.19.求复数域上线性空间V的线性变换的特征值与特征向量，已知在一组基下的矩解：(1)故A的特征值为7,-2.求特征向量.对λ=7,相应的齐次线性方程组为它的基础解系为(1,1).于是的属于特征值7的全部特征向量为k(ei+ε2),E₁,E₂对特征值λ=-2,相应的方程组为其基础解系为(4,-5).属于特征值-2的全部特征向量为k(48₁-582),k≠0,取所有数值.(2)当a=0时，的特征值为0,任何非零向量都是特征向量.属于λ=ai的全部特征向量为k(-iε₁+ε2),k为任意非零复数.属于λ=-ai的全部特征向量为k(ie₁+ε2),k为任意非零复数.(3)特征值λ=2及-2.属于特征值2的全部特征向量为k₁(gi+82)+k₂(E₁+ε3)+k₃(8i+ε4),其中k₁,k₂,k₃为不全为零的任意数值.属于特征值-2的全部特征向量为k(8₁-82-83-E4),k≠0为任意数.属于特征值2的全部特征向量为k(281-82),k≠0为任意数.取任意数值.取任意数值.(5)特征值为λ=1,-1.属于特征值1的全体特征向量为k₁(E₁+ε3)+k₂E₂,kj,k₂取不全为零的全体数值.属于特征值-1的全体特征向量为k(e₁-83),k≠0,取任意数值.(6)特征值为0及±√14i.属于特征值0的全部特征向量为k(381-82+283),k≠0,取任意数值.属于-√14i的全部特征向量为k((6-√14i)e+(-2-3√14i)g-10g),k≠0,取任意数(7)特征值为λ=1,-2.属于特征值1的全部特征向量为k(38₁-682+20ε3),k≠0,取任意数值.属于特征值-2的全部特征向量为ke3,k≠0,取任意数值.20.在上题中哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形?在可以化成对角形的情况，写解：由定理7知n维线性空间的线性变换的矩阵能在某组基下成为对角形的充要条件是它有n个无关的特征向量.这样，上一题中(1)到(6)都可以化成对角形，而(7)不可能.下面分别写出其过渡矩阵T.(1)一对线性无关的特征向量作为基，其过渡矩阵是(3)取四个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵(4)取三个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵为在该基下矩阵为(5)取三个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵为(6)取三个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵为21.在P[x]。中(n>1),求微分变换⑨的特征多项式，并证明9在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵.解：取P[x]n的基为1,x,…,x-1,则9在该基下矩阵为它只有0为特征值.(0·E-D)=-D的秩为n-1,因此齐次线性方程组的基础解系中只一个解.即D只有一个线性无关的特征向量.而P[x]n的维数x>1.由定理7,9任何基下的矩阵都不是对角阵.A的特征值为1,±5.属于1的特征向量设为(xi,X2,x3)',则取一个解(1,0,0)',它是A的属于特征值为1的特征向量.属于5的特征向量设为(xi,X₂,x₃)',则取一个解(2,1,2)',它是A的属于5的特征向量.属于-5的特征向量设为(2,1,2)',则令23.设ε1,82,83,ε4是四维线性空间V的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为(1)求在基(2)求的特征值与特征向量；(3)求一可逆矩阵T,使T¹AT成对角形.解：(1)属于特征值0的特征向量设为xini+x2n₂+x3η3(1,0,0,0)及(0,1,0,0)是它的一组基础解系.属于特征值0的全部特征向量为属于特征值1的特征向量设为xini+x₂n2+x3η3+x4n4,则xi,X2,X3,x4满足方程组(-7,5,3,5)是基础解系.属于特征值1的全部特征向量是k(-7ni+5n₂+3η3+5η4)=k(3ε₁+ε2+83-282),k≠0,取任意数值.1(-8,6,1,2)是它的基础解系，属于2的全部特征向量是k(-8ηi+6n₂+η3+2η4)=k(48₁+2ε2-83-684),k≠0,取任意数值.则24.(1)设λ,λ2是线性变换的两个不同特征值，ε,82是分别属于λ,λ2的特征向量，(2)证明：如果线性空间V的线性变换以V中每个非零向量作为它的特征向量.那么是数乘变换.证明：(1)反证法.设(8₁+82)=λ(e₁+8₂)但(e₁+8₂)(λ-λ₁)e₁+(λ-λ₂)e₂=0.是特征向量.(2)任取V的两个非零向量α1,α2,由题设它们都是的特征向量，且它们的和也是特征向量.由(1)知α1,α2,属于同一个特征值.因此V中任一非零向量都是属于同一特征值的特征向量，就是数乘变换.25.设V是复数域上的n维线性空间，,是V的线性变换，且8=明(2)34,S至少有一个公共的特征向量证明：(1)设α∈山，则：α=λoα.于是即有a∈V故山是的不变子空间.、V.(2)‘么是的不变子空间，令是4上的线性变换.因么是复数域上线性空间，26.设V是复数域上的n维线性空间，而线性变换在基ε1,82,…,En.下的矩阵是一若尔当块.证明：(2)V中任一非零/一子空间都包含En;(3)V不能分解成两个非平凡的/-子空间的直和.证明：(1)设即有(/-λ₀c)ε₁=82,(a/-λo6)&设W是/-不变子空间，含有ε,则含有则W含有V的一组基E₁,82,…,En.即基础解系是(0,0,…,0,1).全部特征向量是ken,k≠0,取任意复数值.任取V中的一个非零的-子空间W,llw在W上必有复特征值，它也是/-的特征值，27.求下列矩阵的最小多项式解：(1)以A记题目所设的矩阵.它的特征多项式为A的最小多项式是(λ-1)²(λ+1)的因式.现计算得到A-E≠O,A+E≠O,但(A-E)(A+E)=0.故A的最小多项式为λ²-1.(2)仍以A记题目所设的矩阵.它的特征多项式为(1)如果(x+8)²=+.那么=0;那么(+B-)²=+-h.证明：(1)(+B)²=sP+B+Bs/+B²=+B+B+Bs1.因题设(+A)²=+沸，得+/=0,于是=-Bs1.又B=B=-B./=9²=Bs/=-l8,(2)(/+B-B)²=sP+另²+(B)²+&B-PB-8lB+l-Bs/-LB²=/+B+PB²+lB-B-QB+B-B-B=/+B-lb.+1个元素皆线性相关.,,….是该空间中n²+1个元素，必线性相关.故存在不a₀&+a₁l+a₂F²+…+a²²=0.f(x)十v(x)g(x).于是d(/)=u(s)f()+v(c)g(c)=0.(3)必要性.由(1),有ao,ai,.….,an²不全为零使an&+a,d+…+a.2²=0.充分性.设f(x)=an+ax+.…+axk,ao≠0,使f()=0.1证明：(1)设在某基下的矩阵A,则的特征值入就是A的特征值.由于为零.即入⁻¹是/的特征值.32.设是线性空间V上的线性变换，证明的行列式为零的充分必要条件是以零作33.设A是—n级下三角矩阵，证明：(2)如果ai1=a22=.…=amm,而至少有一aiojo≠0(io>jo),那么A不与对角矩阵相似.2)数量矩阵只与自己相似.不同的特征值.由定理8的推论1,A相似于一个对角阵.(2)A若与对角阵相似，则A与它有相同特征值.于是{bi,b₂,…,bn}与{a11,a22,…,am}相同，则有b₁=b₂=….=bn.因而它是数量矩阵、数量矩阵可与任何矩阵交换，它只能相似于自己.若A与它相似，则A必为数量矩阵.但现在A不是数量矩阵，矛盾.故A不能相似于对角阵.34.证明：对任一n×n复系数矩阵A,存在可逆矩阵T,使T¹AT是上三角矩阵.证明：一种方法，它相似于若尔当形，即相似于一个下三角阵.把基的次序换一下就可得上三角阵.另一种方法是直接证明：取n维线性空间V的一组基ε,82,.….,En.作V上的一个线性变换，使在该基下的矩阵为A.由于是复数域，必有复特征值，取一个特征值λ及及则有对A的级数n作归纳法.n=1,结论显然成立.又设n-1时结论成立，即对(n-1)级方阵B有可逆阵T₂,使Z¹BT₂,为上三角阵.则由于2BT₂已是上三角阵，故上式右端成为上三角阵.令间.这时a≠0.当-的核是零子空间时，当然a也不在-的核中.故这a不在Es+1,…,8r.W=L(sle,,…,e,8(L+1E+1+…+Le,)=0.于是…8+…+L8.∈'(0).它又须是81,…,的线性组合，就有一组数11,l₂,…,(1)4与有相同值域的充分必要条件是B=另，/=;&/V=B.VCSVa∈V使α=0,则/α=/Bα=0.故'(0)=S¹(0)必要性.已知¹(0)=S¹(0).得B(β-β)=Bβ-Bs/β=0,即β=B.β,同样可证/=/6..解：(1)因为D₁(λ)=λ,=λ⁴-10x³-3x²=λ²(λ²-所以d₁(λ)=λ,d₂(λ)=λ(λ²-10λ-3),(2)作初等变换(3)初等因子：λ,λ,λ+1,(λ+1)2.(4)初等因子：λ,λ,λ²,λ-1,λ-1,(λ-1)².(5)标准形为：(6)标准形为：2.求下列λ-矩阵的不变因子：1所以不变因子为1,1,(λ-2)3.所以，不变因子为(3)当β=0时，原矩阵成为此时D₁(λ)=D₂(λ)=1,D₃(λ)=(λ+a)²,D₄(λ)=(λ+a不变因子为1,1,(λ+a)²,(λ+a)².有一个3级子式与D₄(λ)互素.所以得D₃(λ)=D₂(λ)=D₁(λ)=1.因此不变因子为的不变因子证明：记则|A|=λ+aiλ-¹+a2λ-2+.….+an-1λ+anA有一个n-1级子式因此从而所以A的不变因子是4.设A是数域P上一个n×n矩阵，证明A与A"相似.证明：因为而λE-A与(λE-A)"的各个子式之间按转置关系有一个一一对应.对应的子式因为彼此价.根据本章定理7,A与A"相似.求A".解：将A表成其中可交换，并且所以6.求下列复系数矩阵的若尔当标准形：解：(1)所以A有3个不同的特征值，A可以对角化.A的若尔当标准形为：λE-A有二个互素的2级子式：所以D₁(λ)=D₂(λ)=1.又因所以A的初等因子有λ+3,(λ-1)².A的若尔当形为：所以不变因子为1,1,(λ-1)3;初等因子为(λ-1)3.若尔当形为：(5)|λE-A|=(λ-1)(λ²+1)=(λ-1初等因子为λ-1,λ-i,λ+i.若尔当形为：(6)用初等变换将λE-A化为标准形所以A的初等因子为λ,λ,λ-2.A的若尔当形为：(7)初等因子：λ,λ².若尔当标准形：(8)初等因子：(λ-2)3.若尔当标准形：(9)初等因子：λ,(λ+1)2.若尔当标准形：(10)不变因子：1,1,f(λ)=λ³+30λ-8.初等因子：λ-λ,λ-λ2,λ-λ3,其中λ,这里若尔当标准形：λE-A有下面2个3级子式是互素的：D₃(λ)=D₂(λ)=D₁(λ)=1,D₄(λ)=|λE-A|d₁(λ)=d₂(λ)=d₃(λ)=1,d₄初等因子：(λ-1)4.(12)若尔当标准形：(13)对特征矩阵进行初等变换不变因子：1,1,λ-1,(λ-1)(λ²-14λ+19)不变因子：1,1,...,1,λ"-1,初等因子：λ-εi,λ-82,…,λ-8n,其中故A的若尔当标准形为7.把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵，试写出它们的有理标准形.提示求出A的不变因子，应用伴侣阵(本章§7定义8),写出有理标准形.证明：(1)因为A是d(λ)的伴侣阵，所以d(λ)是A的特征多项式，因此d(A)=0,则又单位矩阵可表成都是(n-1)×n矩阵.线性无关，对次数小于n的多项式g(λ),g()≠0.d;(λ)|di+1(λ),i=1,2,.….,s-1,其中d;(λ)是的次数最高的不变因子.用B;表示d;(λ)的伴侣矩阵，i=1,2,.….,s那么A与下列矩阵相似即得ds(A)=0.由于d(λ)是Bs(λ)的最小多项式，因此ds(λ)是A的最小多项式，也就是的最小多项式.1.设A=(aj)是一个n级正定矩阵，而α=(xi,X2,….,xn),β=(y在R"中定义内积(α,β)为(1)证明在这个定义之下，R"成一欧氏空间；(2)求单位向量ε₁=(1,0,….,0),E₂=(0,1,.….,0),…,En=(0,0,…,1)的度量矩阵；(3)具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式.证明：(1)①(a,β)=αAβ'=(aAβ')'=βA'α'②(ka,β)=(kα)Aβ'