高中数学文化鉴赏与学习专题6纳皮尔（以纳皮尔为背景的高中数学考题题组训练）（含解析）

专题6纳皮尔（以纳皮尔为背景的高中数学考题题组训练）一、单选题1．16、17世纪，随着社会各领域的科学知识迅速发展，庞大的数学计算需求对数学运算提出了更高要求，改进计算方法，提高计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，是简化大数运算的有效工具，恩格斯曾把纳皮尔的对数称为十七世纪的三大数学发明之一．已知，，设，则所在的区间为（是自然对数的底数）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据指数与对数运算法则直接计算.【详解】，所以．故选：A.2．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值．现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却约5分钟后，物体的温度是30℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度约是（

）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B【解析】【分析】由题意可知，再根据对数的运算性质计算可得；【详解】解：由题意可知，整理得，，所以，，解得．空气温度是．故选：B．3．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.【详解】,所以.故选：C4．1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数．若，，则的值约为（

）A．2.301 B．2.322 C．2.507 D．2.699【答案】B【解析】【分析】根据指对数互化公式得，再结合换底公式计算即可得答案.【详解】解：由指对数互化公式得故选：B5．17世纪初，约翰･纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.这一伟大发明被广泛运用至今，例如：我国自主研发的第一个火星探测器“天问一号”，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图.已知火星的质量约为，“天问一号”的质量约为，则（

）(参考数据：)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据对数的运算法则计算可得；【详解】解：因为，，所以故选：C6．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，；点P沿线段AB（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】易知，它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、三等分点时的，则点移动的距离可求，结合速度、时间可求．【详解】解：由题意，点初始速度即为点的速度．当在靠近点的三等分点时：，解得：，当在中点时：，解得：，所以经过的时间为：．故选：D．7．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若，则落在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据对数运算，对进行化简，从表格数据入手，得到，进而求出答案.【详解】，设，，由表格得知：，，，，所以，，所以，，则故选：B8．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃【答案】B【解析】【分析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B9．如图，假定两点以相同的初速度运动.点沿直线做匀速运动，；点沿线段（长度为单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（）.令与同时分别从出发，定义为的纳皮尔对数，用现代数学符号表示与的对应关系就是，当点从线段的中点移动到靠近的三等分点时，经过的时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】它们的初速度相等，故点的速度为，然后可以根据，求出在中点、靠近的分点时的，则点移动的距离可求，结合速度，时间可求．【详解】解：由题意，点初始速度即为点的速度．当在中点时：，解得：，当在靠近点的三等分点时：，解得：，所以经过的时间为：．故选：C．10．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻.若，，，根据指数与对数的关系，估计的值约为（

）A．0.4961 B．0.6941 C．0.9164 D．1.469【答案】C【解析】利用对数式与指数式的互化可得，再利用换底公式即可求出的近似值．【详解】解：，，故选：．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，考查了换底公式的应用；11．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时天文学家处理“大数运算”提供了巨大的便利．已知正整数的31次方是一个35位数，则由下面的对数表，可得的值为（

）236789111213141516170.300.480.780.850.900.951.041.081.111.151.181.201.23A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解析】【分析】根据题意可得,即可求出,根据表即可求出.【详解】因为正整数的31次方是一个35位数，所以，则，即，所以，故选：B12．17世纪初，约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算，据此可判断数(取)的位数是（

）A．108 B．109 C．308 D．309【答案】D【解析】【分析】根据题意，选令，再两边取对数化简、计算、分析后就可以确定其位数.【详解】记.因为，所以，于是，又因为是一个309位数，是最小的310位数，且为整数，所以数的位数是309.故选：D.【点睛】方法点睛：事实上，任何一个正实数都可以表示成的形式，此时).当时，是位数.13．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，15501617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：

12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．

比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=A．134217728 B．268435356 C．536870912 D．513765802【答案】C【解析】【分析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字:16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故选C.【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.14．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲在谈到环境保护问题时提出“绿水青山就是金山银山”这一科学论新．某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2021年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（

）（其中，，）A．2559万元 B．2969万元 C．3005万元 D．3040万元【答案】B【解析】【分析】前7年投入资金可看成首项为160，公差为20的等差数列，后4年投入资金可看成首项为260，公比为1.1的等比数列，分别求和，即可求出所求．【详解】2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，成等差数列，则2020年投入资金万元，年共7年投资总额为，从2021年开始每年投入资金比上一年增加，则从2021年到2024年投入资金成首项为，公比为1.1，项数为4的等比数列，故从2021年到2024年投入总资金为，故到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为万元．故选：15．16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明了对数，我们来估计2100有多大，2100为乘方运算，我们对2100取常用对数，将乘方运算降级为乘法运算：lg2100=1001g2≈100×0.3010=30.10，所以2100≈1030.10=1030×100.10，则2100是几位数（）A．29 B．30 C．31 D．32【答案】C【解析】【分析】先阅读题意、理解即时运算，再结合指数函数性质可得答案.【详解】解：由100.1∈（1，2），所以1030×100.1∈（1030，2×1030），即2100是31位数，故选C．【点睛】本题考查对即时运算的理解及进行简单的合情推理,考查指数函数的性质，属中档题.16．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此根据此表，推算x123456789102481632641282565121024x111213141516171819202048409681921638432768655361310722621445242881048576x21222324252097152419430483886081677721633554432A．524288 B．8388608 C．16777216 D．33554432【答案】B【解析】【分析】先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解.【详解】由上表可知：，，即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此．故选B．【点睛】本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.17．16、17世纪之交，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，在此基础上，布里格斯制作了第一个常用对数表，在科学技术中，还常使用以无理数e为底数的自然对数，其中称之为“欧拉数”，也称之为“纳皮尔数”对数是简化大数运算的有效工具，依据下表数据，的计算结果约为（

）x1.31023.1903.7974.71557.3970.27000.69311.16001.33421.5501.60942.001A．3.797 B．4.715 C．5 D．7.397【答案】A【解析】【分析】应用对数的运算性质及表格数据求，即确定的值.【详解】，∴根据表格对应关系知：结果约为3.797．故选：A.18．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于任意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依据题意构造函数为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取值范围【详解】由题意，的反函数．对于任意的，有，即，可转化为，则函数在上单调递增．设，则在上恒成立即在上恒成立又，则，故选：D．二、填空题19．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则_______．【答案】【解析】【分析】根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.【详解】因为，所以，由，可得，所以，所以，故答案为：.20．16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.现在已知，，则__________.【答案】2【解析】【分析】先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算.【详解】∵，∴，∴故答案为2【点睛】底数不同的两个对数式进行运算时，有时可以利用换底公式：将其转化为同底数的对数式进行运算.21．苏格兰数学家纳皮尔在研究天文的过程中，通过对运算体系的研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件．他的朋友布里格斯构造了现在常用的以10为底的常用对数，并出版了常用对数表，以下是部分数据（保留到小数点后三位），瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”，根据下表中的参考数据和指对数之间关系，判断下面的结论，其中正确的序号是_______．①在区间内；②是15位数；③若，则；④若是一个70位正整数，则．参考数据如下表：真数x235711131719（近似值）0.3010.4770.6990.8451.0411.1141.2301.279【答案】①④##④①【解析】【分析】利用对数的运算性质求出，由此分析求解即可．【详解】解：，则，所以，故①正确；因为，所以，即是16位数，故②错误；因为，即，所以，则，则③错误；因为，因为是一个70位正整数，所以，所以，所以，故④正确故答案为：①④22．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则______________.【答案】【解析】由题，分别化简的值代入即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.三、双空题23．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即．现在已知，则______；______．【答案】

8

【解析】利用对数指数互化求出的值，再求的值.【详解】因为，所以，所以.故答案为：（1）8；（2）.【点睛】本题主要考查对数指数互化和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．在研究天文学的过程中，约翰纳皮尔为了简化其中的计算而发明了对数，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.已知，则实数x，y的大小关系为___________，___________.【答案】

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【解析】【分析】结合对数的运算关系即可化简得到x，y的大小关系和的值.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故答案为：，25．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________．【答案】

1【解析】根据幂的运算性质可知，，即可求出的值；用对数式表示出和，根据对数运算性质和换底公式即可求出．【详解】因为，所以，即，，故．故答案为：；1．【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，以及对数运算性质和换底公式的应用，属于基础题．26．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即，现在已知，，则______，______用最简结果作答【答案】

8

【解析】【分析】利用对数恒等式、换底公式即可得出．【详解】，，则，．故答案为8，．【点睛】本题考查了对数恒等式、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．27．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即.①若，则______；②若，，则______.【答案】

1【解析】【分析】①由有，即可得出答案.②由，,则，再由对数的换底公式可得答案.【详解】①由，若有所以.②若，,则所以故答案为：(1).

(2).1【点睛】本题考查了指数与对数的互换和对数的换底公式的应用，属于基础题.28．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动.点Q沿直线作匀速运动，令，点P沿线段(长度为单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离.令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是，其中e为自然对数的底，则点Q的运动初速度___________；当点P从线段的三等分点移动到中点时，经过的时间为___________.【答案】

【解析】【分析】利用分别求出Q运动到线段的三等分点及中点的距离，故经