7.5　正态分布教学设计【新教材 新思维高中数学】-2021-2022学年下学期高二数学同步教学（人教A版（2019）选择性必修第三册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育《7.5正态分布》教学设计-------葛爱菊（一）教学内容本节课主要学习正态分布（二）教材分析1.教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》的最后一节.2.地位与作用《正态分布》这节课的内容是通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念，然后，分析正态曲线的特点和性质，最后研究了它的应用——随机变量落在某个区间的概率。正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。（三）学情分析1.认知基础：本节课是前面学习了离散型随机变量，二项分布和超几何分布的基础上，学习连续型随机变量.2.认知障碍：离散型随机变量的取值是可列的，连续型随机变量是在某个区间内可取任何值.（四）教学目标1.知识目标：①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；②通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特点；③了解正态分布的均值、方差及其含义；④了解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.2.能力目标：引导学生有目的的观察、归纳、类比、猜想等，提高学习能力3.素养目标：数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模，（五）教学重难点：1.重点：认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3σ原则.2.难点：会求随机变量在特殊区间内的概率（六）教学思路与方法教学过程分为问题自学展示提炼要点、探索巩固、应用知识阶段课前准备多媒体导学案（八）教学过程教学环节：新课引入教学内容师生活动设计意图在生产中，正常生产条件下某种产品的质量指标；在气象中，某地每年七月份的平均气温、降雨量等，水文中的水位；在生物学中，同一群体的某一特征……经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？带着这些问题让我们开始今天的学习吧！情景导学，激发学生的学习兴趣教学环节：自学新教材，提炼知识要点教学内容师生活动设计意图一、知识要点1．正态分布f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数．显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为，称它的图象为正态密度曲线，简称．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从．2．正态曲线的性质(1)曲线是单峰的，它关于直线对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；(3)当|x|无限增大时，曲线x轴．3．正态曲线的图象(1)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．(2)μ取定值，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较，如图乙所示．4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈.上述结果，如图所示．5．3σ原则在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为3σ原则．二、知识点的精准理解和深化现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量，不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续性随机变量，下面我们看一个具体问题.探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下:-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.观察图形，误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。根据频率与概率的关系，可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.任意抽取一袋盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可以用图中黄色阴影部分的面积表示.问题1：由函数知识可知，图中的钟形曲线是一个函数，那么，这个函数是否存在解析式呢？对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.正态分布的定义正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等探究2：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？μμx其中μ∈R，σ＞0为参数.由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值1σ2π(（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.探究3：观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质，你能发现正态曲线的哪些特点？（1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。提问学生自学看教材的知识要点，从中发现学生理解的薄弱点学生回答并分析，教师PPT展示补充完善：

引发学生思考积极参与互动，说出自己见解，教师PPT展示完善，深化对正态分布的理解PPT显示，学生读题并回答【小例子】把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）A.曲线b仍然是正态曲线；B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。答案：D因材施教，根据学生预习的结果，引导下一步教学发挥学生的主观能动性，暴露学生思维，教师精准指导从而建立正态分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。加深学生对正态分布理解与运用，发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素教学环节：例题剖析教学内容师生活动设计意图例1：李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30min，样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.(1)估计X,Y的分布中的参数;(2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;(3）如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数μ.用样本标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,6),Y~N(34,2).(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.例2.假设某地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170（单位：cm，下同），标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：（1）不高于170的概率；（2）在区间[160，180]内的概率；（3）不高于180的概率.解：设该学生的身高为X，由题意可知X~N(170，102).（1）P(X≤170)=50％,（2）因为均值为170，标准差为10，而160=170-10,180=170+10，所以P(160≤X≤180)=P(|X–170|≤10)≈68.3％，(3）由（2）以及正态曲线的对称性可知P(170≤X≤180)=P(160≤X≤180)≈12×68.3％由概率加法公式可知P(X≤180)=P(X≤170)+P(170≤X≤180)≈50％+34.15％=84.15％.【跟踪训练】某厂包装食盐的生产线，正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布（单位：）.该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐，称得其质量均大于大于.（1）求正常情况下，任意抽取一包食盐，质量大于的概率约为多少;（2）检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由.师生共同分析后学生计算，教师展示解答，纠正学生中不规范的问题，总结一般方法:例1分析:对于第(1)问,正态分布由参数μ和σ完全确定,根据正态分布参数的意义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断方法总结：正态分布的3σ原则[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]中的值,这在统计学中称为3𝜎原则.①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.特别地，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞),但在一次试验中,𝑋的取值几乎总落在区间[𝜇−3𝜎,𝜇+3𝜎]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.方法总结：服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)注意概率值的求解转化:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.③若b<μ,则P(X<b)=1-找学生去黑板上写，其余学生独立解答在练习本上，教师评价后PPT展示，标准解答解：设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，由题意可知．(1)由于，所以根据正态分布的对称性与“原则”可知(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包检查，质量都小于的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现异常，检测员的判断是合理的.通过典例剖析，让学生体会什么是正态分布，感受正态分布的特点。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。教学环节：课堂检测1.下列函数是正态分布密度函数的是()A.f(x)=12πσe(x-μ)B.f(x)=2πC.f(x)=1D.f(x)=12.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(0,σ2).若ξ在(-∞,-1)内取值的概率为0.1,则ξ在(0,1)内取值的概率为()A.0.8 B.0.4 C.0.2D.0.13.某县农民月均收入服从N(500,202)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间人数的百分比约为.

4.某种零件的尺寸ξ(单位:cm)服从正态分布N(3,12),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围的零件数约占总数的.

5.设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.发一张小卷子，当堂10分钟测验，交上来批改，其中1-4必做，5和6根据具体学生接受情况和课堂时间选做1.解析:对照正态分布密度函数:f(x)=12πσ·e-(x-μ)22σ答案:B2.解析:∵ξ服从正态分布N(0,σ2),∴曲线的对称轴是直线x=0.∵P(ξ<-1)=0.1,∴P(ξ>1)=0.1.∴ξ在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.答案:B3.解析:因为月收入服从正态分布N(500,202),所以μ=500,σ=20,μ-σ=480,μ+σ=520.所以月均收入在[480,520]范围内