2024年吉林省长春市九台区中考数学三模试卷（含解析）

2024年吉林省长春市九台区中考数学三模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列各对数中，互为相反数的是()

A.—(+1)和+(-1)B.—1)和+(—1)C.—(+1)和—1D.+(-1)和—1

2.近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：制织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物,

每千克衣物上甲醛含最应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为()

A.0.75x10-4B.7.5x10-4C.75x10-6D.7.5x10-5

3.下列计算正确的是()

A.a4+a4=a8B.a3-a4=a12C.a84-a2=a6D.(3a2)3=9a6

4.一个立方体的表面展开图如图所示，将其折叠成立方体后，"你”字对面的字是|

你

试

A.考顺

B.试

C.顺

D.利

5.如图，是一个可折叠衣架，是地平线，、当PM〃AB,PN〃4B时，就想心M

可以确定点N、P、M在同一直线上，这样判定的依据是()\^m/

A.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行,\

B.内错角相等，两直线平行AlL-----------

C.两点确定一条直线

D.平行于同一直线的两直线平行

6.如图，某汽车车门的底边长为0.95m,车门侧开后的最大角度为72。，若将一扇车

门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是()m.o!——A

B.0.95sin72°A,

C.0.95cos72。

D.0.95tan72°

7.如图，△ABC中，若/BAC=80。，乙4cB=70。，根据图中尺规作图的痕迹

推断，以下结论错误的是（）

A.LBAQ=40°

B.DE=

C.AF=AC

D.LEQF=25°

8.如图，点P,Q,R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作又轴，y轴的垂线，与y轴

的交点分别为点C,B,A,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为品，S?,S3,其中AB：

BC=1：2：3,若S2=6.

A.10B.12C.15D.16

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

9.分解因式：m2-4m=

10.抛物线y=3x2+2x+m与％相有两个交点.则77i的取值范围是

11.一台扫描仪的成本价为n元，铛售价比成本价提高了30%,为尽快打开市场，按销伐价的八折优惠出

售.则优惠后每台扫描仪的实际售价为元.

12.如图，A48C与ADEF是位似图形，且位于点。同侧，点。是位似中心,

=

OB=BE，若2,贝USADEF=______♦

13.如图，点M在正六边形的边E尸上运动.若乙48M=%。，写出》的范围

14.如图,在矩形48CD中，0E平分乙40C,交43于点E,EF1CE,交4。于点

F,以CE,EF为边，作矩形CEFG,FG与DC相交于点H.则下列结论：

@AE=BC;

②若4E=4,CH=5,则CE=2";

（3）EF=AE+DH；

④当F是力D的中点时，S四边形ABCD:S四边形CEFG=6：5.

其中正确的结论是.（填写用有正确结论的序号）

三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题6分）

先化简：（1一去）+当，再从-2,-1,1,2中选择一个合适的数作为无的值代入求值.

16.（本小题6分）

周末小明的爸爸开车（记为3车）带他去北陵公园玩，车要停在北陵公园的停车场，到的时候，看到北陵公

园的停车场显示只剩下3个挨着的停车位了（如图），并且还有一辆车（记为4车）排在他们前面等待进停车

场.

（1）直接写出4车停在1号位的概率；

（2）用列表法或树状图法，求小B两车挨着的概率.

123

17.（本小题6分）

某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复EfJ纸每箱180元，购

买白色复印纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱.求购买的白色复印纸的箱数和彩色复印纸的箱数.

18.（本小题7分）

在RtAHBC中,LACB=90°,D是斜边A8上的一点,作DE1BC,垂足为E,延长OE到凡连结CF,使

Z/l=Z.F.

（1）求证：四边形4OFC是平行四边形.

（2）连接CO,若CD平分NAOE,CF=10,CD=12,求四边形/1DFC的面积.

19.（本小题7分）

某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球举球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名

男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息.

信息一：排球垫球成绩如图所示（成绩用工表示，分成六组：A.x<10；8、10<x<15；C、15<x<

信息二：排球垫球成绩在。、204无<25这一组的是：20,20,21,21,21,22,22,23,24,24；

信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如表：

分组y<6.06.0<y<6.86.8<y<7,67.6<y<8.48.4<y<9.29.2<y

人数2m10962

信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如表:

学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6

排球垫球262523222215

掷实心球圈7.87.808.89.2

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：m=；

(2)下列结论正确的是;(填序号)

①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%：

②就实心球成绩的中位数记为九，则6.8<n<7,6：

③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有

4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀；

(3)若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人

数.

20.(本小题7分)

如图①、图②、图③均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格

点,A/BC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中,分别按下列要求作图.保留作图痕

迹.

(1)在图①中，过点C作48的平行线CE.

(2)在图②中，在边上找一点凡使48二241。尸.

(3)在图③中，找一点G,使点C和点G关于48对称.

图①图②图③

21.(本小题8分)

某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校360千米的某风景区，甲车先出发,

一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故隙，停车检修.当

甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程

y(单位：/cm)与甲车行驶时间工(隼位：h)之间的函数图象.

(1)«=_____,乙车的速度是______km/h.

(2)求线段所在直线的函数解析式.

(3)直接写出乙车出现故障前与甲车相距50km时工的值.

22.(本小题9分)

【问题情境】如图1，P是O0外一点，直线尸。分别交。。于4B两点，则P4的长是点P到。。上的点的

最短距离.

(1)【初步探究】如图2,小明为了证明【问题情境】中的结论，给出如下思路：在O0上任取一点C(不与

A,B两点重合)，连接PC,OC.请你根据小明的思路继续思考，完成＜PC的证明过程；

(2)【直接运用】如图3,在RtziMBC中，ZLACB-90%AC—BC=4,以SC为直径的半圆交MS于点0,P

是曲上的一个动点，连接4P，求出线段4P长度的最小值；

(3)【构造运用】如图4,在正方形ABCD中，AD=6,点E,尸分别从D,C两点同时出发，以相同的速度

在边。C,C8上移动，连接4E和DF交于点P,由于点E,产的移动，使得点P也随之运动，请求出线段CP长

度的最小值.

23.（本小题10分）

如图，。为菱形/18C0对角线的交点，AC=4/5,BD=2«.动点P从点A出发,先沿力。以每秒5个单位长

度囱速度运动，然后沿以每秒6个单位长度的速度继续运动.当点P不与点/、0、。重合时，过点P作

PQ//DC^AC^HQ,分别过点P、Q作4。、PQ的垂线，这两垂线相交于点M.设点P的运动时间为t秒.

⑴求点。到BC的距离并写出WCB的正弦值.

（2）用含£的代数式表示PQ的长.

（3）当点。在aPQM的内部时，求£的取值范围.

（4）当点M在菱形的一边上时，直接写出t的值.

（备用图）

24.（本小题12分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=：/一%一?与％轴正半轴交于点力，过点A的直线y=kx+匕（4工

0）与该抛物线的另一个交点8的横坐标为2,P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m+1,过点P作》轴

的垂线，交直线48于点C，在该垂线的点夕上方取一点。，使PO=1,以CO为边作矩形COE”，设点七.的横

坐标为2m.

13

X2X-

(1)写出抛物线y2-2

(2)当点P与点4重合时，求点E的坐标;

(3)当点E在该抛物线上时，求抛物线的顶点到EF的距离;

(4)当矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交，且该抛物线在矩形CDEF内的部分所对应的函数值y随％的增

大而增大时，直接写出m的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、一(+1)=-1,+(-1)=-1,不是相反数，故此选项不符合题意；

B、一(一1)=1,4-(-1)=-1,是相反数，故此选项符合题意；

C、-(+=不是相反数，故此选项不符合题意：

。、+(-1)=-1,不是相反数，故此选项不符合题意；

故选:B.

先化简各数，然后根据相反数的定义判断即可.

本题主要考查了相反数.先化简再求值是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解：0.000075=7.5xW5.

故选D.

科学记数法的表示形式为QX1(P的形式，第一个不是0的数字7前面有5个0,确定出几=-5.

此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定a与九值是关键.

3.【答案】C

【解析】解：va4+a4=2a4,

••・选项A不符合题意；

•••a3•a4=a7,

•••选项3不符合题意；

Va'+=Q6,

.•・选项C符合题意；

•••(3a2)3=27a6,

•••选项。不符合题意，

故选：C.

运用同底数基相乘、同底数哥除法和枳的乘方知识进行逐一运算、辨别.

此题考查了同底数基相乘、同底数鼎除法和积的乘方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行

正确地计算.

4.【答案】C

【解析】解：正方体的表面展开图中，

“祝”与“试”是相对面，

“你”与“顺”是相对面，

“考”与“利”是相对面，

故选：Co

正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答。

本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析及解答问题。

5.【答案】A

【解析】解：当乙=时，PM//AB；4NP4=4P/4B时，PN//AB,就可以确定点N,P,M在同

一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）.

故选：4.

根据过直线外一点，有H只有一条直线与这条直线平行解决问题即可.

本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

6.【答案】B

【解析】解：过点N作NU10M于点H,则NH为最大距离，

ON=0.95m,4NOH=72°,

:.NH=ON•sin乙NOH=0.95s/72。，

故选：B.

过点N作NH1OM于点“，则NH为最大距离，根据三角函数作答即可.

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.

7.【答案】0

【解析】解:4由作图可知,4Q平分的C,

Z.BAQ=LCAQ=\LBAC=40°,

故选项A正确，不符合题意；

注由作图可知，GQ是8C的垂直平分线，

AZ.DEB=90°,

♦:乙B=180°-Z-BAC-^ACB=30°,

故选项8正确，不符合题意；

C.vZB=30°,Z.BAP=40°,

AZ.AFC=70°,

vZ.ACB=70°,

•••AF=ACt

故选项。正确，不符合题意;

D:：（EFQ=AAFC=70°,乙QEF=90°,

:.乙EQF=20°：

故选项。错误，符合题意.

故选：0.

根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可.

本题考查了尺规作图-作角的平分线及线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义,

三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息.

8.【答案】C

【解析】解：•••OA：AB：BC=1：2：3,$2=6,

$4=枭=累，Si+S4=：k，

ODOZ

:,Sz+S5=Y，

•••S2=S4=6,$5=5]=：,

=6,

•••k=18,

•••S$=5i=3,

Si+S$+S3=A,

•••£+S3=k—S5=18—3=15.

故选：c.

图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为Si，S2,S3,其中。力：AB：BC=1：2：3,若52=6,

则Sl+S3=()

由04：AB：BC=1：2：3,得Si=。，S&=；k,S+S=1/c»所以S2=54=6,S=Sj=7,根

oo3x4Z5o

据=6,解得k=18,即得S5=3,进而即可求得1+S3=々-S5=18-3=15.

•J

本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题.

9.【答案】m(m-4)

【解析】解：m2—4m=m[m-4).

故答案为：m(m-4).

提取公因式m,即可求得答案.

本题考查了提公因式法分解因式.题目比较简单，解题需细心.

1().【答案】m<\

【脩析】解：•.•抛物线y=3%2+2%+加与工轴有两个交点，

21=22—4x3m=4-12m>0,

•••m<I；

故答案为:m<1.

由抛物线与x轴有两个交点，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围.

本题考查了抛物线与工轴的交点，牢记“当4=h2-4ac>。时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键.

11.【答案】1.04n

【解析】解：由题意可得，

优惠后每台扫描仪的实际售价为：n(l+30%)x0.8=1.04八(元)，

故答案为：1.04上

根据题意可以用代数式表示出优惠后每台扫描仪的实际化:价.

本题考查列代数式，解答本题的关犍是明确题意，列出相应的代数式.

12.【答案】8

【解析】解：•••OB：BE=1,

•••GBzOE=1：2,

•••△48。与^DEF是位似图形，

:△ABCs〉DEF,BC//EF,

BOCs二EOF,

.BC_OB_1

/，EF=OF=2*

...S^ABC=Az即，_=1,

SbDEF*SwEF4

解得：S^DEF=8,

故答案为：8.

根据位似图形的概念得到△ABCSADEF,BC//EF,证明△BOCs^E。5,求出器根据相似三角形的面

积比等于相似比的平方计算即可.

本题考查的是位似变换的概念、而似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的

关键.

13.【答案】30WxW60

【解析】解：作正六边形力BCD"的外接圆Q。，连结。4、OF、OE,

•NA0F=々FOE=2x360°=60°,：/\\\

6尸弋\»。)C

ALAOE=Z.AOF+乙EOF=120°,4\/：

•.•点M在边EF上运动，[

••・当点M与点"重合时，4A8M最小，x°=乙ABM=^AOF=30°；

当点M与点E重合时，4ABM最大,x°==^AOE=60°,

二欠的范围是30工火工60,

故答案为：30<x<60.

作正六边形ABCCE"的外接圆。0,连结。小OF、OE,则乙/10/=4FOE=gx360。=60。，所以

O

^AOE=120°,当点M与点尸重合时，4ABM最小，x0=^ABM=^AOF=30°,当点M与点E重合时，

乙4BM最大，x°=/.ABM=^AOE=60°,所以30工工工60,于是得到问题的答案.

此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

14.【答案】①②④

【解析】【分析】

本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△GCHS^BCE.

①根据矩形的性质证明仆ADC是等腰直角三角形，进而可以判断；

②首先证明△GCHsZi8CE,证明可得EF=EC,可得四边形CEFG是正方形，所

以CG=CE,进而可以判断；

③若8C=4E=4,CH=5,根据勾股定理可得=DC—CH=6-5=1,根据Er=2A，AE=4,

即可判断；

④设力尸=DF=a,则AO=BC=AE=2a,可得/IB=AE+BE=3a,所以S儆勿怯=2a♦3Q=

6a2,根据勾股定理可得EF=fa,所以得S板形EFGC="?=5M,进而可以判断.

【解答】

解：①在矩形ABCO中，匕力=90。，AD=BC,

•••0E平分匕ADC,

Z.ADE=45°,

.•.△AOE是等腰宜角三角形，

:.AD=AE,

AE=BC,故①正确；

②v乙GCH+乙HCE=90°,乙ECB+Z.HCE=90°,

•••£GCH=乙ECB,

•:乙G=LB=90°,

GCHs二BCE,

.CH_CG

二~CE='CB'

vZ.AEF+乙CEB=90°,乙BCE+乙CEB=90°,

:.Z.AEF=乙BCE,

△AEF^\^BCE中，

(Z.A=Z.B=90°

{AE=BC,

\^AEF=乙BCE

^^AEF^^BCE(ASA),

:.EF=EC,

•••匹边形CEFG是矩形，

.M边形CETG是正方形，

•••CG=CE,

CHCG

‘CE='CB，

­.CE2=CHCB=5x4=20,

CE=2-/5；故②正确；

③•••若BC=AE=4,CH=5,CE=2<5,

:.BE=y/CE2-BC2=V20-16=2,

CD=/IB=4E+BE=4+2=6,

D/7=DC-C/7=6-5=1,

vEF=2/5,4E=4,

••.ErwAE+OH：故③错误；

④坐IF是力。的中点时，

设4F=DF=a,则4。=BC=AE=2a,

,:BE=AF=a,

•••AB=AE+BE=3a.

AS四边形ABCD=2Q.3Q=6Q2'

EF=VAE2+AF2=y/(2a)24-a2=>/~5a,

AS四边形EFGC=EP2=5a2,

2

:‘S四边形ABCD：S四边形QEFG=6a：5a2=6：5.故④正确.

综上所述：①②④.

故答案为：①②④.

15.【答案】解：(1—吉)+当

_x-2x-1

=x^i'(x+2)(x-2)

1

=

VX丰1且入＞±2,

•••兰戈=—1时，原式=1.

【解析】先把括号里进行通分，再计算除法，最后代入求解.

本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键.

16.【答案】解：(1)人车共有三种选择的可能性，即1号、2号、3号,

因此4车停在1号位的概率为最

(2)用树状图表示所有等可能出现的结果情况如下:

开始

两车所有

121321233132

可能情况

一共有六种情况，4、8两车“相邻”的情况有4钟,

.••力、8两车挨着的概率为:=最

o5

【解析】(1)根据概率公式可直接求出结论；

(2)用树状图法表示所有可能出现的结果情况，在找出“两车相邻”的情况，进而求出相应的概率.

本题考查列表法、树状图法求简单的随机事件发生的概率，利用此法注意每种情况出现的可能性是均等

的，即为等口「能事件.

17.【答案】解：设购买的白色复印纸的箱数为“箱，彩色复印纸的箱数为y箱，

由题意得：［“5”3

解得:$：算

答：购买的白色复印纸的箱数为22箱，彩色复印纸的箱数为5箱.

【解析】设购买的白色复印纸的箱数为工箱，彩色复印纸的箱数为y箱，由题意：用2660元购进一批白色复

ER纸和彩色复印纸，购买白色复臼纸的箱数比彩色复印纸的箱数的5倍少3箱，列出二元一次方程组，解方

程组即可.

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

18.【答案】(1)证明：•••乙4cB=90。，

:.AC1BC,

vDE1BC,延长。E至此，

:.AC//DF,

Z.A=Z.BDF,

vZi4=ZF,

•••乙BDF=Z.F,

CF//AB,

又•；AC//DF,

.•M边形AD"t是平行四边形；

(2)解：•••。。平分〃。心

:.Z.ADC=乙FDC,

在ZiAOC和△FDC中，

Z.A=Z.F

乙ADC=乙FDC,

CD=CD

­.^ADC^^FDC(AAS),

•••AD=DF,

由(1)得：四边形4DFC是平行四边形，

S四边形ADFC=2sACDF，=CF=DF=10,

设EF=%,则DE=10-x,

在RtACED中,由勾股定理得：CE?=CD「DEZ,

在股△CEF中，由勾股定理得：CE2=CF2-EF2,

122-(10-x)2=102一/,

解得：%=?,

CE=VCF2-EF2=J102-(y)2=y,

S四边形ADFC=ZSKDF=2X-DF-CE=2X-X10X—=96.

【解析】(1)由24c8=90°,DELBC,推出力C〃Z)F,得出匕力=480尸，再证/BOF=则CF〃48,

即可得出结论；

(2)先由A4s证得△力△尸DC,得出=由平行四边形的性质得S碑龙3^^二AD=

CF=DF=10,设"=%,则DE=10-x,再由勾股定理求出％=/CE=^,即可得出垢果.

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知

识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键.

19.【答案】解：(l)m=40-2-10-9-6-2=11,

故答案为：11;

(2)由条形统计图可得，排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比大于等于喘=90%,①错

误.

掷实心球成绩的中位数记为九，贝U6.84几＜7.6,②正确.

若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4

名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀.

理由：如果学生3的掷实心球的成绩未到达优秀，那么只有学生1、4、5、6有可能两项测试成绩都达到优

秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，③正确.

故答案为：②③；

(3)•.•排球垫球成绩达到22个及以上的人数：10人，

•••全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是：300x^=75,

答：估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数是有75人.

【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得m的值；

(2)根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数，根据题意和表格中的数据可以逐

一判断：

(3)根据题意和表格中的数据可以求得全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数.

本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结

合£勺思想解答.

20.【答案】解：(1作图见图①：

CE却为所求；

(2)作图如图②,

图③

【解析】(1)依据平行线的性质找到格点E,连接CE即可;

(2)找到格点E,连接CE,与线段片8的交点为点凡即可得解;

(3)在(2)的基础上，作4B的平行线MN,与CE相交于点G,即为所求.

本题考查基本作图，中线的定义、等腰三角形的性质、线段三等分点的作法，相似三角形的性质，熟练掌

握三等分点的作法是解题的关键.

21.【答案】300100

【解析】解：(1)由图象得，甲的函数图象是线段。口可设丫伊=攵，经过(6,360),

二6k=360»

解得：k=60,

•••丫甲=60%»

当x=5时,

a=60x5=300,

360—300.nn///u\

“IZ乙=5.6-5=10°（加"）.

故答案为:300,100.

(2)当y=60时，

:.60x=60,

解得：％=1，

:.8(1,0),

乙行典!的时间为携=3(九)，

.-.3+1=4(/1),

6(4,300),

设8c段的函数解析式>二灯》+"则有

华1+b=0

14Al+b=300*

解得:缸黑,

BC段的函数解析式y=100%-100(1<x<4).

(3)乙出发前乙在甲后50.

60x=50,

5

乙车追上甲车后与甲车相距50/cm.

60x-(100x-100)=50,

5

100x-100-60%=50,

15

乙车追上甲车与甲车相距50km.

(1)根据图象可求y伊=60x,从而可求a,进而可求乙的速度：

(2)由(1)可求C(4,300),即可求解；

(3)由(1)(2)可求已追上甲时家出发的时间，进而可求解.

本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确理解自变量和因变量的意义是解题的关键.

22.【答案】解：(1)证明：vPO=PA+OA,POVPC+OC,OA=OC,

PA<PC；

(2)取BC的中点E,连接力E,交半圆于P2，在半圆上任取Pi，连接APi，EPi，可见，AP.+EPi>AE,即

4P2是4P的最小值.

图3

在中，Z-ACB=90°,AC=BC=4,CE=^BC=2,

:.AE=yjAC2+CE2=2

vP2E—2,

AP2=2xf5-2.

即4P长度的最小值为2门-2.

图4

•.•匹边形ABC。是正方形,

;AD=DC=6,Z-ADC=Z-C=90°.

在A4DE和aDCF中，

AD=DC

乙ADC=zC,

DE=CF

•••△ADE丝△OCF(SAS).

：,AE=DF,乙DAE=cCDF,

^^.CDF+Z.ADF=90°,

/.DAE+Z.ADF=90°.

*'.AE1DF；

由干点P在运动中保持乙4PD=90。，

•••点P的路径是一段以力。为直径的弧，

设耳。的中点为Q,连接QC交弧于点P,此时CP的长度最小，

在股△QDC中，QC=VCD2+QD2=V62+32=3/5，

•••CP=QC-QP=3C-3.

答：线段CP的最小值为34-3.

【解析】(1)利用三角形三边关系，结合圆的性质可完成证明；

(2)取BC的中点E,连接4E,交半圆于P2，在半圆上取Pi，连接,4匕，EPi，可见，AP^EP^AE,即”2

是4P的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减掉半径即可；

(3)由题意易证△AOEgZkOCF,从而得到力E=乙DAE=4DF,再由等角的余角相等可得4?1

DF：由干点P在运动中保持41Po=90。，所以点尸的路径是一段以力。为直行的弧，设/0的中点为。连

接QC交弧于点P,此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求。尸即可.

本题是圆的综合题，考查了圆外一点到圆上的点的最短距离、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握

圆外一点到圆上的点的最短距离和勾股定理是解题的关键.

23.【答案】解：(1)如图1,过点D作ONJ.8C于N,

图1

•••匹边形/WCD是菱形，

.••力C1BD,0C=^AC=2/5,OB=^BD=yf5,DC=BC=AD,

由勾股定理得：BC=J（2，写乃+«*）2=5，

DC=5,

'：S^ABCD=\-ACBD=BC-DN,

.*.ix475x2/5=5D/V,

.・.ON=4,即点。到BC的距离是4,

在Rt△DCN中，sinzDCF=瞿二g；

(2)分两种情况：

①当点P在边4。上时，如图2,

•••AP=5t,

图2

••也边形/18CD是菱形，

:.AD=CD,

Z.DAC=Z.DCA,

vPQ//CD,

:.乙AQP=Z.DCA,

:.Z.DAC=乙4QP,

:.PQ=AP=5£：

②当点P在对角线。。上时，如图3,

图3

ADP=/5(t-l),

•••0D=门，

OP=OD-DP=>J~5-0(t-1)=2/5-75t>

•••PQ//AC,

PQ_OP

CD=OD'

即挈=2/5-/5t

0-'

PQ-10—5t；

当点P在对角线。8上时，如图4,

图4

同理得：PQ=5t-10,

5t(0<t<1)

综上，PQ=ho-5t(l<t<2)；

St-10(2<t<3)

(3)当P在边力0匕且Q与。重合时，如图5,

图5

•.•匹边形力8。。是菱形，

•••0A=OC>

•••PQ//CD,

,-.AP=PD=^=5t,

••.T；

当户在边力。上，且点。在PM上，如图6,

D

一

A

BM

帏

OP1AD,

:./.APO=90°,

…八APAO

cos"%。=而=而'

St2/5

：・次=T'

，=i>

综上，当点。在APQM的内部时,£的取值范围是：1<t<^

(4)如图7,点M在边8c上，延长PQ交BC于K,

BM

图7

vPQ//CD,AD//BC,

.•.匹边形。PKC是平行四边形

PK=CD,

vAP=PQ=53

:.KQ=5—5t,

由(1)可知：tan乙QMK=j

.KQ__5-5t_3

“MQ-MQ~4'

s20-20t

•••M11Q=---,

,:PM1AD,

£DPQ+乙MPQ=90°,

PQ1MQ,

乙MQK=90°=乙QMK+cMKQ,

,:AD〃BC,

:.Z.DPQ=乙MKQ,

4MPQ=乙QMK,

tanz.MPQ=tanz.QMKf

20-20t

,MQ_QK_

••PQ~MQf

3

16

25

如图8,点M在边4D上，延长PQ交4。于K,

•••PQ//CD//AB,

，些=竺,即竺=皿（＞,

ADBD52/5

...OK=呼，

.­.AK=KQ=5-KD=5-芋St—S=—IS—王St

同理得：匕nNKMQ=