福建省南平市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）

南平市2023-2024学年第一学期高一期末质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列Venn图能正确表示集合和关系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可.【详解】，又，所以，选项B符合，故选：B.2.函数的定义域为（）A B.C. D.【答案】C【解析】分析】由题意列出不等式组即可求解.【详解】由题意，解得或，所以函数的定义域为.故选：C.3.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由命题否定的定义即可得解.【详解】命题“”的否定为.故选：B.4.设，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性并借助“媒介”数即可得解.【详解】因函数在R上单调递减，，则有，又函数在R上单调递增，，则有，而函数在上单调递增，，则有，于是得，所以.故选：D5.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意结合奇偶性以及函数值的符号性逐项分析判断.【详解】由题意定义域为全体实数，它关于原点对称，且，所以是偶函数，当时，，此时，且，当时，，此时，对比选项可知，只有B选项符合题意.故选：B.6.不等式成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析不等式成立的一个充分不必要条件的性质，再解不等式即可得解.【详解】要成为不等式成立的一个充分不必要条件，则该条件所对应的集合为不等式的解集的真子集，解，得，故不等式的解集为，逐一分析各选项，可知只有D选项对应的集合满足题意，故D正确.故选：D.7.若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可.【详解】令得，因为函数在恰好有3个零点，所以函数在上恰有条对称轴，当时，，函数在上恰有条对称轴，如图：，则，解得.故选：C.8.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】设，由题意知，则函数的定义域为，又，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集为.故D正确.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各式中，值为1是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用三角公式逐一计算判断.【详解】对于A：，正确；对于B：，错误；对于C：，错误；对于D：，正确.故选：AD.10.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】举反例判断AC；利用基本不等式判断B；利用不等式的性质判断D.【详解】对于A：当时，，A不一定成立；对于B：，当且仅当，即时等号成立，B一定成立；对于C：当时，，C不一定成立；对于D：当时，，当时，，即，D一定成立.故选：BD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于点对称B.在上单调递减C.若，则D.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位长度【答案】BC【解析】【分析】对于A，直接代入检验即可；对于B，由余弦函数、复合函数单调性即可判断；对于C，由诱导公式即可判断；对于D，由平移变换法则验算即可.【详解】对于A，，故A错误；对于B，当时，，且在内单调递减，可知上单调递减，故B正确；对于C，若，则，故C正确；对于D，把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象对应函数表达式为，故D错误.故选：BC.12.若函数为奇函数，则（）A.B.函数的值域为C.，且，有D.，“”是“”的充分不必要条件【答案】ACD【解析】【分析】对A：根据奇函数定义运算求解；对B：可求解；对C：根据函数单调性的定义与性质分析运算；对D：根据函数单调性整理可得恒成立，再结合充分必要条件从而可求解.【详解】对A：由为奇函数且定义域为，所以，即，得，故A正确；对B：由，因为，所以，故B错误；对C：由，对于，且，则，因为，所以，即，又因为，所以，所以函数在其定义域上为增函数，所以且，有，故C正确；对D：充分性：当，因为，由为增函数，所以，故充分性满足；必要性：由为增函数，当恒成立，因为，所以，解得或，故必要性不满足；综上可知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：ACD.第II卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分．13.半径为2的圆中，的圆心角所对的弧的长度是______．【答案】【解析】【分析】直接根据弧长公式求解.【详解】由已知的圆心角所对的弧的长度是.故答案为：.14.已知幂函数．若是奇函数，则的值为______．【答案】3【解析】【分析】由幂函数的定义结合奇函数的定义即可求解.【详解】由题意，解得或，又是奇函数，当时，不满足题意；当时，满足题意.故答案为：3.15.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则______．【答案】【解析】【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解.【详解】直角三角形中较小的内角为，则直角三角形的两条直角边分别为，所以小正方形的边长为，所以，即，即，所以，所以.故答案为：.16.已知函数，用表示中的较小者，记为，则函数的最大值为______；若，则的取值范围为______．【答案】①.1②.【解析】【分析】先确定函数的单调性，再求的最大值；不等式等价于，利用的单调性和奇偶性，求出的范围，进而可得的范围.【详解】因为函数，用表示中的较小者，记为，所以，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值为，不等式，即，又明显为偶函数，在上单调递减，所以，解得，因为，恒成立，所以，即，所以的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）求的值．【答案】17.-2；18..【解析】【分析】（1）由三角函数定义代入即可求解；（2）由三角函数定义结合两角和的正切公式即可求解.【小问1详解】因为的终边过点，所以，，所以．【小问2详解】因为的终边过点，所以，所以.18.设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；（2）由题意得，恒成立，对分类讨论即可求解.【小问1详解】当，，不等式即为，解得或，所以的解集为或．【小问2详解】因为，所以不等式可化为，依题意对，恒成立．所以当时，，不符合要求；当时，由一元二次函数性质，可知，即，解得，因此实数的取值范围是．19.已知函数．（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；（2）解关于x的不等式．【答案】（1），奇函数（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；（2）将化为，再利用函数的单调性得到，解不等式结合函数的定义域可得答案.【小问1详解】由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，又,所以函数奇函数；【小问2详解】因为，所以不等式可化为，因为在是增函数，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集为．20.燕子每年都要进行秋去春来的南北大迁徙，已知某种燕子在飞行时的耗氧量与飞行速度（米/秒）之间满足关系：．（1）当该燕子的耗氧量为1280时，它的飞行速度是多少？（2）若该燕子飞行时的耗氧量增加到原来的3倍，则它的飞行速度大约增加多少？（参考数据：）【答案】（1）35（米/秒）（2）8（米/秒）【解析】【分析】（1）由题意可列出指数方程，结合指数运算，即可求得答案；（2）设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，可设燕子的耗氧量为时，飞行速度为，由题意列式，化简可得，两边取对数，结合对数运算，即可求得答案.【小问1详解】依题意，有，即，.又，所以，所以，解得，故该燕子的飞行速度是35（米/秒）．【小问2详解】设该燕子原来的耗氧量为，飞行速度为，则该燕子的耗氧量为，飞行速度记为，依题意，有，所以，则，则，所以它的飞行速度大约增加8（米/秒）.21.已知函数是偶函数．（1）求实数的值；（2）若函数的最大值为1，求实数的值；（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）4（3）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合对数的运算法则即可得解；（2）利用换元法与二次函数的性质即可得解；（3）利用参数分离法，结合指数函数的性质即可得解.【小问1详解】因为是偶函数，所以，即对任意恒成立，所以，则，故，由于的任意性，所以.【小问2详解】由（1）得，所以的最大值为1，令，则的最大值为1，①当，即时，时，，所以；②当，即时，时，，得（舍去）；综上，实数．【小问3详解】因为，，函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根，由，得，则，即，因为恒成立，所以，又在上单调递减，故，则，所以的取值范围是.22.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的周期公式，即可求