2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测专题05 幂函数与二次函数4题型分类-备2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题05幂函数与二次函数4题型分类1、幂函数的定义一般地，（为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数①的系数为1；

②的底数是自变量；

③指数为常数.（3）幂函数的图象和性质3、常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点4、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：；（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.5、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.（1）单调性与最值①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，（2）与轴相交的弦长当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.6、二次函数在闭区间上的最值闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则.（一）幂函数的定义及其图像1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．题型1：幂函数的定义及其图像1-1．（2024·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（

）A．0 B．2 C．4 D．51-2．（2024高三·河北·学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．91-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函数且的图象经过定点，若幂函数的图象也经过该点，则．1-4．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（

）A．p，q均为奇数，且B．q为偶数，p为奇数，且C．q为奇数，p为偶数，且D．q为奇数，p为偶数，且1-5．（2024高一上·陕西西安·期中）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（

）A． B． C． D．（二）幂函数性质的综合应用函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性在上单调递增在上单调递减，在上单调递增在上单调递增在上单调递增在和上单调递减公共点题型2：幂函数性质的综合应用2-1．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则.2-2．（2024高三上·宁夏固原·期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（

）A． B．或 C． D．2-3．（2024·海南·模拟预测）已知为幂函数，则（

）．A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减2-4．（2024·江苏）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是.2-5．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数（m为正整数）的图像关于y轴对称，且在上是严格减函数，求满足的实数a的取值范围．（三）二次方程的实根分布及条件一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.题型3：二次方程的实根分布及条件3-1．（2024高三·全国·阶段练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3-2．（2024高三·全国·专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（

）A． B．C． D．3-3．（2024高一·江苏·课后作业）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）.A． B．C． D．（四）二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在区间上的值域为.(1)求实数的值；(2)若不等式

当上恒成立，求实数k的取值范围.4-2．（2024·浙江）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函数在区间上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.4-4．（2024·浙江）已知函数，记是在区间上的最大值.（1）证明：当时，；（2）当，满足，求的最大值.4-5．（2024高一上·浙江·阶段练习）已知函数．(1)当时，解方程；(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．一、单选题1．（2024高一·全国·假期作业）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（

）A． B． C．或1 D．或42．（2024·山东）关于函数，以下表达错误的选项是（

）A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点3．（2024·浙江）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数，则函数的图象大致是（

）A． B．C． D．5．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2024·海南·模拟预测）已知函数，，的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．7．（2024高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A．B． C． D．8．（2024高三·河北·专题练习）设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（）A． B． C． D．9．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2024·全国·模拟预测）已知x，，满足，，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．211．（2024·贵州毕节·二模）已知，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．12．（2024高三·全国·专题练习）已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），则（

）A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝013．（2024·浙江）已知函数f(x)=x2+bx，则“b＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．（2024高三·全国·专题练习）如果函数在区间上单调递减，则的最大值为（

）A．16 B．18 C．25 D．15．（2024·陕西）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A．是的零点 B．1是的极值点C．3是的极值 D．点在曲线上16．（2024·四川乐山·一模）已知幂函数和，其中，则有下列说法：①和图象都过点；②和图象都过点；③在区间上，增长速度更快的是；④在区间上，增长速度更快的是.则其中正确命题的序号是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④17．（2024·河北衡水·模拟预测）已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则（

）A．8 B．4 C．2 D．118．（2024·北京东城·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（

）A． B． C． D．二、多选题19．（2024·江苏·模拟预测）若函数，且，则（

）A． B．C． D．20．（2024·吉林长春·模拟预测）已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（

）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则21．（2024高一上·重庆·阶段练习）已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}22．（2024高一上·湖南长沙·期中）设二次函数的值域为，下列各值（或式子）中一定大于的有（

）A． B．C． D．三、填空题23．（2024高一上·全国·期末）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为.24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是．25．（2024高三上·河北衡水·周测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是.26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，则实数的取值范围是27．（2024高三下·上海嘉定·阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为．28．（2024高三·全国·专题练习）不等式的解集为：．29．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是.30．（2024·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为．31．（2024·贵州毕节·模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数.①在上恒成立；②是偶函数；③.32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为.33．（2024·湖北）为实数，函数在区间上的最大值记为.当时，的值最小.四、解答题34．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知.(1)若，，解关于的不等式；(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.35．（2024高一下·贵州黔东南·开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.(1)求在区间上的解析式；(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.36．（2024高一上·河南平顶山·期末）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．37．（2024高一上·贵州毕节·期末）已知函数．(1)当时，解关于x的不等式；(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．38．（2024高一上·辽宁大连·期中）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．(1)求的表达式；(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．39．（2024高三上·全国·阶段练习）已知函数为偶函数.（1）求的值；（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.40．（2024高一上·湖南衡阳·期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．41．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．42．（2024高一上·广东·期中）已知函数，(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；(2)当时