2024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第25讲 辅助圆

2024年九年级初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第二十五讲辅助圆

在处理平面几何中的许多问题时，常需要借助于圆的性质，问题才得以解决.

而我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时虽然题设涉及圆，但是此圆并

不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出

来，添补辅助圆的常见方法有：

I.利用圆的定义添补箱助圆；

2.作三角形的外接圆：

3.运用四点共圆的判定方法：

(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆.

(2)同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆.

⑶若四边形ABCD的对角线相交于P,且PA-PC=PB-PD,则它的四个顶点共圆.

(4)若四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线相交于P,且PA-PB=PC・PD,则它

的四个顶点共圆.

【例题求解】

【例1】如图，直线AB和AC与。O分别相切于B、C,P为圆上一点，P至ijAB、AC的距

离分别为4cm、6cm,那么P到BC的距离为.

思路点拨连DP,EF,寻找PD、PE、PF之间的美系，证明而发现p、D、

B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键.

注：圆具有丰富的性质：

(1)圆的对称性；

(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；

(3)与圆相关的角：

(4)圆中比例线段.

适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，

有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”.

【例2】如图，若PA=PB,ZAPB=2ZACB,AC与PB交于点P,且PB=4,PD=3,则

AD-DC等于()

A.6B.7C.12D.16

思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件.

B

注：到一•个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法.

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC,任意延长CA到P,再延长AB至IJQ,使AP=BQ,

求证：Z\ABC的外心。与A,P,Q四点共圆.

思路点拨先作出aABC的外心0,连PO、OQ,将问题转化为证明角相等.

【例4】如图，P是。0外一点，PA切。0于A,PBC是。0的割线，AD_LPO于D.求

...PBPC

证：——=——.

PDCD

思路点拨因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定4PBD与4PCD相似证

明.PA2=PD•P0=PB•PC,B、C、0、D共圆，这样连OB,就得多对•相似三角形，以此

达到证明的目的.

注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和

相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中

或转移，而且可直接运.用圆的性质为解题服务.

【例5】如图，在AABC中，高BE、CF相交于H,且/BHC=135°,G为AABC内的一

点，且GB=GC,ZBGC=3ZA,连结HG,求证：HG平分/BHF.

思路点拨经计算可得NA=45°,AABE,ABFH皆为等腰直角三角形，只需证NGHB=

ZGHF=22.5°.

由/BGC=3NA=I35°=ZGHC,得B、G、H、C四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点

证明.，

H

BC

注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解.

学力训练

1.如图，正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2,P为正方形内一点，且NOPB=45°,

PA：PB=5：14,则PB的长为.

2.如图，在4ABC中，AB=AC=2,BC边上有100个不同的点Pi、P?,…Pioo，记

叫=APj2+BP,"PjC（i=l,2,100）,则町+〃?2+---+/W|oo=.

3.设aABC三边上的高分别为AD、BE、CF,且其垂心H不与任一顶点重合，则由点A、

B、C、D、E、F、H中某四点可以确定的圆共有（）

1平I项，

4.如图，已知OA=OB=OC,且NAOB二ZNBOC,则/ACB是NBAC^qJ（）

A.L倍B.是攵倍C.2kD.-

2k

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=998,CD=IOO1,AD=I999,点P在线段

AD±,满足条件的NBPO90。的点P的个数为（）

A.0B.IC.21D.不小于3的整数

（第5题）

（第4&）（第6V）

6.如图，AD、BE是锐角三角形的两条高，SAABC=18,S&DEC=2,则COSC等于（）

123

A.3B.-C.-D.-

334

7.如图；已知H是AABC三条高的交点，连结DF,DE,EF,求证：H是4DEF的内心.

8.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TDJ_AB,TE1AC.

求证：（1）/AHD=NAHE；（2）—=—

BDCE

参考答会

@MM■

【例融求解】

例1276连DF.P£hPC,EF・/DPF+N8=NFPE+/C=180•，得NDPF=/FPE,又NPDF-/P8F=NPCE=

ZEFP,：.ADPFsdFPE,得P尸■PD•PE.

例2选B

例3如图，连结OA,OC,OP.OQ,在△OCP与△OAQ中，OC=OA,由巳知,CA=AB,AP-BQ.

ACP-AQ,又。是△ABC的外心..••NOCP-NOAC,

•・•等展三角形的外心必在攻角的平分线上，・•・NQAC-/OAQ•从而/OCP=NQAQ,得

△OCPA^QAQ.于是NCPO-NAQO故O,A.P,Q四点共圆.

例47PA^PD*PO=PB•PC,•・•B,C・O,D四点共圆，

・•・△PCMAPOB，得奇一照=淡①

又"86"血猾黑一黑②由①、②得器=奇.

例5V/A-180・一NBHC-135・，ZBGC-3ZA«135\ZABH=45*

B,G,C.H四点共国，得NBCG-NGHB=出〈型=22.5、

又NBHF-45•.得故HG平分/BHF.

4

［学力Ml练】

1.42连结OA・OB.A,8.O,P四点共BB，得/APBuNAO8=90・2.400

3.D.显见分别应有下列四点共BI：AFHE・BFHD,CDHE,AFDC,BFEC.CDFA

4.65.C将向M转化为直拨AB与以CD为直径的位置关系6.B

7.分别由BDHF、CDHE四点共圆，想/FBHn/FDH-/FCH=NFDH.DH为NFDE平分疑

8.(1)D,E.H在以AT为直径的圆上.得NAHD-NATD.NAHE=/ATE,又/ATDu/ATE,故NAHD=/AHE,

(2)R，AAH8与R，4TDB有公共角/B,得△AHBsATDB,；.|gN得，同理，△AHCsATEC.得累■梨.由于

TD-TE,所以.黑=黑.

DU

9・连结BD.CE,由BC=CD=DE,/BCD=/CDE=180・_2a,/CBD=NCDB=/DCE=/DEC=a,得△BC*Z^CDE.

•*•N"E』（】80・一2a）-L180・-3a.而NBAEN3a,；・A.B.C.E共圆.同理可证A、B、D、£共圜.故A.B.C.D.E

共留

10・连结OA,则OA_LPA.AM-MB.ABJ_OP..'OM・MP=AM1.又MC・MD=MA・MB=AW....MD•MC»

MO・MP・.•.点O、D、P、C四点共圜,又OC・OD,:.ZCPO~ZDPO.

1L过。点作°E_LAB于E,则PE=---B.由切割线定理得iPS'-PA•PB,连05.02,设0尸交57于。，则0「_1_$丁.

由相似形可ifiPS».PD・PO.又P,-PA•PB,而/CDO-NCEO=90\.*.C、E、O、D四点在以OC为直径的圆

上,/.PC•PE=PD•PO,即PA•PB-PC*PE=必用BPC,化简得盍=1•(含+&.

第二十六讲开放性问题评说

一个数学问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结

论，如果题目所含的四个要素是解题者已经知道，或者结论虽未指明，但它是完全确定的，

这样的问题就是封闭性的数学问题.

开放性问题是相对于封闭性问题而言，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：

1.条件开放题

称条件不充分或没有确定已知条件的开放性问题为条件开放题，解题时需执果寻因，根

据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件.

2.结论开放题

称结论不确定或没有确定结论的开放性问题为结论开放题，解题时需由因导果，由已知

条件导出相应结论.

3.判断性开放题

称判定几何图形的形状大小、图形的位置关系、方程(组)的解的情况或判定具有某种性

质的数学对象是否存在的开放题问题称为判断性开放题，解题的基本思路是：由已知条件及

知识作出判断，然后加以证明.

【例题求解】

［例I］如图，。。与G)Oi外切于点T,PT为其内公切线，AB为其外公切线，且A、B

为切点，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论,

并加以证明.

思路点拨为了能写出更多的正确结论，我们可以从以下几分角度作探索，线段关系，角的

关系、三角形的关系及由此推出的相应结论.

注：明确要求将数学开放性题作为中考试题，还是近一二年的事情.开放性问题没有明确的

目标和解题方向，留有极大的探索空间.

解开放性问题，不具有定向的解题思路，解题时总要有合情合理、实事求是的分析，要把

归纳与演绎协调配合起来，把直觉发现与逻辑推理相互结合起来，把一般能力和数学能力

同时发挥出来.杭州市对本例评分标准是以正确结论的容易程度为标准灵活打分，分值直接

反映考生的能力及创新性.

【例2】如图，四边形ABCD是。0的内接四边形，A是品)的中点，过A点的切线与CB

的延长线交于点E.

(1)求证：AB-DA=CO-BE；

(2)若点E在CB延长线上运动，点A在0D上运动，使切线EA变为割线EFA,其他

条件不变，问具备什么条件使原结论成立？(要求画出示意图，注明条件，不要求证明)

思路点拨时于(2),能画出图形尽可能画出图形，要使结论AB・DA=CD・BE成立，即要

证△ABEs^CDA,已有条件NABE=NCDA,还需增加等角条件，这可由多种途径得到.

注：许多开放性问题解题思路也是开放的(多角度、多维度思考)，探索的条件或结论并不惟

一.故解开放性问题，应尽可能深入探究，发散思维，提高思维的品质，切忌入宝山而空返.

【例3】(1)如图1,若。Oi与。Ch外切于A,BC是。与。Ch外公切线，B、C为切点，

求证：AB1AC.

(2)如图2,若。Ch与。Ch外离，BC是。01与。Ch的外公切线，B、C为切点，连心线

01。2分别交。。1、于M、N,BM、CN的延长线交于P,则BP与CP是否垂直?证明

你的结论.

(3)如图3,若。与。相交，BC是。Ch与。Ch的公切线，B、C为切点，连心线

01。2分别交。0|、002于M、N,Q是线段MN上一点，连结BQ、CQ,则BQ与CQ是

否垂直?证明你的结论.

思路点拨本例是在基本条件不变的情况下，通过运动改变两圆的位置而设计的，在运动变

化中，结论可能改变或不变，关键是把(1)的证法类比运用到(2)、(3)问题中.

注：开放性问题还有以下呈现方式：

(1)先提出特殊情况进行研究，再要求归纳猜测和确定一般结论；

(2)先对某一给定条件和结论的问题进行研究，再探讨改变条件时其结论应发生的变化，

或改变结论时其条件相应发生的变化.

【例4】已知直线)，=履-4(%>0)与x轴、y轴分别交于A、C两点，开口向上的抛物线

y=+//X+C过A、C两点，且与x轴交于另一点B.

(1)如果A、B两点到原点0的距离AO、B0满足AO=3BO,点B到直线AC的距离

等于竽，求这条直线和抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的抛物线，使得tan/ACB=2,月4ABC外接圆截得)，轴所得的弦长等

于5?若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

思路点拨(1)通过“点B到直线AC的距离等于分”，利用等积变换求出A、B两点的距

离；(2)先假设存在这样的抛物线，再由条件推理计算求得，最后加以验证即可.

注：解存在性开放问题的基本方法是假设求解法，即假设存在一演绎推理一得出结论(合理

或矛盾）.

【例5］如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把它与正三角形的接近程

度称为“正度”.在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等.

设等腰二角形的底和援分别为〃、b,底角和顶角分别为“、/?.要求“正度”的值是

非负数.

同学甲认为：可用式子心-4来表示“正度”，的值越小，表示等腰三角形越接近

正三角形；

同学乙认为：可用式子,-刈来表示“正度”，h-刈的值越小，表示等腰三角形越接

近正三角形.

探究：（1）他们的方案哪个较为合理，为什么？

（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；

（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式.

思路点拨通过阅读，正确理解“正度”这个新概念，同时也要抓住“在研究‘正度'时，

应保证相似三角形的‘正度'相等”这句话的实质，可先采取举实例加深对“正度”的理解•,

再判断方案的合理性并改进方法.

注：（1）解结论开放题往往要充分利用条件进行大胆而合理的猜想，通过观察、比较、联想、

猜测、推理和截判断等探索活动，发现规律，得出结论.

（2）阅读是学习的重要途径，在这种阅读型研究性问题中，涌现了许多介绍新的知识

和新的研究方法的问题，能极大地开阔我们的视野.

（3）研究性学习是课程改革的一个亮点，研究性学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在

《作为探究的科学教学》的演讲时提出的.他主张引导学生直接用科学研究的方式进行教学,

即设定情境、提出问题、分析问题、设计实验、验证假设、分析结果、得出结论.研究性问

题是近年中考中出现的一种新题型，它要求我们适应新情况，通过实践，增强探究和仇新意

识，学习科学研究方法.

学力训练

1.如图，/是四边形ABCD的对称轴，如果AD〃BC,有下列结论：

①AB〃CD,②AB=BC；③AB_LBC；®AO=OC.

其中正确的是.

(把你认为正确的结论的序号都填上)

2.如图，是一个边长为。的小正方形与两个长、宽分别为。、〃的小矩形ABCD,则整个

图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写巴其中任意三个等式：①_________；

②:③.

3.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线％=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与)，轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部恃点的一个二次函数解析式；.

4.如图，已知AB为。O的直径，直线/与。O相切于点D,ACJ■/于C,AC交。O于点

E,DF_LAB于F.

(I)图中哪条线段与BF相等?试证明你的结论；

⑵若AE=3,CD=2,求。0的直径.

5.在一个服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料(如图).现找出其中的一种，

测得NC=90°,AC=BC=4,今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使

扇形的边缘半径恰好都在AABC的边上，且扇形的弧与AABC的其他边相切，请设计出所

有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出图形，并直接写出扇形半径).

6.如图，抛物线产⑪？+次;+c与x轴交于点A(X],0),B(X2,0)(xi<O<x2),与y轴交于点

C(0,-2),若0B=40A,且以AB为直径的圆过C点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点D在此抛物线上，且AD〃CB.

①求D点的坐标；

②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得AAPD的面积与四边形ACBD的面积相

等?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

7.给定四个命题；①sinl5°与sin750的平方和为1；②函数y=/8m6的最小值为-10；

③ad-L=《一『；④目0=，则x=］0"，其中错误的命题的个数是

V5-x75^7

8.①在实数范围内，一元二次方程ad+/+c=0的根为x=一'土一4，，“；②在^ABC

2a

中，若AC2+BC2>AB2,则aABC是锐角三角形；③在AABC和△ABICI中，a、b、c分

别为AARC的二边.〃［、〃］、q分别为△AR1C的二边，若〃>〃「h>bt,,则八

ABC的面积大S于△ABCi的面枳Si.以上三个命题中，真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

9.已知：AB是。O的直径，AP、AQ是。0的两条弦，如图I,经过B做。O的切线/,

分别交直线AP、AQ于点M、N.可以得出结论AP・AM=AQ-AN成立.

(1)若将直线/向上平行移动，使直线/与。O相交，如图2所示，其他条件不变，上述

结论是否成立?若成立，写出证明，若不成立，说明理由；

(2)若将直线/继续向上平行移动，使直线/与。0相离，其他条件不变，请在图3上画

出符合条件的图形，上述结论成立吗?若成立，写出证明；若不成立，说明理由.

10.如图，已知圆心A(0,3),A与入•轴相切，0B的圆心在x轴的正半轴上，且。B与。

A外切于点P,两圆的公切线MP交)，轴于点M,交x轴于点N.

(1)若sin/OAB=3,求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；

5

(2)若A的位置大小不变，(DB的圆心在*轴的正半轴上移动，并使(DB与(DA始终外切，过

M作。B的切线MC,切点为C在此变化过程中探究：

①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；

②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若

不存在，说明理由.(山西省中考题)

(第11题)

11.有一张矩形纸片ABCD,E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩

形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a,AD=b,BE=x.

⑴求证：AF=EC；

(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接

在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作

EE'B'C.

①当为何值时，直线EE经过原矩形的一个顶点？

②在直线E，E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE,直线BE与EF是否平行?你若

认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当。与。有何种数量关系时，它们就垂直?

12.⑴证明：若x取任意整数时，二次函数wM+法+c总取整数值，那么，2a、G-b.

c都是整数.

(2)写出上述命题的逆命题，且证明你的结论.

13.已知四边形ABCD的面积为32,AB.CD.AC的长都是整数，且它们的和为16.

(1)这样的四边形有几个？

⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值.

参考签豪

国开放性问・评说

【例0求解】

例】现按写出的结论的摩易程度,饴出的评分标准如下，

⑴写出以下结论，并给予证明的给6分।①PA=PT：②/PAT-NPTA,③ZOAP=ZOTP=90*.

《2》写出以下结论并给予证期的给8分1①PA=PB-PTi0NAT8=60,③/AOT+NAPT-180,④OA//O,B.

(3)写出以下结论.井玲予证明的给10分,△OATsaPTB.

(4)写出以下结论.并妗予证明的给12分，PA・PB-OT・。1r

例2(1)由△ABEsaCDA得,焦・翳.即AB・DA-CD・BE.

(2)只要/BAE=/ACD,即只需尬=6(或,或AF〃BD.或/BCF-/ACD,或/BAF=/ABD等)即可.

例3⑴连QB・OC/ABC+/ACB=+(/BOO+NCQtQ)=+x1虾・90•,即A8_LAC

(2)BP与CP是垂直的,仿(D的证法证明,

(3)BP与CP是不垂直的,连aB.QC.CN.BM./CNM+NBMN-go'NBQa+NCQaANBMN+NCNM-

90•，故/BQC-180・一《NBQO|+/Cg)V9(r.

例4(l)A(y,0).C(0,-4)设A(q.O)・8(4・0).《为>0>不>•力=一3所,设点8到直线AC的

跄离为A,则AC=ZrJ+16,SAyAB•OC:.ZrJ+16・学・5-

QX4,解彳54・3・・・.*=右,可得直线、效物线的解析式分别为k亲r-4.L^y-*|L皆节j)

(2)假设存在这样的地物畿.其解析式为,-0>+“-4,并设4八8。的外按圜01)心为6.违AG.0G.作GE_LJT轴于E・

GF_Ly轴于F,则C(O,-4>.D(O,1).

CF=DF-,GE=tanNAGE=震=tan/ACS-2,19AE-2GE-3.Z.AB=2AE=6•

OA•OB=OC•OD.即一工1q=■4,J.a==1,又AB=6,

•••(4-H2)'=(HI+M2)’—4口工2・6'+16=36・解得6-±275.

故存在这样的抛物线,其解析式为y-r«±2S■工-4.，

倒§(1)同学乙的方案较为合理.因为IQ-即的值越小.a与夕越接近60••因而该等及三角形越接近于正三角形•且能保证相

似三角形的••正度”相等.同学甲的方案不合理,不能保证相似三角形的••正度”相等.如：边长为4,4.2和边长为8.8.4

的两个等腰三角形相似.但|2-4|-2W|4-8|=<h

(2)对同学甲的方案可改为用小泮、久洛等“为正数》来表示“正度，

⑶还可用la-60'l、!尸60・|、|。十声720’1、"(<»—60・〉,-2《所60・尸］等来表示“正度”.

【学力训练】

1.①②④

2.a:+2a6=a(a+2A)；a(a-6)+aZ>=a<«+26),a(.a-^2b)—a(a+b)—ab等

2,

3.1y—•|*工+3.或1y=一4工―专*-3或y=yx~yx+l或>=—y-x+-y-x-1

4.(DFB=CE,i£明略；(2)00的克径为55.可以设计如下四种方案，

n=272=42rd*■>472—4

6.⑴尸右，一六一2:⑵①D点坐标为(5.3)：②存在符合要求的P点的坐标,此时P点坐标为(二^空二

—6—76—16—«、

歧（-5—,R---）

7.28.A

.ABAM

9.（1）连结BP.在平移中A8_LMN，NA8'8二/AEDN90°,又NB'AETNBAD=90°3.AAMB'CO^ABP.••丽=可

即AP•AM=AB•AB'.同理，人Q・AN=A8-A3'.故AP•AM=AQ*AN成立M2）（I）的结论仍成立.证明略.

10.⑴M（0♦-2）.由△NPB</>Z\AOB,得器=^,.，.BN=3F=3oN-OB-BN="|..,.Nq.0）由此得MP的解析

式为y=WH一2.抛物线的解析式为+?工一2]

(2)①四边形OMCB是矩形.工在OA不动,③B运动变化过程中,恒有/BAO-/MAP,OA=AP.^AOB-/APM

=90•，二△AOB4AAPA1.O8=PM.A3=AM,PB=OM.而PB-BC,.・.OM=BC.

由切线长定理知MC=MP.：.MC=OB..•.四边形MO8C是平行四边形，又NMOB=90'八四边形MOBC为矩形.

②存在.由上证明知如△MON9/?，△8PN•BN=MN.因此在过M,N.8三点的擞物线内有以8N为腰的等熙三

角形MNB存在.由衲物线的对称性知，在附物线上必有一点”与M关于其对称轴对称.:这样得到满

足条件的三角形有两个tZXMNB和△MNB.

11.(1)由+AF)•a=/(5--AE)•a.得AF-6—x又

EC-6-x:.AF-EC

⑵①如图1,当直线EF他过晚矩形的U点D时：&=奈如图2•当直

线EfE经过原矩形的顶点小时*'6=y,

②如图】・当直线HE经过原范形1«点时,B『〃EF,如图2,当克线

£TE经过原矩形的校点A时，且当堂一考时，8F与七下垂直.

12.(1)若工取整数值时，二次函败？总取整数值，则当工=0时.

为整数，故c为整数值；当工・一1时，1y-1=a—b+c为整数，于是a-6=y-i-v为整数♦当X——2时=4a

-26+f为整数.于是2a~y.J-2y-i+”为整数,于是2a.a-b,c都是整数.

(2)所求逆命题为：若2a,a-6.c梆是整数,那么工取任意整数时，二次函数y=a/+b_r+c总取整数值,这是一个臭命题.

证明如下：若c.a-6,2a都是整数，由y-a/+必+<=3(工+1)一(a-6U+c,当工收整数时，](工+1>是偶数.故十

工(工+1)必是整数•由2a是整数得2a•1)是整数.又由ai.二是整数得一(“-6)工+，是整数，因此，当r取

任意筐效时，二次由数>-=3'+S+c总取整数值.

13.(1)如图,记AB=Q,CD=b,AC=/，并设AABC的边AB上的高为明，△人DC的边DC上的高为储.则

+Swu~|■⑴a+A,6)&?(a+6).仅当M=A；=/时等号成立,即在四边形ABC。中,当AC_LA8.ACJ_CD时等号

成立•由已知得64</(a+b)・又。+6=16-八得64^Z(16-/)=64-(/-8)*<64于是/-8,a+6=8,且这时AC±AB.

,Ia,tss

ACJ_CD因此这样的四边形有如下4个sa=1.6™7,/"8ia«2.6"6U8ia=3,6=5./=8ia=6=4J=8.

(2)又ABj.8-8-0,则B^=8l+al,AZ>I-8t4-(8-a)»故这样的四边形的边长的平方和为I2Q?+2(8-a»+128

・4Q-4/+192•当a~g4时，平方和最小，且为192.

第二十七讲动态几何问题透视

春去秋来，花开花落：物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互

转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来.

动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的

形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：

1.动中觅静

这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中

的不变性.

2.动静互化

“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，

使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系.

3.以动制动

以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观

点来研究变动元素的关系.

注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面

看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，

对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状

况等，这就是常说的“动态思维”.

【例题求解】

【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在/上转动两

次，使它转到A〃B"C"的位置，设BC=1,AC=V3,则顶点A运动到点A”的位置时，点A

经过的路线与直线/所围成的面积是.

思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtAABC的两次转动，顶点A所经过

的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°,半径分别为2和百，但该路线与直

线/所围成的面积不只是两个扇形面积之和.

【例2】如图，在。O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA，_LAB,BB，_LAB,且

AAr=AP,连结当点P从点A移到点BH、J,的中点的位置（）

A.在平2AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动

C.在AmB上移动D.保持固定不移动

思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律.

Bf

A

AP0

【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，ZAOC=60°,动点P从0出发，以每秒1座

米的速度沿。-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从0出发，在0A上以每秒1

厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路线运动，过P、Q两点分另！作对

角线AC的平行线.设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的

阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题：

(1)当x=3时，y的值是多少？

(2)就下列各种情形：

①丫W2：②2<tW4：③44rW6：④6WT求y与》■之间的函数关系式.

(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下)，与x的关系.

思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将

各段分别讨论、画图、计算.

注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现

实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种

重要的解题策略.

建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值

或自变量的值.

【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm,现有两点E、F,分

别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动，点F沿折线A

—D-C以2cm/秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒).

(1)当/为何值时，线段EF与BC平行？

⑵设1</<2,当/为何值时，EF与半圆相切？

(3)当1WY2时，设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时，点P的位置是否发生变

化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值.

思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策

略，对于(1)、(2),运用相关几何性质建立关于，的方程；对于(3),点P的位置是否发生变

B

化’只需看真是否为一定值・

注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规

律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重:要思想.

【例5】OOi与。02相交于A、B两点；如图(1),连结02Ch并延长交。Oi于P点，连结

PA、PB并分别延长交(DO?于C、D两点，连结CCh并延长交。于E点.已知。Ch的半

径为R，设NCAD二a.

(1)求：CD的长(用含R、a的式子表示)；

(2)试判断CD与POi的位置关系，并说明理由；

(3)设点F为。Oi上(002外)的动点，连结PA、PU并分别延长交OO?于C\DS请你

探究NCAD，是否等于a?CD，与P'Oi的位置关系如何?并说明理由.

思路点拨对于(1)、(2),作出圆中常见辅助线；对于(3),P点虽为0。上的一个动点，但。

OH一些量(如半径、0)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来.

学力训练

I.如图，△ABC中，ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,将AABC以点B为中心顺时

针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm(兀

=3.14159-,最后结果保留三个有效数字).

2.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=*cm,将AABC绕点B旋转至

△ABC'的位置，且使A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是—cm.

(第2题)

(第1题

3.一块等边三角形的木板，边长为1,现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束走

过的路径长度为()

A.——B.—C.4D.2+—

232

4.把AABC沿AB边平移到八ABC的位置，它们的重叠部分的面积是八ABC的面积的一

半，若AB=五，则此三角形移动的距离人八是()

A.4i-\B,等C.1D.-

2

5.如图，正三角形ABC的边长为66厘米，。。的半径为r厘米，当圆心0从点A出发,

沿着线路AB-BC-CA运动，回到点A时，。。随着点O的运动而移动.

(1)若r=VJ厘米，求。0首次与BC边相切时A0的长；

(2)在0移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，

r的取值范围及相应的切点个数；

(3)设O在整个移动过程中，在△ABC内部，。0未经过的部分的面积为S,在5>0时，

求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.

6.已知：如图，。。韵直径为10,弦AC=8,点B在圜周上运动(与A、C两点不重合)，

连结BC、BA,过点C作CD_LAB于D.设CB的长为x,CD的长为)，.

(1)求)，关于x的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求y的值；

(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与。O有几种位置关系，并求出不同位置时y

的取值范围；

(3)在点B运动的过程中，如果过B作BE_LAC于E,那么以BE为直径的圆与0O能内

切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长.

7.如图，已知A为/POQ的边0Q上一点，以A为顶点的NMAN的两边分别交射线OP

于M、N两点，且NMAN=NPOQ=a(。为锐角).当NMAN以点A为旋转中心，AM边从

与A0重合的位置开始，按逆时针方向旋转(NMAN保持不变)时，M、N两点在射线0P上

同时以不同的速度向右平移移动.设OM=.x,ON=(y>x20),△AOM的面积为S,若cosa、

OA是方程2z2-5z+2=0的两个根.

(1)当NMAN旋转30°i即NOAM=30°)时，求点N移动的距离：

(2)求证：AN2=ON・MN；

(3)求)，与x之间的函数关系式及自变量工的取值范围；

(4)试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围.

8.已知：如图，梯形ABCD中，AD/7BC,AD=CD=3cm,ZC=60°,BD±CD.

(1)求BC、AD的长度；

(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD

边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD

的面积S与运动时间/之间的函数关系式，并写出自变段/的取值范围(不包含点P在B、C

两点的情况)；

(3)在⑵的前提下，是否存在某一时刻/,使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为

1：5?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.

9.己知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系，分

别在两邻边长a、的矩形ABCD各边上运动.

设AE=x,四边形EFGH的面积为S.

(1)当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置,

使？

(2)当n=3时，如图④，求S与x之间的函数关系式(写出自变晟x的取值范围)，探索S

随x增大而变化的规律：清想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S=；S矩形八8°；

(3)当n=k*21)时，弥所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.

10.如图1,在直角坐标系中，点E从O点出发，以.1个单位/秒的速度沿X轴正方向运动，

点F从O点出发，以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，B(4,2),以BE为直径作。

Oi.

(1)若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于点G,试判断点G与。Ch的位置关

系，并证明你的结论；

(2)在(1)的条件下，连结FB,几秒时FB与。Ch相切？

(3)如图2,若E点提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，

设BA_Lx轴于A点，连结AF交。Oi于点P,试问PA-FA的值是否会发生变化?若不变，

请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围.

图图2

参考答余

㉗动志几何何愿透视

【例题求解】

8i25.73

例।诵"下

例2选D

例3(I)当工-3时.,=3X3-ln8,

(2)①当«工42时.尸30P.即y=3x.②当2&I&4时r=3OP-0Q=3r-(上-2)-21+2,③当4(时，

y-2(OA+AP)-OQ4-PB=2x-(j-2)+(8-x)=10i④当6《彳〈8时.从。。2口工-2)—4]=2『-12・y=3(48

-AQ)-PB=-3[4-(2x-12)]-(8-x)=-5z+40i(3)略.

例4(1>设E、F出发后运动了/秒时.EF〃8C.如图(a>.财8E=，,CF=4-2r,由。-4-2».得，即当，■。秒时，

4