2024年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷（含解析）

2024年江西省抚州市南城县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如果+10汽表示零上10度，则零下3度表示（）

A.+3%B.-3℃C.+10℃D.-10℃

2.下列才算正确的是（）

A.（a2）3=a6B.a6-s-a2=a3C.a3-a4=a'2D.a2-a=a

3.如图所示摆放的水杯，其佛视图为（）

4阅读以卜作图步骤:

①在OA和102上分另U截取。C.OD.fitoc=0D；

②分别以C，。为恻心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M：

③作射线0M，连接CM，DM,如图所示.

根据以上作图，一定可以推得的结论是（）

A.zl=N2且CM=DMB.Z1=43且CM=DM

C.z.1=，2且。。=DMD.z2=N3且。。=DM

5.2024年大年初一甜甜和乐乐去南城县滨江国际影城看电影，分别从

如图所示的三部膨片中随机选择•部观看，则她们观看的影片相同的

概率为（）

6

D1

6.如图：抛物线、=ax?+bx+c（ah0）与Y粕交于点力，B,与y轴交于

点C,对•称轴为直线x=—1.若点力的坐标为（一4,0）,则下列结论正确的

是（）

A.2a+d=0

B.-4a-2b+c＞0

C.x=2是关于x的一元一次方程a/+以+c=0（aH0）的一个根

D.点（4,力）,（M,为）在抛物线上，当/＞必＞-1时,y】vy2Vo

二、填空题：本题共6小邈，每小题3分，共18分。

7.2024年全国高考报名人数约13530000人，数13530000用科学记数法表示为

8.若关于x的方程*2-4x+m=。育"两个相等的实数根，则实数小的值为

9.小慧同学在学习了九年级上册”4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在

横线上再写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.

当i=y=b时当丁―L

oyab1

—=—-----------------A=----

XCbc0C

比洌线段出现比例中项线段出现特殊线段比

10.不等式组］匚1言3的解集为

II.如图，止八边形ABCObGH的边长为4,以顶点A为圆心，则阴影部分的

面积为（结果保留“）.

12.矩般4BCD中，M为对角线BD的中点，点N在边4。上，且/IN==2.当以点D,M.N为顶点的三角

形是直用三角形时，力。的长为_

三、解答题；本眶共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13.（本小题6分）

(1)计算：(5)-1+5—2024)°-2sin30°

(2)如配0A=OC,OB=OD,LAOD=4c08.求证：△AOB乡公COD

14.（本小题6分）

图①、图②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点，A/IEC

的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹.

（1）在佟①中找点。，连接。力、DB,DC,使得D/l=£>8=DC.

（2）在图②中找点E,连接AE、BE,使得乙4即=乙4cB.

图①图②

15.（本小题6分）

先化简’再求值：（券-三）+得,选一个你喜欢的Q值代入求值.

16.（本小题6分）

如图，在AtA/lBC中，Z.C=90%延长CB至。，使得过点小，。分别作DE//BA.AE

与OE•相交于点E.下而是两位同学的对话:

小星：由题目的已知条件，若连接小红：由题目的已知条件，若连接

卜E.则可证明BE±CD.

CE,则可证明CE=DE.

请你选择一位同学的说法，并进行证明.

17.（本小题6分）

如图，一次函数y=）nx+的图象与y轴交于点4与反比例函数y=-^（x<0）的图象交于点8（-4,a）.

（1）求点B的坐标：

（2）当^。48的面积为9时,求一次函数y=mx+n的表达式.

18.（本小题8分）

四边形不具有稔定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长

度固定的支架，支架在小，D,G处与.立柱连接（力，垂直于MN,垂足为H）,在8,C处与篮板连接（BC所

在直线垂直于MN）,E尸是可以调节长度的伸缩臂（旋转点尸处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋

转，从而改变四边形?18C。的形状，以此调皆篮板的高度）.己知AD=8C,DH=208cm,测得“45=60。

时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂E凡将，G4E由60。调节为54。，判断点C离地面的高度升高还是

降低了?升高（或降低）了多少？（参考数据:sm540*0.8,cos540«0.6）

19.（本小题8分）

为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买4B两种型号的充电桩.已知X型充电桩比B型充电

桩的单价少03万元，且用18万元购买4型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.

（1）/1.3两种型号充电桩的小价各是多少？

（2）该停车场汁划共购买25个月，8型充电桩,购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？

20.（本小题8分）

如图，，力8c内接「0。，48是。。的直径，。是0。上的一点，CO平分，BCD,CE1力。，垂足为E,

48与CD相交于点F.

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）当C。的半径为5,sin8=之时，求CE的长.

R

AO

D

21.（本小题9分）

为了解;1、8两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、

8两款智能玩具飞机各10架，记录卜.它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最

长时间用x表示，共分为三组：合格60WXV70,中等70WXV80,优等x\80）,下面给出了部分信

息：

4款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长忖间是：60,64,67,69,71,71,72.72,72,82.

8款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71.72,72,73.

两款智能玩具飞机运行最长时间统计表

类别AB

平均数7070

中位数71b

众数a67

方差30.426.6

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中Q=，b=_____,m=_____:

（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若某玩具仓库有4款智能玩具飞机200架、8款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在

中等及以上的共有多少架？

B款智能玩J1飞机运行最长时间扇形统计图

22.（本小题9分）

综合与实践

问题情电：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等

的三角形纸片，表示为和ADFE,其中ZJ1CB=4。七尸=90。，Z.A=Z.D,将AHBC和△DFE按图2

所示方式撰放，其中点8与点/重合（标记为点B）.当4力89=41时，延长OE交AC于点G,试判断四边形

BCGE的形状，并说明理由.

E

数学思考：(1)请你解答老师提出的问题：

深入探究：(2)老师将图2中的绕点8逆时针方向旋转,使点E落在△HBC内部，并让同学们提出新的

问题.

①“善思小组”提出问题：如图3,当乙48E=48ACM，过点A作AM_L8£■文BE的延长线于点M，BM与

月。交于点N.试猜想线段和8E的数量关系，并加以证明,请你解答此问题；

②“智慈小组”提出问题：如图4,当“8E=4BAC时,过点A作/1HIDE于点〃，若8c=9,AC=

12,求4”的长.请你思考此问题，直接写出结果.

23.(本小题12分)

如图，已知抛物线与x轴交于4(1,0)和巩一5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点P.

(1)求抛物线的函数解析式：

(2)若直线x=?n(-5<m<0)与抛物线交于点£与直线BC交于点F.

①当E5取得最大值时，求m的值和EF的最大值：

②当△£色；是等腰三角形时，求点E的坐标.

答案和解析

1.【答案】B

【解析1解：如果+10P表示零上10度，则零上3度表示-3P,

故选：B.

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，若零上用“+”表示，则零下

用“一”表示，据此可得答案.

本题主要考查了正负数的实际应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.

2.【答案】A

【解析】解:A.(a2)3

=Q2X3

=a6,

则A符合题意：

B.a6+a2

=a6-2

=a,，

则8不符合题意；

C.a3-a4

=Q3+4

=a7»

则C不符合题意：

Da?与a不是同类项，无法合并，

则。不符合题意：

故选：A.

根据械的乘方，同底数特乘法及除法法则，合并同类项法则将各项计算后进行判断即可.

本题考查整式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握.

3.【答窠】D

【解析】解：如图所示摆放的水杯，其的视图为:

故选：D.

俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个圆形，右边有一条短线.

此题主要考查r三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：小以C，。为圆心画弧的半径相等，因此CM=OM,又。。=。。，0M=0M,因此△

OC'MgAOOM(SSS)得到41=42,故A符合题意：

8、因为。C、CM的长在变化，所以0C和CM不一定相等，因此41不一定等于，3,故8不符合题意：

C、因为0。、DM的长在变化，所以。。和DM不一定相等，故。不符合题意；

。、CM的位置在变化，所以CM和。8不•定平行，因此42不一定等于43,故力不符合题意.

故选：，1.

由△OCMgAODM(SSS)推出=42：。。和CM不一定相等，因此不一定等于43；。。和DM不一定相

等：CM和08不一定平行，因此22不一定等于43.

本题考查作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，关键是由作图得到△OCMg^ODM(SSS).

5.【答案】B

【解析】解：设三部电影分别为1，2,3,由题意可得树状图如下图，

开始

总共有9种情况，相同的情况有3种，

p(相助W,

故选:3.

用树状图法表示出所有情况及需要情况求解即可得到答案.

本题考查列表和树状图，正确记忆相关知识点是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：•••对称轴为直线x=-l,

•••b=2a,

二2a-b=0,故①错误，

•••抛物线开口向上，

a>0.

•.•对称粕在y轴左侧，

b>0,

•••抛物线与y轴交于负半轴，

c<0,

二—4a-(2b-c)<0,

即一4a-2b+cv0,故@错误，

•••抛物线与x轴交于(-4,0),对称轴为直线x=-1,

二抛物线与x轴的另一个交点为(2,0),

•••x=2是关于x的一元一次方程ax?+bx+c=0(aH0)的一个根，故③正确，

•••抛物线开口向上，对称轴为直线x=-l,

二当%>一1时，y随x的增大而增大，

二当勺>x2>-1时，〃>y2,故④错误，

故选：C.

根据对称轴判断①，根据图象特征判断②，根据对称轴及抛物线与％轴的交点判断③，根据抛物线的性质

判断④.

本题主要考查的是二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征、抛物线与x轴的交点情况，熟

练掌握上述知识点是解决木题的关键.

7.【答案】1.353x107

【解析】解：由题意可得，

13530C00=1.353X107,

故答案为:1.353X107.

根据将•个数写成ax<|a|<10)的形式:叫科学记数法直接求解即可得到答案.

本题考查科学记数法，正确记忆相关知识点是解题关键.

8.【答室】4

【解析】解：根据题意得4=(-4)2—4m=0,

解得m=4.

故答案为：4.

根据根的判别式的意义得到4=(-4)2-47n=0,然后解一次方程即可.

本题考直了根的判别式：一元二次方程a/+改+c=0(。k0)的根与4=b2-4ac有如下关系：当d>0

时，方程有两个不相等的实数根：当4=0时，方程有两个相等的实数根：当4Vo时，方程无实数根.

9.【答窠】解：•.4=&=

DC

;a=Cb,c=竽b,

a/2bo

•••一==2.

c¥b

故答案为：2.

【解析】根据题意得出Q=，Ib,c=^b,进而即可求解.

本题考奁了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

10.【答案】2WXV6

【解析】解:产二

(x-2<4②

解不等式①得：x?2,

解不等式②得：XV6,

不等式组的解集为2<x<6,

故答案为：2<x<6.

先求山垠个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”求

出不等式组的解集即可.

木题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式是关键.

11.【答案】67r

【解析】解：由题意得，乙BAH=180与8-2)=is。,

O

135nx42,

$c阴彬=360=6n，

故答案为：6”.

先根据多边形内角和定理求出，=135%再根据扇形面积计算公式求解即可.

本题主要考杳了正多边形与圆，关键是扇形面积公式的应用.

12.【答案】4或2+2」

【解析】解：分两种情况：①如图1,当/MND=90。时，

•••四边形力BCD是矩形，

Z.A=90°,

:.MN//AB,

.DNDM

AN~丽’

•••M为对角线BD的中点,

ABM=DM,

•••AN=DN,

•:AN=AB=2,

•••AD=2AN=4：

②如图2,当NNMD=90°时,

图2

则MN1BD,

••M为对角线30的中点,

BM=DM,

••.MN垂直平分8D,

二BN=DN,

•••Z/1=90°,AB=AN=2,

RN=V4R2+AN2=V22+7.2=7.y[?.,

DN=2/2，

:.AD=AN+DN=2+2x^2:

综上所述，力。的氏为4或2+24，

故答案为：4或2+20.

分两种情况，①当4MND=90。时，②当土NMD=90。时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出。N的长，

即可得出结论.

本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂克平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨

论等知洪，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键.

13.【答案】解：(1)原式=3+l-2x；

=3+1-1

=3：

(2)证明：vZ.A0D=Z.C0B,Z.A0D=z.A0B^z.B0D.Z.C0B=Z.C0D+Z.B0D,

:.Z.A0B=上COD,

在A40B与AC。。中，

0A=0C

VAAOB=4C0D，

OB=OD

：.^AOB^^COD{SAS).

【解析】⑴根据Q0=l，a-P=—sE3(r=翘接求解即可得到答案：

(2)根JU/10D="08得到〃0B=Z.COD,结合边角边判定即可得到证明：

本题考行三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等判断是关健.

14.【答案】解：(1)如图①所示，线段4C的垂直平分线与线段8C垂直平分线的交点D即为所求；

(2)由因形可得.ZC=45°.

根据格点作等腰直角△48瓦，△HB%，

•••乙AE$=£AE2B=Z.C=45°,

二点E如图②所示.

图①图②

【解析】⑴根据网格的侍点，找到线段71C的垂直平分线与线段8c垂克平分线的交点即为所求点。;

(2)根据网格特点得到NC=45。，根据等腰直角三角形的性质作图即可得到答案.

本题考杳了等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的性质等知识是解题的关键.

6【答案】解：(居一言)+舒

_r3a。+1],2a-1

2a-la+1

=(a+l)(a-l)・2a-l

当a=0时，原式=六=一1.

u-1

【解析】先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法后约分化简，最后选择一个让分式有意义的a值

代值计算即可.

本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键.

16.【答案】证明:①选择小星的说法，证明如下：

如图,连接BE,

­­AE//BD,DE//BA,

.•.四边形力ED8是平行四边形,

•••AE=BD,

BD=CB,

AE-CB,

又,：AEHBD,点。在C8的延长线上,

AE//CB.

•••四边形是平行四边形，

又•••zT=90。，

二四边形HE8C是矩形，

BELCD：

②选择小红的说法，证明如下：

如图，逢接CE,BE,

由①可知四边形4E8C是矩形，

•••CE—AB,

•••四边形力2。8是平行四边形，

•••DE=A13,

•••CE—DE.

【解析】选择小星的说法，先证四边形4EDB是平行四边形，推llmE=ED,再证明川边形4E8C是矩形，

即可得出8EJ.CD：选择小红的说法，根据四边形/1EBC是矩形，可得CE=/1B.根据四边形4ED8是平行

四边形，可得DE=/IB,即可证明CE=DE,

木题考查平行四边形的判定与性旗.矩形的判定与性历.解题的关键是：掌握平行四边形和矩形的判定方

法.

17.【答案】解：(1)将8(-4,a)代入y=-g中，

二8坐标为(-4,2)；

(2)♦•・S'OAB=於4x4=9,

9

A=-

2

・•・4(0,->

将4(0,-今,8(-4,2)代入丫=mx+n中,

\-2=n,

(2=-4)n+n

(13

=--z-

解得：j9»

n="i

【解析】(1)把将B(-4,a)代入y=-?中可得。的值，进而可求出8坐标为(一4,2)：

(2)先求出4(0,-J将4(0,-%8(-4,2)代入y=mx+n中，用待定系数法求得一次函数解析式.

本题考查了•次函数与反比例函的交点问题，掌握待定系数法求解函数解析式、用点的坐标表示图形面枳

是解题关键.

18.【答案】解：点C离地面的高度升高了,

理由:如图，当®E=60°时,过点C作CKJ.HA,交凡4的延长线于点K,

vBCLMN,AH1MN,

ABC//AH,

-AD=BC,

四边形48CD是平行四边形,

/.AB//CD.

/.ADC=LGAE=60%

•・•点C离地面的高度为288cm,DH=208cm,

•••DK=288-208=80(cm),

cnDK80,Nc,、

在RtACDK中，8=百羽=丁=160(cm),

2

如图，^GAE=54°,过点C作CQ1H/I,交出4的延长线于点Q,

在RtaCOQ中，CD=160cm,

二DQ=CD-cos54°«160x0.6=96(cnt).

•••96-BO=16(cm)>

二点C离地面的高度升高约16cm.

【解析】当4GA£=60。时，过点C作CK±H4交H4的延长线于点K,根据已知易得8C〃4H,从而可得

四边形;IBCD是平行四边形，进而可得/1B〃以，然后利用平行线的性质可得4/lZ)C=4G/l£=60。.再根

据已知可得DK=80cm,最后在河△CDK中,利用锐角三角函数的定义求出CD的长:当皿E=54。,过

点。作CQ1H/I,交“力的延长线于点Q,在RtACDQ中，利用锐角三角函数的定义求出DQ的长，然后进行

计第.即可解答.

本题考查了解百角三角形的应用，三角形的稳定性，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

19.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元,则8型充电桩的单价(x+0.3)万元.

根据题急得：噂=磊，

XX十U・J

解得：1=0.9,

经检验.x=0.9是所列方程的解，且符合题意，

•••x+0.3=0.9+0.3=1.2.

答：力型充电桩的单价为0.9万元，8型充电桩的单价为1.2万元；

(2)设购买4型充电桩m个，则购买8型充电桩(25—m)个，依据题意得：

0.9m+1.2(25—m)<26.

解得：加之学

二m=14,

答：至少购买14个4型充电班.

【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价。+0.3)万元，利用数量=总价+单价，结

合用18万元购买4型充电桩与用24万元购买8型充电桩的数量相等，可列出关「%的分式方程，解之经检验

后，可得出4型充电桩的单价，再将其代入(X+0.3)中，即可求出B型充电桩的单价；

(2)设顺买力型充电桩m个，则购买8型充电桩(25-m)个，根据购买总费用不超过26万元即可得出关于m

的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范理.

本题考杳了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

20.【答案】(1)证明：TCE14。，

Z.E=90°,

•••。。平分48。。，

•••WCB=Z.OCD,

OB—OC,

:.Z.B=Z.BCO=Z.D,

:.Z.D=Z.OCD.

OC//DE.

•••Z.OCE=Z.E=90°,

OC是阅的半径，

二。后是0。的切线；

(2)解：•••A8是00的直径,

^ACB=90°,

二AC—6.

•••NOCE=乙ACO+LOCB=乙ACO+/.ACE=90%

/.ACE-Z.OCB—Z.B,

ApO

•••sin乙ACE=sinB=—=

ACb

解得：，1E=3.6,

CE=yfAC2-AE2=4.8.

【解析】(1)根据“过半径的外端垂直于半径内直线是圆的切线”进行证明：

(2)根据三角函数的意义及勾股定理求解.

本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键.

21.【答案】7270.510

【解析】解：(1)力款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a=

72,

把B款智能玩具飞机10架诙充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71,故中位

m%=1-50%-40%=10%,即m=10.

故答案为:70,70.5.10；

(2)4款时能玩具飞机运行性能更好，理由如下：

虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但4款智能玩具飞机运行最长时词的中位数和众数均

高「8款智能玩具E机，所以4款智能玩具长机运行性能更好：(答案不唯一)；

(3)200x^+120x(1-40%)=120+72=192(架),

答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架.

(1)根扼众数的定义可得a的值，根据中位数的定义可得力的值，用“1”减去其他两组所占百分百可得m的

值：

(2)可比较中位数，众数与方差得出结论：

(3)利用样本估计总体可求解.

本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中

获取有用信息是解题的关键.

22.【答案】解：（1）结论：四边形8CGE为正方形.理由如下:

V乙BED=90°.

•••△BEC=180°-BED=90°,

•••/.ABE=Z.A.

AC//BE.

二Z.CGE=乙BED=90°,

•••ZC=90。，

二四边形8CGE为矩形.

“ACR2DEB,

BC-BE.

•••矩形BCGE为正方形；

（2）①绢论：AM=BE.

理由：Z.ABE=Z.BAC,

；.AN=BN,

•••ZC=90。，

BCIAN,

••AMLBE,RP4M1BN,

•••S“8F=GANBC=3BNAM,

"AN=BN.

:.BC=/IM.由（1）得BE=BC,

.-./IM=BE.

②解：如图：设｛8,DE的交点为M,过M作MGJ.B。于G,

VA/ICE^ADEB.

ABE=BC=9,DE=AC=12.LA=LD,LABC=Z.DBE,

LCBE=乙DBM,

Z.CBE=Z.BAC,

•••zD=Z.BAC,

二MD=MB,

•；MG1BD,

二点G是8。的中点，

由勾股定理得48=VAC2+BC2=15，

DG=y,

•••8S〃=^=需，

DM==网=在，即8M=OM=多

DE1280

AM=AB-BM=15—々=或，

oo

-AHIDE,BE1DE,£AMH=LBME,

•­•AAM'd^LBME,

.AH_AM_3

'"'BE=BM=5,

•.AH=^F=1x9=^.即4,的长为

【解析】⑴先证明四边形8CGE是矩形，再由A/ICBMDEB可得8C=8E,从而得四边形BCGE是正方

形：

(2)①由已知，/BE-可得XIN-RN.再由等枳方法S5”,.~\AN-BCBN-AM.再结合已知即

可证明结论：

②设HB,DE的交点为M,过M作MGJ.8。于G,则易得M0=MB,点G是8。的中点：利用三角函数知识

可求得DM的长，进而求得4M