浙江省八校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省八校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则集合可用列举法表示为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以.故选：D.2.学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，故没有同学参加三项比赛，即.故选：D.3.若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；对于B选项，因为，当时，由不等式的基本性质可得，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.4.若实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于ABC，令，显然满足，同时，，，故ABC错误；对于D，若，则，故D正确.故选：D.5.函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】D【解析】定义域是函数自变量的取值，为，函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即.故选：D.6.已知幂函数在区间上单调递增，则函数图像过定点（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得且，解得，，令得，此时，故的图像过定点.故选：A.7.若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】，解得或，由题意可知，或，得或，即或.故选：A.8.已知，，且，则的最小值为（）A.9 B.10 C.12 D.13【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列叙述正确的是（）A.B.命题“”的否定是“或”C.设，则“且”是“”的必要不充分条件D.命题“”的否定是真命题【答案】ABD【解析】对于A：当时，，所以为真命题，故A正确；对于B：命题“”的否定是“或”，故B正确；对于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分条件，故C错误；对于D：命题“”的否定为：，显然，所以命题为真命题，故D正确.故选：ABD.10.已知，均为正实数，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】对于A，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，，，则，当且仅当时，等号成立，故C错误；对于D，，，，即，所以，即，故D错误.故选：AB.11.给定数集，，方程①，则（）A.任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数B.任给，对应关系使方程①的解与对应，则为函数C.任给方程①的两组不同解，，其中，，则D.存在方程①两组不同解，，其中，，使得也是方程①的解【答案】AC【解析】对于A，由①可得，，对于任意的，都有唯一确定的值与之对应，故为函数，故A正确；对于B，由①可得，因，若取，则，此时不存在实数与之对应，若考虑虚数解，会出现两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B错误；对于C，依题意，，，两式相减，整理得，因且，则有，即得，展开整理，即得，故C正确；对于D，由题意，，，假设也是方程①的解，则有（*），因，则，代入（*）式，整理得：，即得，这与题意不符，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12若，，则________.【答案】【解析】，，则.13.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为______.【答案】16【解析】因为且过定点，则k=1，，若且，则，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为16.14.已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为____________________.【答案】【解析】设，则，，由，得，，即.设，则在上单调递增，又为定义域为的偶函数，所以，得，则为上的奇函数，所以在上也单调递增.由，得，由，得，当时，由，得，即，解得；当时，由，得，即，解得，所以的解集为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．（1）求顶点C的坐标；（2）求直线BC的方程．解：（1）设，∵AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为．∴，解得．∴．（2）设，则，解得．∴，∴．∴直线BC的方程为，即为．16.已知函数.（1）若不等式的解集为，求a，b的值；（2）若方程仅有一个实数解，求最小值.解：（1）因为不等式的解集为，所以方程的两根为，所以由根与系数的关系可得，解得或.（2）因为方程仅有一个实数解，所以，即，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.17.鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．（1）新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；（2）已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）参考数据：解：（1）依题意得，则，当时，，即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时.（2）由题意令，得，即，则，则，即，解得，故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.18.已知函数，记集合为的定义域．（1）求集合；（2）判断函数的奇偶性；（3）当时，求函数的值域．解：（1）由真数大于0可知，，.（2），可知定义域关于原点对称，，故为奇函数．（3）令，对称轴，在上，，又在上递减，故的值域是：．19.在中，角所对的边分别是，．（1）求角B的大小；（2）若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值；（3）若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为．解：（1）由可得，故，由于,故，所以，由于B∈0,π，故（2）由余弦定理可得，解得（负值舍去），因为即为向量与的夹角，设，，则，因为，，所以，，故，，所以，故．（3）先证明：设