2024年上海高考数学复习全程规划考点2不等式（7种题型11个易错考点）含详解

考点02不等式（7种题型11个易错考点）

QB【课程安排细目表1

一、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五、刷好题

六.刷压轴

但一、真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共4小题）

1.（2022•上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

2.（2020•上海）下列不等式恒成立的是（

A.2abB.cr+b2^-2aCb.a+b^2^J|abID.a2+b2^-lab

3.（2022•上海）若实数〃、匕满足〃>/〉>（）,下列不等式中恒成立.的是（）

A.a+Z?>2VabB.</+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.-|+2/;<2Vab

2

4.（2021♦上海）已知两两不相等的xi,J”，x2,yi,X3,*，同时满足①xaVya,X3〈y3：②xi+.vi=x2+y2=

心+W；③xiyi+x3y3=2x2”，以下明6个选项恒成立（）

A.2%2<X1+X3B.Zr2>Al+X3C.X2~<X1X3D.X22>AIX3

二.填空题（共5小题）

5.（2022•上海）不等式2二<（）的解集为.

X

6.（2021•上海）不等式空也VI的解集为_____________.

x-2

7.（2（）23•上海）已知正实数〃、〃满足〃+4匕=1,则必的最大值为.

8.（2021•上海）已知函数f（x）=3X+—^—（«>0）的最小值为5,则。=.

3X+1

9.（2020•上海）不等式2>3的解集为.

x

三.解答题（共1小题）

10.（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如

图是一处要架空线入地的矩形地块ABCQ,AB=30m,AD=\5m.为保护。处的一棵古树，有关部门划定了以。

为圆心、D4为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为A3边上的点七，出线口为C。边上

的点凡施工要求E尸与封闭区边界相切，E尸右侧的四边形地块8。生将作为绿地保护生态区.(计算长度精确

到0.1/??,计算面积精确到0.01/H2)

(1)若NAO£=20°,求所的长;

(2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

但二、考点清单

一、等式与不等式的性质

1.两个实数比较大小的方法

a-b>0^=>a>b,

(1)作差法<a-b=0<=>a=b,

a—b<0<^>a<b.

p>l(a£R,b>0)<=>a>b(a£R,b>0),

(2)作商法<^=l<=>a=b(a,b/0)，

a

T<1(a£R,b>0)<=>a<b(a£R,b>0).

ko-

2.等式的性质

⑴对称性：若a=b,则b=a

(2)传递性：若a=b,b=c,贝ija=c.

(3)可加性：若a=b,则a+c=b+c.

(4)可乘性：若a=b,则ac=bc；若a=b,c=d,则ac=bd.

3.不等式的性质

⑴对称性：a>bob<a；

(2)传递性：a>b,b>c=a>c；

(3)可加性：a>b=a+c^b+c；a>b-c>d=a+cNb+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>_bc；a>b,c<O=>ac<t)c；a>d->0,c>d>U=ac二bd；

(5)可乘方：G>b>O=a"N"m£N,n^l)；

(6)可开方：a>b>O=>y[a>y[b(n^N,n^2).

二、均值不等式及其应用

1.均值不等式：y[ab^一弓一

⑴均值不等式成立的条件•：。20.b》0.

⑵等号成立的条件：当且仅当W2时取等号.

⑶其中审称为正数。，b的算术平均数，咽称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

22

(l)a+b^2gb(afb£R),当且仅当。=b时取等号.

(2)abW(岁)(。，b£R),当且仅当。=b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x》0,y20,贝I」

⑴如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2g(简记：积定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当无£时，xy有最大值是为简记：和定积最大).

三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式4=匕2—4℃^>0A=0A<0

二次函数

义

y=ax2-i-bx+c

(a>0)的图象u

一元二次方程

有两相异实根X1，有两相等实根X1=X2

ax2-Fbx+c=0没有实数根

,b

X2(X1<X2)—2a

(a>0)的根

ax2+bx+c>0

{X[X>X2

R

或xU—C

(。>0)的解集

W+bx+cVO

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a或x>b}{x|x<b或x>。}

(x—a)-(x—b)<0{xIa<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式与整式不等式

⑴招>0（<0）Qf（xH7（x）>0（<0）.

⑵招20（W0）Qf3&x）三0仁（0）目.0（外/。

函加方法

一.等式与不等式的性质（共2小题）

1.（2022•宝山区校级模拟）已知〃V〃，c2。，则下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<bcB.C.a2+c<b2+cD.

2.（2022•杨浦区模拟）设xi,X2GR,则“XI+X2>6且加口>9”是“xi>3II4>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

不等关系与不等式（共3小题）

3.（2023•黄浦区模拟）已知.隹R,下列不等式中正确的是（）

A.B.1>1

2X3，x2-x+lx2+x+l

C.D.

2lxIx2+lx2+lX2+2

4.（2（）23•金山区二模）若实数〃、力满足。2>〃2>（）,则下列不等式中成立的是（）

A.a>hB.2a>2b

C.a>\b\D.log2a2>log2〃2

5.（2023•嘉定区模拟）不等式的解集为_____________.

x-l

三.基本不等式及其应用（共9小题）

6.（2023•宝山区二模）已知定义在R上的偶函数/（x）=\x-m+\-2,若正实数人〃满足/Q）±f（2力）=加,

则工二的最小值为（）

ab

A.9B.9C.—D.8

55

7.（2023•黄浦区模拟）若关于x的不等式云+c20（b>l）的解集为R,则l+2b+4c的最小值为_______

b-l

8.（2（）23♦奉贤区二模）己知两个正数〃，人的几何平均值为1,则a2+后的最小值为.

9.（2023•金山区二模）已知正实数公人满足;吊=1，则2〃+人的最小值为.

10.（2023•嘉定区二模）已知函数定义域为（0,+~）,则该函数的最小值为

8x

II.（2023•崇明区二模）已知正实数如。满足必=1,则。+4〃的最小值等于.

12.（2023•浦东新区模拟）对于正实数x,代数式x二一的最小值为_______.

x+1

13.（2023•杨浦区校级三模）若实数七y满足町=1,则2/+）2的最小值为.

14.（2022•上海模拟）已知函数），=/（/）的定义域为值域为4.若DU4,则称/（x）为“M型函数"；若AG。,

则称/（x）为“N型函数”.

（1）设f（x）="-5X+8,。=口，4],试判断/（%）是“M型函数”还是“N型函数”；

x

（2）设f（乂）=乂5，g（x）=^（2+工）+必2-x）,若g（x）既是“M型函数”又是“N型函数”，求实数小

b的值；

（3）设/（x）=?-2ax+bfD=[l,3],若/（x）为“N型函数"，求/（2）的取值范围.

四.其他不等式的解法（共5小题）

15.（2022•浦东新区校级二模）下列各组不等式中，解集完全相同的是（）

2

A.屋〈一与『<卢6

x+1x+1

B.（X-2）尸1）vo与（4-2）（x+1）<0

C.（x[2）（I）>0与x+2>0

x-1

D.xT〉2x+l与尸3>2什1

x2-x+lx2-x+l

16.（2023•嘉定区二模）已知A二｛x—<0]»B={x|xel}，则AG8=

17.（2023•青浦区二模）已知函数y=a^+bx+c的图像如图所示，则不等式（ax+b）（bx+c）（cx+a）<0的解集

是

18.（2023•宝山区二模）己知函数f（x）」——t（“>0且〃K1）,若关于x的不等式/（/+瓜+c）>（）的解集

ax+l2

为（1,2）,其中〃W（-6,1）,则实数。的取值范围是

则不等式f（x）卷>0的解集

19.（2022・长宁区二模）已知函数f（x）满足:

为______________

五.指、对数不等式的解法（共3小题）

20.（2023•杨浦区二模）由函数的观点，不等式3、+/gxW3的解集是

21.（2022•闵行区二模）不等式2厂5<0的解集为.

22.（2022•宝山区一模）已知函数/（为）=--3-+a-

3x+1+b

（1）当。=8=1时，求满足了（%）23"的x的取值范围；

（2）若），=/（%）的定义域为R,又是奇函数，求y=/（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.

六.二次函数的性质与图象(共3小题)

23.(2022•徐汇区校级模拟)函数/(/)=，-6|A1+8的单调减区间是.

24.(2022•宝山区校级二模)“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极

22

强.如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-7b-x(-b<x40)滑到台端点8起跳，

然后在空中沿抛物线g(x)-20ar-b(x>0)飞行一•段时间后在点C着陆，线段的长度称作运动员的

飞行距离，计入最终成绩.已知g(x)=陵-20ax-b在区间［0,30］上的最大值为-30,最小值为-70.

(1)求实数小人的值及助滑道曲线A3的长度.

(2)若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离(精确到米).

A(起滑门)

25.(2022•青浦区二模)设函数/(x)=^+px+q(p,q5R),定义集合。={巾二(x))=x,xWR},集合后={巾

(/(x))=0,xGR).

(1•若p=q=0,写出相应的集合。•和现

(2)若集合。={0},求出所有满足条件的p,q；

(3)若集合6只含有一个元素，求证：p20,q20.

七.一元二次不等式及其应用（共1小题）

26.（2。23•金山区二模）若实数x满足不等式f-3x+2<0,则x的取值范围是

Q四、易错分析

易错点h忽视字母的取值范围而致错

1.（多选）对于任意实数。，b,c,d,下列四个命题中，其中真命题的是（）

A.若CWO,则4C>Z?C；B.若a>b,则4c

C.若则D.若a>b>0,c>d,则。c>Z?d.

易错点2：多次运用不等式性质而致错

2^已知一1<2。+〃<2,3<a-b<4,求的取值范围.

易错点3：忽视不等式中高次项的系数

3.若不等式〃。2+2〃认一4<2»+4工对任意x都成立，则实数m的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（2,+8）C.（-2,21D.[-2,2]

易错点4：应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，

4.当xe（l,2）时，不等式产+"优+4v（）恒成立，则机的取值范围是（）

A.m<-5B.m<-4C.m<5D.m>5

5.已知递增等差数列｛%｝中，4%=一2,则〃3的（）

A.最大值为-4B.最小值为4C.最小值为TD.最大值为4或T

易错点5：忽视一元二次不等式中两根大小而致错

6.已知集合4=｛才/一（3〃-1）工+242-4<。｝，集合3=-4工+3<（）｝,命题p：xeA,

命题Q：XGR.若尸是Q的充分条件,求实数〃的取值范围.

易错点6：忽视分式不等式中的分母不能为零致错

2

7.不等式/yWl的解集是.

易错点7：忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错

8.若不等式〃〉+2律成-4V2『+4x对任意工都成立，则实数/〃的取值范围是（）

A.（-2,2）B.（2,4-oo）c.（-2,21D.[-2,2]

易错点8:忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错.

9.不等式。一2）（3—法）20的解集为（）

A.（1,+8）B.2

3（3"

C.{.很忘2或％22}.D.1-8,-

易错点力一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错

10.当时，关于x的不等式加十X一1<0恒成立，则实数a的取值范围是（）

易错点10:有关一元二次方程根的分布条件列不全致错

11.若方程f+（〃，-2）x+5一机=0的两根都大于2,则m的取值范围是

易错点11：解一元二次不等式时忽视两根大小而致错

12.解关于x的不等式ar2—（〃+l）x+1<05>0）.

Q五、刷好题

一.填空题（共9小题）

1.（2023•宝山区二模）不等式上V0的解集为____________.

x-1

2.（2022秋•闵行区期末）已知。是正实数，若/>〃，则。的取值范围是.

3.（2022秋•徐汇区期末）不等式x+44]的解集为______________________.

X2+2X+2

4.（2022秋•长宁区校级期末）函数）=/二（a>0,aWl）的图像恒过定点A,若点A的坐标满足方程〃・1

=0（"[〃>（））,则工d的最小值.

mn

5.（2023春•奉贤区校级期中）不等式然-<1的解集为.

6.（2022秋•徐汇区期末）已知方程7+x-1=（）的两个根为川、X2,则|川-刈=.

7.（2022秋•浦东新区期末）已知一元二次方程-3a=0（a>0）的两个实根为xi、x2,则x\2x2+x22x\=.

a

8.（2023春•闵行区校级月考）已知实数。>0,b<0,则半b-a的取值范围是

2g

9.（2023春•宝山区校级期中）函数），=:的最小值是_______________________

■京

二.解答题（共2小题）

10.（2023春•青浦区校级期中）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园和植桃树，已知角

4为120°,AB,AC的长度均大于200米，现在边界AP,AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.

（1）若围墙人P,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围围墙用了2000（）元，问如何

围可使竹篱笆用料最省？

II.（2022秋•长宁区校级期末）已知函数/（x）=-.r+2av+a2+l,t/GR

（1）函数在区间［-1,1］上为严格减函数，求〃的取值范围;

（2）函数在区间［-1,I］上的最大值为3,求。的值.

Q八.刷压轴

一、解答题

1.(2022・上海闵行•统考二模)某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，./8C是边长为6的等

边三角形，边BC的中点M处为固定光源，E、F分别为边A8、AC上的移动光源，且ME始终垂直于M尸，三处

光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.

⑴当尸为边AC的中点时，求线段石£的长度;

(2)求AEFM的面积的最小值.

2.(2022・上海•统考模拟预测)设A是由2x〃(〃eN*)个实数组成的2行〃列的矩阵，满足：每个数的绝对值不大

于1,且所有数的和为零.记S5)为所有这样的矩阵构成的集合.记彳04)为A的第一行各数之和，4(A)为A的第

二行各数之和，q(㈤为A的第，列各数之和(W”).记封4)为卜(A)|、归(闽、匕(闱、"(A)|、…、仁(闵中的

最小值.

-0.9、

(1)若矩阵人=求MA)；

10.2-0.3一1」

(2)对所有的矩阵Ae5(3),求k(A)的最大值;

(3)给定/cN"对所有的矩阵4eS⑵+1),求&(A)的最大值.

3.(2022•上海•统考模拟预测)已知函数/⑶，甲变化:/(x)-/(x-O；乙变化："*+，)-/(切，，>0.

(1)若1=1,/(A)=2\八刈经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若fix)=x2,八幻经乙变化得到〃(x),求不等式h(x)<f(x)的解集；

⑶若〃幻在(3,。)上单调递增，将/(x)先进行甲变化得到〃"),再将“(X)进行乙变化得到乙(%)：将/(刈先进行乙

变化得到v(x),再将欢乃进行甲变化得到期(x),若对任意£>0,总存在%(幻=似X)成立,求证：到X)在R上单调

递增.

4.(2022•上海•统考模拟预测)在椭圆厂:=■+/=1中，直线/:x=a上有两点C、0(。点在第一象限)，左顶点为

a'

A，下顶点为从右焦点为E

⑴若西/B=g,求椭圆「的标准方程；

6

⑵若点C的纵坐标为2,点。的纵坐标为1,则BC与4。的交点是否在椭圆上？请说明理由；

⑶已知直线8c与椭圆「相交于点P,直线A。与椭圆「相交于点。若P与Q关于原点对称，求的最小值.

考点02不等式（7种题型11个易错考点）

【课程安排细目表】

二、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五、刷好题

六.刷压轴

但一、真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共4小题）

1.（2022•上海）若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+dC.ac>bdD.ad>bc

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于A,令a=2,b=l,c=-I,d=-2,满足力但a+"=/）+c,故4错误,

对于4,**a>b>c>d,即c>d,

由不等式的可加性可得，a+c>b+d,故B正确，

对于C,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b>c>d,（Eac=bd,故C错误，

对于。，令a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足但adVbe,故。错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.

2.（2020•上海）下列不等式恒成立的是（）

A./+必忘2"B.a*12+3b2^-labC.a+h^2^JIabID.a2+b2^-2ab

【分析】利用（a+b）2?。恒成立，可直接得到『+庐》・2曲成立，通过举反例可排除ACO.

【解答】解：4.显然当。<0,>>0时，不等式。2+启W2岫不成立，故A错误；

B.（a+力）220,・・・。2+廿+2岫20,-2ab,故3正确；

C.显然当。<0,/?<（）时，不等式Iab|不成立,故C错误；

D.显然当〃>（）,匕>0时，不等式-2"不成立，故。错误.

故选：B.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题.

3.（2022•上海）若实数〃、匕满足下列不等式中恒成立的是（）

A.；?+/?>2VabB.f/+/?<2VabC.^-+2/?>2VabD.且+2万<2^^

22

【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解.

【解答】解：因为所以4+822/京，当且仅当时取等号,

又4b>0,所以故4正确，B错误,

■^■+2b>2,当且仅当包=2b，即〃=4。时取等号，故CO错误,

2

故选：A.

【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

4.（2021•上海）已知两两不相等的川，）1X2,X3，”，同时满足①XlVyi，X2<”，X3V”；②Xl+yi=X2+），2=

X3+”;@xiy1+X3y3=2x2y2»以下哪个选项恒成立（）

A.2XI<X]+X3B.2J2>X|+X3C.X22<X\X3D.X22>X\X3

=2,2—r)u2

xi=m-ax2m-bx3=in-ca+c一/b.

【分析】设,，・,根据题意，则有._，可得xi+x3-2.V2=2〃■(a+c),

yj=m+ay2=m+by3=m+cm'>b'

通过求解（2b）2-（a+c）2>0,可得X1+X3-2x2=2/?-（a+c）>0,可得人正确，8错误；利用作差法可得L

/_\2

-'=3-a-c）〃L,而上面已证｛2b-a-c）>0,因无法知道，〃的正负，可得该式子的正负无

法恒定，即无法判断CD,即可得解.

【解答】解：设Xl+yi=X2+)2=X3+”=2〃7,

xj=m-aX2=m-bX3=m-c

y2^m+by3^m+c

'a#b卉c

根据题意，应该有4

a,b,c>0

且n?-a2+nr-c2=2(.nr-b2)>0,

2上2_,2

a+c-2ob

则有《

2\,2

m

则XI+JG・2攻=(m-a)+(m-c)-2(m・b)=2b-(a+c),

因为(2b)2-(a+c)2=2(A2+C2)-(a+c)2>0,

所以xi+x3・2x2=2b~(o+c)>0.

所以A项正确，4错误.

,(_)2

xixi-xr=(〃？-〃)(m-c)-(in-h)2=(2b-a-c)m+ac-/?2=(2b-a-c)m-aC'-,而上面已证

2

⑵・4・C)>0,

因为不知道加的正负，

所以该式子的正负无法恒定.

故选：A.

【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题.

二.填空题（共5小题）

5.（2022•上海）不等式2二工<0的解集为（0,1）.

x

【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.

【解答】解：由题意得x（X-1）<0,

解得0Vx<1,

故不等式的解集（0，1）.

故答案为：（0,1）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

6.（2021•上海）不等式空地-VI的解集为（・7,2）.

x-2

【分析】由已知进行转化三<0,进行可求.

x-2

【解答]解:当”<]=红包_]<（）=211<（）,

x-2x-2x-2

解得，-7<x<2.

故答案为：（・7,2）.

【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题.

7.（2023•上海）已知正实数〃、〃满足“+4A=1,则必的最大值为

16

【分析】直接利用基本不等式求出结果.

【解答】解：正实数〃、人满足〃+初=1,则岫=Lxa・4b《2X（三&产』，当且仅当b*时

4个4、2,1628

等号成立.

故答案为：士.

16

【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题.

8.（2021•上海）已知函数=3'+——（。>0）的最小值为5,则。=9.

3X+1

【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成/（x）=311+

-1,然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.

3X+1

【解答】解：f（x）=3'+」一=3a1+一--12/-1=5,

3X+13X+1

所以。=9,经检验，3》=2时等号成立.

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题.

9.（2020•上海）不等式工>3的解集为（0,工）.

x3

【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.

【解答】解：由工〉3得上丝〉0,

xx

贝IjX（1-3x）>0,即X（3x-1）<0,解得0<x<—,

3

所以不等式的解集是（0,1）,

故答案为：（0,!）.

O

【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题.

三.解答题（共1小题）

1（）.（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如

图是一处要架空线入地的矩形地块43cAB=30m,AD=\5m.为保护。处的一棵占树，有关部门划定了以。

为限心、DA为半径的四分之•圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为A8边上的点£,HI线口为。。边上

的点F，施工要求E尸与封闭区边界相切，E尸右侧的四边形地块BC尸E将作为绿地保护生态区,（计算长度精确

到0.1m,计算面积精确到O.OEP）

（1•若N4DE=20°,求EF的长；

（2）当入线口E在A8上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？

【分析】（1）作。"_LER然后结合锐角三角函数定义表示出E扛

（2〕设结合锐角三角函数定义可表示AE,FH,然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再

由基木不等式可求.

【解答】解：（I）作。"_1_七/，垂足为从

则石尸=石〃+=15tan200+15tan500223.3m；

(2)设NAQE=0,则AE=15tan9,FH=15tan(90°-29),

S四边形AOFE=2Si\ADE+S^DFH=2XAx15X15lan6+—X15X15tan(90°一28)，

22

C5X噱陪）=等Wane，）2驾1

—(3Otan0+15cot2e)=—

22

当且仅当3tan0=—1—,即tan9二巨时取等号，此时4E=l5lanO=5V3,最大面积为450-225y,

tan832

255/4〃广.

H

AEB

【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于

中档题.

但二、考点清单

一、等式与不等式的性质

1.两个实数比较大小的方法

a-b>O<=>a>b,

⑴作差法<a-b=O^a=b.

a-b<O<^>a<b.

p>l(aWR,b>0)<=>a>b(a£R,b>0),

(2)作商法<£=l=a三bCo,bWO)，

a

g<l(Q£R,b>0)<=>a<b(a£R,b>0).

2.等式的性质

⑴对称性：若。=4Mb=a.

(2)传递性：若a=b,b=c,贝ija=c.

(3)可加性：若a=b,则a+c=b+c.

⑷可乘性：若a=b,则ac=bc；若a=b,c=d,则ac=bd.

3.不等式的性质

称性：a>b^b<a；

(2)传递性：o>b,b>c=>a>c；

(3)可加性：o>b<=>a+c>_b-^cxa>b-c>d=a+c入b+d：

(4)可乘性：a>bfc>Q=>ac>_bc^a>b,c<O=>ac<bc；a>b>0,c>d>O=>ac>_bdx

(5)可乘方：a>b>O=^an>bn(n^N,n^l)；

(6)可开方：a>b>O=»Va>Vb(nEN.〃22).

二、均值不等式及其应用

1.均值不等式：晒W皇

⑴均值不等式成立的条件：。20,beo.

⑵等号成立的条件：当且仅当归之时取等号.

⑶其中号称为正数。，b的算术平均数，咽称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(l)a2+b2>2ab(a,b@R),当且仅当Q=b时取等号.

(2)abW(V)(a,b£R),当且仅当。=b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x»0,y20,则

⑴如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2g(简记：积定和最小).

s2

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当正匕时，xy有最大值是7筒记：和定积最大).

三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式4=〃-4acA>0A=0A<0

二次函数

IL义

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

一元二次方程

有两相异实根Xl»有两相等实根XT=X2

2没有实数根

ax4-bx+c=0b

X2(X1〈X2)-

-2a

(。>0)的根

2

ax+bx+c>0{x[x>X2

R

或xVxi}

(。>0)的解集

ax2+bx+c<0

{xIxiVxVx?}00

(。>0)的解集

3.(x-a\(x—b)>0或(x—a)(x—b)<0型不等式的解集

不等式解集

a<bo=ba>b

(x—a)-(x—b)>0{x|x<a&戈x>b}(xlxWa}(x|x<b3戈

(x—o)-(x—b)<0{x|a<x<b}0{x|b<x<。}

4.分式不等式与整式不等式

⑴前剂<0）.

（2）爆20（W0）of（幻Q（X）N0（W0）且Q（K）W。

融方法

一.等式与不等式的性质（共2小题）

1.（2022•宝山区校级模拟）已知4Vb,。20,则下列不等式中恒成立的是（）

A.ac<hcB.a2c^b2cC.a2+c<b2+cD.adWbc1

【分析】利用不等式的性质和特殊值法，判断A、4、C、。即可.

【解答】解:对于A：•:aVb,c20,这姐则选项A不正确；

对于B和C：当a=-1,时，即?》?，

2

:序c和a2+c>b2+c成立，则选项B、C不正确；

对于。：Vc>0».*.c2^0,则选项。正确；

故选：。.

【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

2.（2022•杨浦区模拟）设.CWR,则“巾+式2>6且加X2>9”是“川>3且也>3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解.

【解答】解：令Xl=l,X2=9,满足Xl+X2>6且X1X2>9,但X1V3,故充分性不成立，

当Xl>3且X2>3时，根据不等式的性质可得，Xl+X2>6jlxi.¥2>9,故必要性成'、£,

故“Xl+r>6且XU2>9”是“箱>3且X2>3”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题.

二.不等关系与不等式（共3小题）

3.（2023•黄浦区模拟）已知在R,下列不等式中正确的是（）

AA.—1\1Bn.---1--->、---1---

23'x--x+lx、x+l

【分析】举反例可排除4、8、C,再利用不等式的性质可证明。正确即可.

【解答】解：取x=0可得二一=1=」一,故A错误；

2X3X

取x=0可得——=1=—一，故B错误；

x'-x+lX+x+l

取X=1可得_^=_1=二_,故C错误；

21x12x2+1

选项。，•・・/+2>/+i>（）,故。正确.

x'+lx'+2

故选：D.

【点评】本题考查不等式比较大小，举反例是解决问题的关键，属基础题.

4.（2023•金山区二模）若实数。、〃满足户>0,则下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2h

C.a>|/?|D.Iog2a2>log2/?2

【分析】举反例可判断ABC错误，利用对数函数的单调性可判断。正确.

【解答】解：对于八，取a=-2,b=1,满足〃2>户>（）,但是不成立，故人错误：

对于从取。=-2,b=\,满足户>0,但是2a=1<212,即2，>2%不成立，故8错误；

4

对于C,取。=-2,b=l,满足/>户>0,但是〃>|加不成立，故c错误；

22

对于。，Va>b>0f且y=logu在（0,+°°）上单调递增，

•Tog2a2>log2b1故。正确•

故逃：D.