期末复习（压轴题50题）（解析版）-25学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

期末复习（压轴题50题）一、单选题1．观察下面三行数：−2，4，−8，16⋯①0，6，−6，18⋯②−1，2，−4，8⋯③设x、y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x−y−2z的值为（

）A．0 B．−2 C．−29+1【答案】B【分析】本题考查了代数式，根据每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为−2n，第②行数的规律为−2n+2，第③行数的规律为12×−2n【详解】解：由每行所给数的规律可得，第①行的数的规律为−2n，第②行数的规律为−2n+2∴第①②③行的第10个数分别为−210，−210+2即x=−210，y=−2∴2x−y−2z=2×=2×=2×=−2，故选：B．2．我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入3×3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定a、b、c、d中一个字母的值不能补全图3的是（

）A．a B．b C．c D．d【答案】B【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定a、b、c、d中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案．【详解】解：如图，当a=7，7+②=−2+4∴②=−2+4−7=−5，∴每一行的和b+4−2=b+2，∵7+4+d=b+2=−5+4+c，∴d=b−9，c=b+3，∵b+③∴③=1，∴7+−5∴b=10，d=10−9=1，∴每一行的和为：7+−5∴c=12−4−−5=13，①如图，∴A不符合题意；如图，当c=1时，则②+4=−2+d，∴②=d−6，∵d−6+4+1=d+4+a，∴a=−5，∵−2+4=−5+②，∴②=7，∴每一行的和为：7+4+1=12，∴b=12−4+2=10，d=12−1−−2∴①=12−−5③=12−10−13=−11，如图，∴C不符合题意；如图，当d=1时，则−2+4+b=−2+c+1，∴b=c−3，∵a+c−3=4+c，∴a=7，∴每一行的和为：7+4+1=12，∴b=12−4−−2①=12−7−−2③=12−7−4=1，c=12−1−−2②=12−13−4=−5，如图，∴D不符合题意；如图，当b=10时，则每一行的和为：10+4−2=12，∴a−2=4+③，①∴①=d+6，③∵①+4+∴d+6+4+a−6=12，∴a+d=8，∴②=12−a−10=2−ac=12−−2∴给定b的值不能补全图3．故选：B3．在数列a1，a2，a3，…an中，a1=2，a2=1A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，寻找规律式即可求解，解题的关键是寻找规律【详解】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等，∴a1∴a1=a4=∵a1∴a3∴a1∵64=2∴64=a∴n=3×6=18故选：C4．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−1，2，−3，4，−5，6，−7，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出a+b的值为（

）A．−6或−3 B．−8或1 C．−1或−4 D．1或−1【答案】A【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论．【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图．因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为−1，2，−3，4，−5，6，−7，8，又因为−1+2−3+4−5+6−7+8=4，所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为4÷2=2，所以−7+6+b+8=2，a+c+4+d=2，−7+a+8+d=2，所以b=−5，c=−3，a+d=1．所以当a=−1时，d=2，此时a+b=−1+−5当a=2时，d=−1，此时a+b=2+−5综上可知a+b的值为−6或−3．故选A．5．若abc≠0，则|a|a+bA．±1或0 B．±2或0 C．±1或±4 D．±4或0【答案】D【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】解：∵abc≠0，∴有四种情况：①三个都为正数，则原式=a②三个都为负数，则原式=−a③一个正数，两个负数，假设a为正数，b、c为负数，则原式=a④一个负数，两个正数，假设a为负数，b、c为正数，则原式=−a综上，|a|a+b|b|+故选：D．6．一只小虫在数轴上从A点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中经过数轴上−50这个数的次数是（

）A．99 B．100 C．101 D．102【答案】C【分析】本题考查数字变化的规律和有理数的加减运算，理解题意观察出数字变化规律是解题的关键．先根据题意求出点A所表示的数，再求出小虫第一次经过−50时的爬行次数，据此可解决问题．【详解】解：设点A所表示的数为a，则第1次爬行后的点所表示的数为a+1，第2次爬行后的点所表示的数为a+1−2=a−1，第3次爬行后的点所表示的数为a−1+3=a+2，第4次爬行后的点所表示的数为a+2−4=a−2，…，∴第2n次爬行后的点所表示的数为a−n，故第2022次爬行后的点所表示的数为a−1011，则第2023次爬行后的点所表示的数为a−1011+2023=a+1012．∵第2023次刚好爬到数轴上的原点处，∴a+1012=0，则a=−1012，即点A所表示的数为−1012．∵−50−−1012∴表示−50的点在A点的右边，与A点相距962个单位长度．∵第1次爬行后的点在点A的右边1个单位长度处，第3次爬行后的点在点A的右边2个单位长度处，第5次爬行后的点在点A的右边3个单位长度处，……，∴第2n−1次爬行后的点在点A的右边n个单位长度处，且2×962−1=1923，即小虫爬行第1923次时，对应点所表示的数为−50，∴从第1923次开始（包括第1923次），后面的每次爬行都经过−50这个数．∵2023−1923+1=101，∴小虫爬行过程中经过数轴上−50这个数的次数是101．故选：C．7．已知有理数a≠1．我们把11−a称为a的差倒数，如2的差倒数是11−2=−1，−2的差倒数是11−−2=13，若a1=−1，a2是a1的差倒数，a3A．1008 B．1009 C．1010 D．1011【答案】B【分析】本题考查了有理数的加法运算和除法运算，根据定义计算出a1、a【详解】解：a1a2a3a4⋯，∴a1∵2021÷3=673⋯2，∴a1故选：B．8．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简a+b−a的结果为（

A．2a+b B．−2a+b C．−b D．b【答案】A【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．根据数轴得到a<0<b，再根据负数的绝对值是它的相反数得到a=−a【详解】解：由题意得，a<0<b，∴a=−a∴a+b−a故选：A．9．数轴上点A、B分别表示数字a、b，且a+52+7−b=0若动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，当运动时间为（

）秒时，A．3 B．5 C．3或5 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，解一元一次方程，列代数式，整式的加减运算，绝对值方程等知识点，用含t的代数式表示P、Q表示的数并列方程解决问题是解题的关键．根据a+52+7−b=0可得a=−5，b=7，由已知条件可得P表示的数是−5+2t，Q表示的数是7−t，而P、【详解】解：a+52∴a+5=0，7−b=0，解得：a=−5，b=7，动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发向B匀速运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从B点出发向A做匀速运动，设运动时间为tt>0∴P表示的数是−5+2t，Q表示的数是7−t，根据题意可得：−5+2t−7−t即：3t−12=3解得：t=5或3，故选：C．10．如图，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，则∠1，∠2，∠3之间的数量关系为（

）A．∠1+∠2+∠3=90° B．∠1+∠2−∠3=90°C．∠2+∠3−∠1=90° D．∠1−∠2+∠3=90°【答案】D【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于90°，称为这两个角互为余角．根据余角性质可得∠DOE=90°−∠1，∠BOC=90°−∠3，得到∠DOE+∠BOC=180°−∠1−∠3，结合【详解】∵∠AOB=∠COD=∠EOF=90°，∴∠DOE=90°−∠1，∴∠DOE+∠BOC=180°−∠1−∠3，∵∠DOE+∠BOC=90°−∠2，∴180°−∠1−∠3=90°−∠2，∴∠1−∠2+∠3=90°．故选：D．11．若关于x的多项式2x2−kx+2x−3中不含有x的一次项，则kA．0 B．−2 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了合并同类项法则，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键；先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可．【详解】解：2x即2−k=0，解得：k=2，故选：C12．有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（A．105cm B．C．105cm或25cm【答案】C【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分两种情况画出图形求解即可．【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时，MN=CN−AM=1=65−40=25（厘米）；（2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时，MN=CN+BM=1=65+40=105（厘米）．所以两根木条的小圆孔之间的距离MN是25cm或105故选：C．13．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12cm，若AP:PB=1:3，则这根绳子原来的长度为（

A．16cm B．28cm C．16cm或32cm D．16cm或28cm【答案】C【分析】本题考查了两点间的距离的应用，熟练掌握两点间的距离的应用是解题的关键；设AP=xcm，则BP=3xcm，分为两种情况：①当A为对折点，则剪断后，有长度为x+x，3x，3x的三段，②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，3x+3x的三段，再根据各段绳子中最长的一段为12cm【详解】解：设AP=xcm，则BP=3x①当A为对折点，则剪断后，有长度为x+x，3x，3x的三段，则绳子最长时，3x=12，解得：x=4；即绳子的原长是23x+x②当B为对折点，则剪断后，有长度为x，x，3x+3x，则绳子最长时，3x+3x=12，解得：x=2；即绳子的原长是23x+x这根绳子原来的长度为16cm或32cm故选：C第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方－九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x−y为．【答案】−4【分析】本题考查了一元一次方程的应用，借助幻方，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，先表示出m，再求出y，最后再求解x即可．【详解】解：设正方形框内部分为a,m,n，如图则由题意得，6+10+x=y+m+2，∴m=14+x−y，则6+m+n=x+2+n，∴6+14+x−y+n=x+2+n，解得：y=18，由6+y+a=x+m+a得6+y=x+m，∴6+18=x+m，∴x+m=24，由m=14+x−y，y=18得：m=x−4∴x+x−4=24，解得：x=14，∴x−y=−4，故答案为：−4．15．如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第10行、第46列的数是．【答案】2035【分析】本题考查数字类规律探究．观察图表可知，第n行第一个数是n2，所以，第45行第一个数是452=2025，所以，第10行，第46【详解】解：观察图表可知，第n行第一个数是n2∴第45行，第1列的数是第一个数是452下一个数出现在第1行，第46列为2026∴第10行，第46列的数是2025+10=2035．故答案为：2035．16．若a=4，b=2，且a−b<0，则a+b的值等于【答案】−2或−6【分析】本题考查了绝对值的计算，有理数的加法，熟练掌握绝对值的化简，有理数的加法是解题的关键．先计算绝对值，结合a−b<0，确定a，b的值，计算a+b即可．【详解】解：∵a=4，b∴a=4或a=−4，b=2或b=−2，∵a−b<0，∴a=−4，b=2或a=−4，b=−2，∴a+b=−4+2=−2或a+b=−4−2=−6，故答案为：−2或−6．17．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A【答案】6−【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出A1【详解】解：由题意可得，点A1表示的数为8×1点A2表示的数为8×1点A3表示的数为8×1…，点An表示的数为8×∴点A2023表示的数为8×∵A1A的中点表示的数为∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：故答案为：6−118．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则a【答案】120【分析】本题主要考查了图形类变化规律问题，根据题意得出变化规律an【详解】解：根据题意，得a1a2a3⋅⋅⋅∴an∴a10故答案为：120．19．如果记y=x21+x2=f(x)，并且f1表示当x=1时，y的值，即f(1)=x21+x2【答案】2023【分析】本题考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律．通过计算f2，f12，f3，f13的值得到【详解】解：∵f(2)=221+∴f2∵f3=3∴f3同理可得f(2022)+f(1∴f(1)+f(2)+f=1==20231故答案为：2023120．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，12+1【答案】2014【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据①是边长为1的正方形纸片面积的一半，得到①的面积为12，依此论推②的面积为14，③的面积为18【详解】解：∵正方形边长为1，∴正方形面积为1，∵①是边长为1的正方形纸片面积的一半，∴①的面积为12依此论推②的面积为14③的面积为18…，因此，求12即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为12015∴12故答案为：2014201521．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100，我们发现第一次输出的结果为50，第二次输出的结果为25，第三次输出的结果为28，…，则第2024次输出的结果为．【答案】1【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，求出前几个数字，得到从第五次开始，运算结果以4,2,1为一个循环节，进行循环，进而求出第2024次输出的结果即可．【详解】解：第1次输出结果为：50，第2次输出结果为：25，第3次输出结果为：25+3=28，第4次输出结果为：28×1第5次输出结果为：14×1第6次输出结果为：7+3=10，第7次输出结果为：10×1第8次输出结果为：5+3=8，第9次输出结果为：8×1第10次输出结果为：4×1第11次输出结果为：2×1第12次输出结果为：1+3=4，第13次输出结果为：4×1第14次输出结果为：2×1⋯，∴从第9次开始，运算结果以4,2,1为一个循环节，进行循环，∵2024−8÷3=672∴第2024次输出的结果为1；故答案为：1．22．如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6个交点，那么10条直线相交最多有个交点．【答案】45【分析】此题考查了图形规律，直线与直线交点问题，根据图形找出规律即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：2条直线相交，最多有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，即1+2=3，4条直线相交，最多有6个交点，即1+2+3=6，5条直线相交，最多有10个交点，即1+2+3+4=10，⋯，10条直线相交，最多有1+2+3+4+⋯+7+8+9=45（个）交点，故答案为：45．三、解答题23．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．

(1)如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM=2AM，若AB=9cm，则AM=______(2)如图2，已知AB=9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒23cm的速度沿射线AB①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以某一速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，当点C是线段AE的三等分点时，点E也是线段AD的三等分点，请直接写此时出线段EB的长度．【答案】(1)3(2)①274或27；②97cm或【分析】本题考查线段的和与差，线段的数量关系，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键：（1）根据BM=2AM，AB=AM+BM，进行计算即可；（2）①分CD=2AC和AC=2CD两种情况进行计算即可；②点C，点E分别是AE，AD的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵BM=2AM，AB=AM+BM，∴3AM=9，∴AM=3cm（2）①由题意，得：AD=9+23当CD=2AC时，则：3AC=AD，∴3×∴t=27当AC=2DC时，则：3AC=2AD，∴3×2∴t=27；综上：t=274或②设点E的速度为每秒xcm，由题意得：BE=xcm，则AE=9−x∵点C，点E分别是AE，AD的三等分点，∴可以分四种情况讨论：当AC=13AE,DE=13分别解得：t=1∴1解得：x=9当AC=23AE,DE=23分别解得：t=9−x,t=1∴9−x=解得：x=36当AC=13AE,DE=23分别解得：t=1∴1解得：x=45当AC=23AE,DE=13分别解得：t=9−x,t=1∴9−x=解得：x=−9综上：点C，点E分别是AE，AD的三等分点，BE的长为97cm或36724．如图，点O是直线AB上的一点，从点O引出一条射线OC，使∠AOC=60°，射线OA、OB同时绕点O旋转．(1)若两条射线OA、OB旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线OA、OB同时与射线OC重合，则射线OA与OB旋转的速度之比为____；(2)若两条射线OA、OB同时绕点O顺时针旋转，射线OA每秒旋转1°，射线OB每秒旋转5°，设旋转时间为t秒，0<t<180，当∠AOC=∠BOC时，求t的值．【答案】(1)1:2或5:4(2)45或50或110或135或170【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，找到等量关系式是解题的关键．（1）设旋转时间为x秒，分两种情况：①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时；②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，根据射线OA与OB旋转的角度即可得出答案；（2）分四种情况讨论：①当0<t≤2405即0<t≤48时，②当48<t≤60时，③当60<t≤3605即60<t≤72时，④当【详解】（1）解：设旋转时间为x秒，①射线OA顺时针旋转、OB逆时针旋转时，由题意得：VOA∴VOA∴射线OA与OB旋转的速度之比为1：2；②射线OA逆时针旋转、OB顺时针旋转时，由题意得：VOA∴VOA∴射线OA与OB旋转的速度之比为5：4；综上，射线OA与OB旋转的速度之比为1：2或5：4，故答案为：1：2或5：4；（2）解：①当0<t≤2405即由题意得：60−t=240−5t，解得：t=45；②当48<t≤60时，由题意得：5t−240=60−t，解得：t=50；③当60<t≤3605即由题意得：t−60=5t−240，解得：t=45（不合题意，舍去）；④当72<t<180时，由题意得：t−60=240−5t−360或t−60=5t−360−240解得：t=110或135或170；综上，t的值为45或50或110或135或170．25．点O为直线上一点，在直线AB同侧作射线OC，射线OD，使得∠COD=90°．(1)如图1，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的平分线，若∠COE=25°时．求∠AOC的度数；(2)如图2，过点O作射线OE，使OE恰好为∠AOC的平分线，另作射线OF，使OF平分∠BOD，①若∠AOC=50°，求∠EOF的度数；②若∠AOC=α0°<α<90°，则∠EOF的度数是(3)过点O作射线OE，使OC恰好为∠AOE的平分线，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，直接写出∠AOC的度数．【答案】(1)40°(2)①135°；②135°(3)35°或55°【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．（1）根据图中角的和差关系和角平分线的定义求解；（2）根据角平分线的定义求出∠DOF和∠COE，再根据∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF求解；（3）分OF在∠EOD内部和OF在∠EOD外部两种情况，分别计算即可．【详解】（1）解：∵∠COE=25°,∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−25°=65°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=65°，∴∠AOC=∠AOE−∠COE=65°−25°=40°，故答案为：40；（2）解：①∵∠AOC=50°,∠COD=90°∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=40°，∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，∴∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=25°+90°+20°=135°；②∵∠AOC=α,∠COD=90°，∴∠BOD=180°−∠AOC−∠COD=90°−α，∵OF平分∠BOD,OE平分∠AOC，∴∠DOF=1∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=1故答案为：135°；（3）解：当OF在∠EOD内部时，如图：∵OF平分∠COD,∠COD=90°，∴∠COF=1∵∠EOF=10°，∴∠COE=∠COF−∠EOF=35°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠COE=35°；当OF在∠EOD外部时，如图：∵OF平分∠COD,∠COD=90°，∴∠COF=1∵∠EOF=10°，∴∠COE=∠COF+∠EOF=55°，∵OC平分∠AOE，∴∠AOC=∠COE=55°，综上可知，∠AOC的度数是35°或55°，26．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a+62(1)填空：a=______，b=______；(2)若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，已知点C为数轴上一动点，且满足AC+BC=25，求出点C表示的数；(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、B两点之间上，且BD−2AD的值始终是一个定值，求m的值及该定值．【答案】(1)−6,15(2)−8或17(3)m的值为43【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，非负数，解题的关键是数形结合，运用方程思想解题；（1）利用非负数的意义即可求得结论；（2）分三种情况讨论解答：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧，点C在线段AB上，根据AC+BC=25列方程解答即可；（3）分D点向左运动和向右运动两种情形解答，依据题意列出BD−2AD的值的式子，整理后使得的系数为0即可求得结论．【详解】（1）解：∵a+6∴a+6∴a=−6,b=15，故答案为：−6,15；（2）解：设点在数轴上表示的数为x，当点C在点A的左侧时，则AC=−6−x,BC=15−x，∵AC+BC=25，∴−6−x+15−x=25，解得：x=−8，当点C在点B的右侧时，AC=x−−6∵AC+BC=25，∴x+6+x−15=25，∴x=17，当点C在线段AB上时，则AC+BC=15−−6故此情况不成立，舍去，综上所述：点C表示的数为−8或17；（3）解：当点D从原点向左运动时，则D表示的数为：−mt，A表示的数为：−6−3t，B表示的数为：15+2t，∴BD=15+2t+mt,AD=−mt+6+3t，∴BD−2AD=15+2t+mt−2−mt+6+3t∵BD−2AD的值始终是一个定值，∴3m−4=0，解得：m=4此时BD−2AD=3，当点D从原点向右运动时，则D表示的数为：mt，A表示的数为：−6−3t，B表示的数为：15+2t，∴BD=15+2t−mt,AD=mt+6+3t，∴BD−2AD=15+2t−mt−2mt+6+3t∵BD−2AD的值始终是一个定值，∴−3m−4=0，解得：m=−4∵m>0，∴此种情形不存在，综上所述，m的值为4327．如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−6，点B表示8，点C表示16，我们称点A和点C在数轴上相距22个单位长度．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．(1)动点P从点A运动至点C需要多少秒？(2)P、Q两点相遇时，求相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是多少？(3)求当t为何值时，O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒；(2)M对应的数为：4；(3)当t为2或5或8，O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；（1）由P分别在AO,OB,BC上的运动时间之和可得答案；（2）先判断相遇点在OB上，再列式计算即可；（3）分情况讨论：当0<t≤4时，Q在CB上，P在AO上，当4<t≤6时，Q在OB上，P在AO上，当6<t≤10时，Q在OB上，P在OB上，当10<t≤12时，Q在OB上，P在BC上，当12<t时，Q在OA上，P在BC上，再利用O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可．【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间t=6÷1+8÷2+（答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒；（2）解：当t=6时，P,O重合，而Q的运动路程为2×4+1×2=10，∴此时Q在OB上，即相遇点M在OB上，∴相遇时间为6+8−2∴M对应的数为：8−6×2=4（3）解：当0<t≤4时，Q在CB上，P在AO上，∵O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．∴6−t=8−2t，解得：t=2，当4<t≤6时，Q在OB上，P在AO上，∵O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．∴6−t=t−4，解得：t=5，当6<t≤10时，Q在OB上，P在OB上，∵O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．∴2t−6解得：t=8，当10<t≤12时，Q在OB上，P在BC上，∵O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．∴8+t−10=t−4，此时方程无解，当12<t时，Q在OA上，P在BC上，∵O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．∴8+t−12=8+t−10，此时方程无解，综上：当t为2或5或8，O、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等．28．观察下列按一定规律排列的三行数：−2，4，−8，16，−32，64，…；1，7，−5，19，−29，67，…；1，−5，7，−17，31，−65，…；解答下列问题：(1)第一组的第八个数是______．(2)分别写出第二组和第三组的第n个数______，______．(3)取每行数的第m个数，是否存在m的值，使这三个数的和等于514？若存在，求出m的值？若不存在，请说明理由．【答案】(1)256(2)−2n+3(3)不存在m的值，使这三个数的和等于514【分析】本题考查规律型−数字变化类问题，有理数的运算等知识点，（1）根据第一组对应的数为−2的序数次幂的规律即可得解；（2）根据第二组的数比第一组对应的数大3，第三组的数的规律为−−2（3）根据规律构建方程即可解决问题；熟练掌握探究的规律是解决此题的关键．【详解】（1）观察知，第一组第一个数为−2=−2第一组第二个数为4=−2第一组第三个数为−8=−2第一组第四个数为16=−2⋯⋯∴第一组第n个数为−2n∴第一组的第8个数分别是−28故答案为：256；（2）观察知，第二组第一个数为1=−2第二组第二个数为7=−2第二组第三个数为−5=−2第二组第四个数为19=−2⋯⋯∴第二组第n个数为−2n观察知，第三组第一个数为1=−−2第三组第二个数为−5=−−2第三组第三个数为7=−−2第三组第四个数为−17=−−2⋯⋯∴第三组的第n个数−−2故答案为：−2n+3，（3）由题意知−2m∴−2m∵−29∴不存在m的值，使这三个数的和等于514．29．已知点C在线段AB上，AC=2BC，线段DE在直线AB上移动（点D，E不与点A，B重合）(1)若AB=24，求AC和BC的长；(2)若AB=15，DE=6，线段DE在线段AB上移动，且点D在点E的左侧，①如图，当点E为BC中点时，求AD的长；②点F（不与点A，B，C重合）在线段AB上，AF=3AD，CF=3，求AE的长．【答案】(1)AC=16，BC=8(2)①6.5；②25【分析】本题主要考查了等式的性质2，代数式求值，线段的和与差等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．（1）根据AB=AC+BC及已知条件AB=24，AC=2BC即可得出答案；（2）根据AB=AC+BC及已知条件AB=15，AC=2BC先求出AC和BC的长；①当点E为BC中点时，则CE=BE=12BC=2.5，然后根据CD=DE−CE即可求出CD的长，根据AD=AC−CD即可求出AD的长；②分两种情况讨论：i）当F在C点左侧时；ii）当F【详解】（1）解：∵AB=AC+BC=2BC+BC=3BC=24，∴BC=8，AC=2BC=16；（2）解：∵AB=AC+BC=2BC+BC=3BC=15，∴BC=5，AC=2BC=10，①当点E为BC中点时，则CE=BE=1∵DE=6，∴CD=DE−CE=6−2.5=3.5，∴AD=AC−CD=10−3.5=6.5；②分两种情况：i）当F在C点左侧时，如图1，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC−CF=10−3=7，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD+DE=7ii）当F在C点右侧时，如图2，∵AC=10，CF=3，∴AF=AC+CF=10+3=13，∵AF=3AD，∴AD=1∵DE=6，∴AE=AD+DE=13综上所述，AE=253或30．如图，已知数轴上原点为O，点B表示的数为−2，点A在点B的右边．且A与B之间的距离是6，动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点A表示的数，与点A的距离为3的点表示的数是．(2)点P表示的数（用含t的代数式表示），点Q表示的数（用含t的代数式表示）．(3)当运动时间t为几秒时，点P与点Q到原点O的距离相等？【答案】(1)4；1或7(2)3t−2；−4t+4(3)当t=67或2时，点P与点Q到点【分析】（1）由点B表示的数、AB的长及点A在点B的右边，即可得出点A表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出与点A的距离为3的点表示的数；（2）由点P，Q的出发点、运动速度及运动方向，可找出当运动时间为t秒时，点P，Q表示的数；（3）由点P与点Q到点O距离相等，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵点B表示的数为−2，A在B的右边，且A与B的距离是6，∴点A表示的数为−2+6=4．∵4−3=1，4+3=7，∴与点A的距离为3的点表示的数是1或7．故答案为：4；1或7；（2）解：当运动时间为t秒时，点P表示的数为3t−2，点Q表示的数为−4t+4．故答案为：3t−2；−4t+4；（3）解：依题意，得：|3t−2|=|−4t+4|，即3t−2=−4t+4或3t−2=4t−4，解得：t=67或答：当t=67或2时，点P与点Q到点【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出各点表示的数；（2）根据各数量之间的关系，利用含t的代数式表示出点P，Q表示的数；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．31．已知A，B，C三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为a，b，c，点O为原点．(1)若a+10=10，C点对应的数为5，点C为A，B中点，则a=________，b=(2)如图2所示，线段MN位于数轴正半轴，点C在OM之间并满足OC:CM=1:2，点D在NB之间并满足BD:DN=1:2，若OB=b，MN=x，请用含b，x的式子表示线段CD．(3)在（1）条件下，点A，B开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．在运动过程中，若剪下线段AB，并将端点B沿着线段上的点P向左折叠，得到B′（如图3），然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4），若这三条线段的长度之比为1:2:2，请直接写出折痕处对应的点P在数轴上表示的数（用含t【答案】(1)−20，30(2)1(3)0或5+12【分析】（1）根据绝对值方程和点A的位置即可求出a的值，根据数轴上两点间距离可求b的值；（2）设点M表示的数为m，根据数轴上两点间距离，并结合已知可求出点C、D表示的数，然后数轴上两点间距离求解即可；（3）先求出t秒时，点A表示的数为−20−2t，点B表示的数为30+3t，则AB=50+5t，设在AP上剪切处为Q，在BP剪切处为Q′，则PQ=PQ′，然后分①AQ:QQ′:Q′B=1:2:2【详解】（1）解：∵a+10=10∴a=0或a=−20，又A在原点左边，∴a=−20，∵C点对应的数为5，∴AC=5−−20∵点C为A，B中点，∴BC=AC，∴b=5+25=30，故答案为：−20，30；（2）解：∵OB=b，∴点B表示的数是b，设点M表示的数为m，∴OM=m，∵MN=x，∴点N表示的数为m+x，∴BN=m+x−b，∵BD:DN=1:2，∴BD=1∴点D表示的数为b+1∵OC:CM=1:2，∴OC=1∴点C表示的数为13∴CD=b+1（3）解：根据题意，得t秒时，点A表示的数为−20−2t，点B表示的数为30+3t，∴AB=30+3t设在AP上剪切处为Q，在BP剪切处为Q′则PQ=PQ①当AQ:QQ∴AQ=11+2+2AB=10+t∴PQ=1∴点P表示的数为−20−2t+10+t+10+t=0；②当AQ:QQ∴AQ=21+2+2AB=20+2t∴PQ=1∴点P表示的数为−20−2t+20+2t+5+1③当AQ:QQ∴AQ=21+2+2AB=20+2t∴PQ=1∴点P表示的数为−20−2t+20+2t+10+t=10+t；综上，点P表示的数为0或5+12t【点睛】本题考查了绝对值方程，数轴上两点间距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．32．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题①12×4②14×6③16×8⋯(1)按以上规律，第④个等式为：________；第n个等式为：________（用含n的式子表示，n为正整数）；(2)按此规律，计算12×4(3)探究计算：111×15【答案】(1)18×10=1(2)5(3)40【分析】（1）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个n等式即可；（2）利用（1）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可；（3）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可；本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律．【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为18×10=121故答案为：18×10=1（2）解：原式=====5（3）解：原式=======5×=5×=4033．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础．某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图，[探究]操作一：（1）折叠纸面，使表示1的点与表示−1的点重合，则表示−2的点与表示__________的点重合操作二：（2）折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题：①表示−3的点与表示_________________的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是_________________，_________________，操作三：（3）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从−3到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条钱段的长度之比为1：【答案】（1）2；（2）①7；②−2.5；6.5；（3）1或2或3【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：（1）根据两点中点计算公式找到折叠点表示的数，再根据折叠后重合的两点到折叠点的距离相等进行求解即可；（2）①同（1）求解即可；②求出点A和点B到折叠点的距离都为4.5，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；（3）分三种情况进行讨论：如解析图所示，当AB:BC:CD=1:2:2时，当AB:BC:CD=2:2:1时，当AB:BC:CD=2:1:2时，分别求出AB、BC、CD的值，进而计算折痕处对应的点所表示的数的值即可．【详解】解：（1）∵折叠纸面，使表示1的点与表示−1的点重合，∴折叠点表示的数为−1+12∴表示−2的点与表示0+0−故答案为：2；（2）①∵折叠纸面，若使表示1的点与表示3的点重合，∴折叠点表示的数为1+32∴表示−3的点与表示2+2−故答案为：7；②∵数轴上A、B两点之间距离为9(A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，∴点A和点B到折叠点的距离都为92∴点A表示的数为2−4.5=−2.5，点B表示的数为2+4.5=6.5；故答案为：−2.5；6.5；（3）如图，当AB:BC:CD=1:2:2时，

设AB=a，BC=2a，CD=2a，∴a+a+2a=10，∴a=2，∴AB=2，BC=4，CD=4，∴折痕处对应的点所表示的数是：−3+2+4如图，当AB:BC:CD=2:2:1时，

设AB=2a，BC=2a，CD=a，∴2a+2a+a=10，∴a=2，∴AB=4，BC=4，CD=2，∴折痕处对应的点所表示的数是：−3+4+4如图，当AB:BC:CD=2:1:2时，

AB=2a，BC=a，CD=2a，∴2a+a+2a=10，∴a=2，∴AB=4，BC=2，∴折痕处对应的点所表示的数是：−3+4+2综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是1或2或3．故答案为：1或2或3．34．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示：每月用水量单价不超出6m2元/超出6m3不超出4元/超出10m8元/例如：若某户居民1月份用水8m3，则应收水费：(1)若该户居民2月份用水12.5m3，则应收水费(2)若该户居民3月份用水am3（其中6m(3)若该户居民4月份用水xm3，4、5两个月共用水15m3，且5月份用水超过4月份，请用含【答案】(1)48(2)4a−12元(3)−6x+68元或−2x+48元或36元【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键．（1）根据材料提示的计算方法即可求解；（2）根据不超过6m3的部分的水费+超出6m（3）根据题意，分类讨论，结合（1）、（2）的计算方法即可求解；【详解】（1）解：应收水费为2×6+4×10−6故答案为：48；（2）解：∵应收水费=不超过6m3的部分的水费+超出6m∴应收水费为6×2+4a−6∴应收水费为4a−12元；（3）解：∵5月份用水量超过了4月份，∴4月份用水量少于7.5m①当4月份用水量少于5m3时，则5月份用水量超过∴4、5两个月共交水费=2x+815−x−10②当4月份用水量大于或等于5m3但不超过6m3时，则5月份用水量不少于∴4、5两个月共交水费=2x+415−x−6③当4月份用水量超过6m3但少于7.5m3时，则5月份用水量超过∴4、5两个月共交水费=4x−6综上，4、5两个月共交的水费为−6x+68元或−2x+48元或36元．35．如图，将一条数轴在原点0和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示−8，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒．问：(1)动点P从点A运动至C点需要多少时间?(2)点P、Q在M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少；(3)求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】(1)23秒(2)14(3)t为2或132【分析】本题综合考查了数轴与动点，一元一次方程在数轴上的应用．熟练掌握路程、速度、时间三者的关系，数轴上动点表示的数，数轴上两点间的距，分类讨论，是解题的关键．（1）求出OA、OB、BC三段路程上的时间和，即可；（2）由P、Q在OB上时，P表示的数为0+2t−8=2t−16，Q表示的数为10−t−5−15−t，在M点相遇时，2t−16=15−t，解得（3）当0<t≤5时，8−t=10−2t，解得t=2；当5<t≤8时，8−t=t−5，解得t=132；当8<t≤13时，2t−16=t−5，解得t=11；当13<t≤15时，t−3=t−5，无解；当t>15时，2t−20=t−3，解得【详解】（1）解：动点P从点A运动至C点需要时间：81（2）解：∵P到O时花了8秒，8秒后点P在OB上，∴点P表示的数为：0+2t−8∵Q到B花了5秒，5秒后点Q在OB上，∴点Q表示的数为：10−t−5当在M点相遇时，2t−16=15−t，解得t=31∴点M所对应的数为：15−（3）解：∵运动时间为t秒，PO=QB，①当0<t≤5时，P表示的数为：−8+t，OP=0−−8+tQ表示的数为：20−2t，QB=20−2t−10=10−2t，∴8−t=10−2t，解得t=2；②当5<t≤8时，P表示的数为：−8+t，OP=0−−8+tQ表示的数为：10−t−5=15−t，∴8−t=t−5，解得t=13③当8<t≤13时，P表示的数为：0+2t−8=2t−16，Q表示的数为：10−t−5=15−t，∴2t−16=t−5，解得t=11；④当13<t≤15时，P表示的数为：10+t−13=t−3，Q表示的数为：10−t−5=15−t，∴t−3=t−5，无解；⑤当t>15时，P表示的数为：10+t−13=t−3，Q表示的数为：0−2t−15=30−2t，∴2t−20=t−3，解得t=17；综上，t为2或13236．阅读下列材料，我们知道，5x+3x−4x=5+3−4x=4x，类似的，我们把a+b看成一个整体，则(1)把a−b2看成一个整体，合并3(2)若已知−a2=a+2(3)拓展探索：已知a−3b=5，3b−c=−4，【答案】(1)4(2)a(3)a−c【分析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化．（1）利用整体思想，把a−b2（2）原式可化为a2（3）将原式去括号整理成a−3b+【详解】（1）解：3a−b故答案为：4a−b（2）解：∵−a∴a2∴a2（3）解：∵a−3b=5，∴a−c=a−c+3b−d−3b+c==5−4+7=8．37．两个形状、大小完全相同的含有30°和60°的三角板如图1放置，PA,PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．(1)如图1，∠DPC=________°；(2)如图2，若三角板PBD保持不动．三角板PAC绕点P逆时针旋转一定角度后，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF的度数．(3)如图3，在图1的基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC旋转到与PM第一次重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，∠CPD∠BPN是否为定值?若是，请直接【答案】(1)90(2)∠EPF=30°(3)∠CPD∠BPN为定值，这个定值为【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，角平分线的定义，理解图示中角度的关系，掌握角度之间的数量关系，角度的和差计算方法是解题的关键．（1）根据题意可得，∠BPD=30°,∠APC=60°，由平角的性质可得∠DPC=180°−∠BPD−∠BPC，由此即可求解；（2）根据角平分线的定义可得，∠APF=∠FPD=12∠APD,∠CPE=∠EPD=12∠CPD，设∠CPF=x,∠CPE=y，则∠APF=∠APC−∠CPF=60°−x，（3）根据可以得可得∠CDP=90°,∠BPA=180°，运动的速度差为3−2=1°/秒，∠BPM=2t，用含t的式子分别表示出∠CPD,∠BPN，再根据题意计算即可求解．【详解】（1）解：根据题意可得，∠BPD=30°,∠APC=60°，∵∠BPD+∠DPC+∠APC=180°，∴∠DPC=180°−∠BPD−∠BPC=180°−30°−60°=90°，故答案为：90；（2）解：∵PF平分∠APD，PE平分∠CPD，∴∠APF=∠FPD=1设∠CPF=x,∠CPE=y，则∠APF=∠APC−∠CPF=60°−x，∠CPD=2x，∴2x+y=60°−y，整理得，x+y=30°，∵∠EPF=∠CDE+∠CDF=x+y，∴∠EPF=30°；（3）解：是定值，理由如下，由（1）可得，∠CDP=90°,∠BPA=180°，∵三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，设运动时间为t秒，∴速度差为3−2=1°/秒，∠BPM=2t，∴∠CPD=90°−t，∠BPN=∠BPA−∠BPM=180°−2t，∴∠CPD∠BPN∴∠CPD∠BPN为定值，这个定值为138．材料1：已知数轴上M，N两点对应的数分别为m，n，则点M和点N之间的距离表示为MN=m−n材料2：已知数轴上A，B两点对应的数分别表示为a，b，则线段AB的中点G表示的数为a+b2知识运用：（1）x+4可理解为数轴上的数x到_____的距离；（2）若数轴上表示3和−1的两点分别为A和B，则AB的中点表示的数为_____；深入探究：（3）在数轴上，点P表示的数为x，则x+3+x−1的最小值是_____，（4）如图，在数轴上点A表示的数为−3，点B表示的数为1，点C表示的数为9，若点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动．t秒后，点A，点B，点C三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求t的值．【答案】（1）−4；（2）1；（3）4；12；（4）当t=1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，求中点，对于（1），根据两点之间的距离判断，再根据中点的算式解答（2），然后根据点P到两个数之间的距离解答（3），最后表示三个点，分三种情况根据中点的算式解答（4）．【详解】（1）x+4可以理解为数轴上的数x，到−4的距离；故答案为：−4；（2）AB的中点表示的数是3+(−1)2故答案为：1；（3）x+3+x−1表示数轴上的点P到−3和1的距离之和的最小值为4（点P在两个数之间），x+3−x−9表示数轴上的点P到故答案为：4,12；（4）t秒时A，B，C三点的数为−3−2t,1−t,9−4t，当以点B为中点时3，−3−2t+(9−4t)2解得t=1；当以点C为中点时3，−3−2t+(1−t)2解得t=4；当以点A为中点时3，1−t+(9−4t)2解得t=16．所以t=1或4或16．39．如图，将一根木棒（阴影部分）放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上对应的数为2，由此可得到图中点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；(2)体会（1）的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄．【答案】(1)4；6(2)爷爷现在的年龄为65岁【分析】（1）由观察数轴可知三根这样长的木棒的长度，即可求出这根木棒的长；根据这根木棒的长，结合图中的已知条件即可求得A和B所表示的数；（2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示瀚瀚的年龄，小木棒的B端表示爷爷的年龄，则小木棒的长表示二人的年龄差，由此参照（1）中的方法结合已知条件分析解答即可．【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为8−2=6，则这根木棒的长为6÷3=2，∴图中点A表示的数是2+2=4，点B表示的数是4+2=6；故答案为：4；6．（2）解：借助数轴，把瀚瀚和爷爷的年龄差看做木棒AB，爷爷像瀚瀚这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移后所对应的数为−45，瀚瀚像爷爷现在的年龄时，可看作点A移动到点B，此时点B向右移后所对应的数为120，且爷爷比瀚瀚大，120−−45∴爷爷现在的年龄为120−55=65（岁），∴瀚瀚现在的年龄为65−55=10（岁）．【点睛】此题考查认识数轴及用数轴表示有理数和有理数的加减法，有理数四则混合运算的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上点表示有理数，难度一般，读懂题干要求是关键．40．已知，有7个完全相同的边长为m、n的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中．(1)请用含m，n的代数式表示下面的问题：①大长方形的长：__________；②阴影A的面积：__________．(2)请说明阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．【答案】(1)①m+4n；②10m−3mn(2)见解析【分析】本题考查整式的混合运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则．（1）①大长方形的长为小长方形的长+上宽4的倍；②阴影A的长为m，宽为10−3n，再根据长方形的面积公式求解即可；（2）分别表示出阴影A和阴影B的长和宽，再求出阴影A和阴影B的周长和即可．【详解】（1）解：①大长方形的长为m+4n，故答案为：m+4n；②阴影A的长为m，宽为10−3n，∴阴影A的面积为10−3nm=10m−3mn故答案为：10m−3mn；（2）阴影A的长为m，宽为10−3n，阴影B的长为4n，宽为10−m，∴阴影A与阴影B的周长的和为：2=2m+20−6n+8n+20−2m=2n+40∴阴影A与阴影B的周长的和与m的取值无关．41．某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（x>40），经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支，网球25元/筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：甲商店：买一支网球拍送一筒网球；乙商店：网球拍与网球均按90％(1)请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付________________元，到乙商店购买需要支付________________元；(2)若x=100，请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠；(3)若两家的优惠方案相差400元，求x的值【答案】(1)25x+3000，22.5x+3600(2)甲商店购买合算(3)80或400【分析】（1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可；（2）把x=100代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可；（3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可．本题考查了代数式的求值、列代数、由实际问题抽象出一元一次方程，掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，根据题意列出算式是解题关键．【详解】（1）解：依题意，甲商店购买需付款：40×100+x−40乙商店购买需付款：100×90％故答案为：25x+3000，22.5x+3600；（2）解：当x=100时，则甲商店需25×100+3000=5500（元），则乙商店需22.5×100+3600=5850（元）；∵5500<5850，∴甲商店购买合算；（3）解：∵两家的优惠相差400元，∴25x+3000+400=22.5x+3600．解得x=80；或25x+3000=22.5x+3600+400，解得x=400．∴x的值为80或400．42．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB=a−b【综合运用一】如图，数轴上点E表示为−3，点F表示为2．（1）线段EF的长度是______．（2）若x表示任意一个有理数．利用数轴回答下列问题：①当x+3+x−2=7式子x+3+x−2是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出【综合运用二】已知点A、B、C为数轴上三个点，表示的数分别是a，b，c，满足c−72+b−13=0，且（1）a=______，b=______，c=______；（2）若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为t秒（t>0）．①用含t的式子表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______；②当PO=6时，求t的值．（3）在（2）的条件下，P、Q出发的同时，动点M从点C出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动．求点M追上点Q后再经过几秒，MQ=2MP？【答案】综合运用一：（1）5；（2）①−4或3；②当−3≤x≤2时，x+3+综合运用二：（1）−12，13，7；（2）①−12+3t，13+2t；②t=2或6；（3）469【分析】综合运用一：（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）根据x+3+综合运用二：（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答；（2）①根据题意直接列出代数式即可；②由PO=6，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可；（3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据MQ=2MP可列出方程，求解即可．【详解】解：综合运用一：（1）∵点E表示为−3，点F表示为2，∴EF=−3−2故答案为：5（2）①∵点E表示为−3，点F表示为2，数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是−4或3，∴当x+3+x−2=7故答案为：−4或3②∵x+3+x−2是指表示x的点到点E的距离与到点由数轴可得，当表示x的点位于点E，F之间时，它们的距离之和为线段EF的长，此时它们的距离之和最小，∴当−3≤x≤2时，x+3+综合运用二：（1）∵a为−1∴a=−12，∵c−72≥0，b−13≥0∴c−72=0，∴c=7，b=13．故答案为：−12，13，7（2）①当运动t秒时，点P表示的数为−12+3t，点Q表示的数为13+2t．故答案为：−12+3t，13+2t②当PO=6时，−12+3t=6∴−12+3t=±6，解得t=2或6（3）点M未追上点Q时，点M表示的数为7+5t，当点M追上点Q时，7+5t=13+2t，解得t=2，即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为7+5×2=17，∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动，∴点M表示的数为17−5t−2当MQ=2MP时，−5t+27∴−7t+14=2解得t=649或∴649−2=46∴点M追上点Q后再经过469秒或2秒，【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键．43．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送餐量为50单，送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于50单的部分记为“−”，如表是该外卖小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（单位：单）−3+4−5+14−8+7+12(1)①该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了_______单；最少的一天送了_______单；②求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？(2)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴5元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？【答案】(1)①64，42；②该外卖小哥这一周平均每天送餐53单．(2)该外卖小哥这一周工资收入1273元【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．（1）①根据表格中的数值判断出最大值，最小值，与50相加减即可；②求出表中数据的平均数，再加上标准数即可；（2）根据题意可列该外卖小哥这一周工资收入的式子，计算即可求解．【详解】（1）解：①由题意可得该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了：50+14=64（单），最多的一天送了：50−8=42（单），故答案为：64，42．②由题意可得：50+−3=50+3，=53（单）．∴该外卖小哥这一周平均每天送餐53单．（2）解：根据题意可列，小哥这一周工资收入：60×7+50×7−3−5−8=420+668+185，=1273．故该外卖小哥这一周工资收入1273元．44．如图，已知数轴上A，B两点分别位于原点O两侧，点B对应的数为2，且AB=12．(1)点A对应的数是______；(2)动点P，Q分别同时从A，B出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为AP的中点，N点在BQ上，且BN=13BQ①当点M，N重合时，求t的值；②在P，Q运动的过程中，探究MN+2ONMQ【答案】(1)−10(2)①t=6，②当0≤t<6时，MN+2ONMQ的值是不变的；当t≥6时，MN+2ON【分析】本题考查了数轴与动点问题，列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．（1）点B对应的数为2，且AB=12，得出点A对应的数是2−12=−10；（2）依题意可得，P点所表示的数是−10+6t，M点所表示的数是−10+3t，Q点所表示的数是2+3t，N点所表示的数是2+t．①当点M，N重合时，MN=−10+3t−2−t=−12+2t②在P、Q运动的过程中，分情况讨论，当0≤t<6时，当t≥6时，分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：∵点B对应的数为2，且AB=12，由数轴可知，点A对应的数是2−12=−10，故答案为：−10；（2）依题意可得，P点所表示的数是−10+6t，AP=6t，∵M是AP的中点，∴AM=1∴M点所表示的数是−10+3t，同理可得，Q点所表示的数是2+3t，BQ=3t，∴BN=t，∴N点所表示的数是2+t，∴MN=−10+3t−2−t①当点M、N重合时，MN=0，∴−12+2t=0，即t=6∴当点M、N重合时，t=6，②依题意可得，ON=2+t，MQ=−10+3t−2−3t（ⅰ）当0≤t<6时，MN=12−2t，∴MN+2ONMQ（ⅱ）当t≥6时，所以MN=−12+2t，∴MN+2ONMQ综上所述，在P、Q运动的过程中，当0≤t<6时，MN+2ONMQ的值是不变的；当t≥6时，MN+2ON45．先阅读，并探究相关的问题：【阅读】a−b的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作AB=a−b，如2−5的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：6+3可以看作6−−3，几何意义可理解为6与(1)数轴上表示x和−2的两点A和B之间的距离可表示为______；如果AB=3，求出x的值：(2)若x+4+x−3=2027(3)探究x+16−【答案】(1)x+2，x=1或者x=−5；(2)x=1013或x=−1014．(3)存在最大值，最大值为30，理由见解析【分析】本题主要考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，整式的加减的应用．（1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可．（2）由x+4+x−3表示数轴上表示数x的点与表示数−4，3的点之间的距离之和，再分三种情况，当−4≤x≤3时，x+4+x−3=3−−4=3+4=7，可得当x+4（3）由x+16−x−14表示数轴上表示数x的点与表示数−16，14的点之间的距离之差，再分三种情况讨论：当x>14时，当−16≤x≤14时，当【详解】（1）解：x−−2∵AB=3∴x+2=3解得：x=1或者x=−5．（2）解：∵x+4+x−3表示数轴上表示数x的点与表示数−4，∴当−4≤x≤3时，x+4+当x+4+∴x对应的点在3的右边或−4的左边，当x对应的点在3的右边时，∴x−3+x+4=2027，∴2x=2026，解得：x=1013，当x对应的点在−4的左边时，∴3−x+−4∴−2x=2028，解得：x=−1014；综上：x=1013或x=−1014．（3）解：存在最大值，最大值为30，理由如下：∵x+16−x−14表示数轴上表示数x的点与表示数−16，当x>14时，x+16−当−16≤x≤14时，x+16−此时−30≤2x+2≤30，当x<−16时，x+16−综上：x+16−x−14的最大值为46．在一条光滑的轨道上，滑块P，Q可在轨道上进行无摩擦的滑动，P，Q分别从点A，B同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足a+52(1)则a=______，b=______；(2)若P，Q的速度均为3个单位/秒，运动时间为t（秒）．P，Q滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的13和43原路返回，问：经过多长时