初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-开放性问题

#.给定四个命题：①sinl5°与sin75°的平方和为1；②函数y=%2-8%+6的最小值为-10；③a4」=4=;④［口=上—，则x=10"，其中错误的命题的个数是 aa '5一% v-5-%.①在实数范围内，一元二次方程a%2+b%+c=0的根为%=-b±lb2-4a；②在^ABC2a中，若AC2+BC2>AB2,则4ABC是锐角三角形；③在4ABC和^AB1cl中，a、b、c分别为^ABC的三边，a1、b1、c1分别为^AB1cl的三边，若a>a1,b>b1,c>c1，则△ABC的面积大S于^ABe］的面积S1.以上三个命题中，真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3.已知：AB是。O的直径，AP、AQ是。O的两条弦，如图1,经过B做。O的切线l,分别交直线AP、AQ于点M、N.可以得出结论AP•AM=AQ•AN成立.(1)若将直线l向上平行移动，使直线l与。O相交，如图2所示，其他条件不变，上述结论是否成立?若成立,写出证明,若不成立,说明理由；(2)若将直线l继续向上平行移动，使直线l与。O相离，其他条件不变，请在图3上画出符合条件的图形,上述结论成立吗?若成立,写出证明；若不成立,说明理由..如图，已知圆心A(0,3),A与%轴相切，。B的圆心在%轴的正半轴上，且。B与。A外切于点P,两圆的公切线MP交y轴于点M,交%轴于点N.

(1)若sin/OAB=«，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；5⑵若A的位置大小不变，0B的圆心在1轴的正半轴上移动，并使。B与。A始终外切，过M作。B的切线MC,切点为C在此变化过程中探究：①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M、N、B点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形?若存在，表示出来；若(山西省中考题)不存在，说明理由．(山西省中考题).有一张矩形纸片ABCD,E、F、分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=a,AD=b,BE=%.(1)求证：AF=EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．①当％:b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结BE',直线BE'与EF是否平行?你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直?.⑴证明：若％取任意整数时，二次函数y=a%2+bx+c总取整数值，那么，2a、a-b、c都是整数.(2)写出上述命题的逆命题,且证明你的结论．.已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16.(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.参考答案

W不放性向・呼说1例题求解】例3⑴连口国a匚上八日匚斗上,心廿=:£《改?|口+W不放性向・呼说1例题求解】例3⑴连口国a匚上八日匚斗上,心廿=:£《改?|口+1100〃=;><13十1白。）即八四_1_4（力《勿偶设存在这样的抛物线.耳解析式为了=4/+匕一明并没也49右的外接［Effll心为心.jtHG.HG,作。EJ_工轴于E.心F_L卡看于F,,剧CE,一口，口a+n,“■8"卷心口竹—.司二会由3工加£=差一粗心八仃£=九得HE=20E=3,二月时站”仇a4■QB-QC■OD,SP—jljEr4.*,.p=1,又^B—6,；*<工一工产-。1-*工»-4工5="+］&=躯.解得占三七2卉.故存在这样时我胸姚,其解析式为y一/土£拜工14, ,例5（口同学乙的方霆较为合理.因为间的他轼小,1r与.越推近后。*T因而该等卷二的雅植揍近千正三•的形.且能保证相慨三俏晅的一正度H帽等.向学甲的方案不合理+不能保证相似三角推的“正度注相等，如；边长为4,4,2和边民为s.8,4的前个等1ft三曲密相似，但3-4|=>2^|4-a|=4t1现按与ft的培馆的.堆易程度.给出的评分标隹如下R门）写出以下结艳*并给予证明的站台分：①E4-PT>②『F4T=/PTA」现ZQAP=OTP=90'.写出以下砧密井给予证明的给8分：。口4-尸日-『3②ZATB=60't®/：AOT+ZAPT-］B0pj®QA^O,B,行）写出以下结论.井绪f■证期的蟒LO^.ACMTboAPTB.d）写出以下结jt,井皓予证圉的爵12分』H4•PB=<OT'0,7.工（1J由凸AEEs_^<7£J同隔.即AH・-if口•日£\--U £</1「必只要£RA£=上.4CUr即只靠。=静1或Mb-际,或AF/B。，或£E（7F_/At?□，喳£FAF=/AB£J等）即可_建港「与CF是垂直的.伪《口的证狭证明r(3】£尸与CT是不黍直的，连.03/%仁+LJV,HM,/Ca'M+/RM.M=gCi\/E(Q4-Z<.Q0t>ZBMN+^CNM-捋，成/EQC+iSD'T2日81+ZC1QQ]}<和二*⑴山号闻）©0,F设总）屈幻而，（4A0A#hl7才冲设卓b则直蛛4「的距周力标，则AC=/=「一】。+%*.=yAC'A=:八H-tx?■"-Jhi，+1&♦¥H54■山将直鞋、施韧蛾的解析式分别为产专m7,3=亲^者1〉父$】解得El』yk二（由对同学中的方案可改为用气虫%/不覆为正轴，来表示“正度、⑶还可用廿一眦'1,1白一对，用叮一】酎斗］♦弼产。单（由对同学中的方案可改为用气虫%/不覆为正轴，来表示“正度、⑶还可用廿一眦'1,1白一对，用叮一】酎斗］♦弼产。单160・产］等来表示"正度匕【学力训练】2"-42a1占=a:l£i+25)1 4岫=/g+2&)心〈.上24>4<(£a+&$=皿小警'——•寺—4-卷h-3或产;V一%+1或y=—j!+-^-je-1J.U>Fif=UE,在明略MD包口的苴径为55.可以设计如下叫种方案：风中一寺工一心 （幻①口点生期为⑸旧②存在粒合要求的P点的坐标,此时尸点些皆为TOC\o"1-5"\h\z占 占 苦 心或（苦逅二詈岛J U7.2 «.A丸m逢皓凸『，在平族中丹UJLMN,/丹H%l上月ED-M”.又/R'AE=/H两口=如.，二△月时皆切凸森8户.二需「薨,AMP*AM-AD•显IT.同理“1Q・ •'■!&,故MP•小M=AQ■启国成立^箝0》的结语仍成立，狂叫电.IIK"涮@一£八由&"EGEOB舟黯二端二BN=•铝=：0州一门£一用7=年.，川4期由此褊MP的解析式为L子丁一,岫物戡的解析式为T=-yJ!+yJ-2r《门①四边璃MC目足也晤，，在®4不动.®H运力变化过程中，恒有上现门=/必4巴门4=白「，/$06=上山」，挺=3QD..■.&1CB已也心出工电一PM.汽Er>lM»FH=r?iW,而尸E=BC,J,QW-丑二由切我反定理如MC-MP.二MCT.次二四边形MQBC是平行四边拶.义/帆出=疗二四通盘MOBC为聚脂一£存在，由上证期知明△MOW@曲色月产N'itNN=MN,因此在过M.N.H三点的抛物城内有以EX先捷的第屐工蔺格MKH存在一由揽物线的对称ft怔.在他物鳗上噌有一点M旬M关于其对称轴同称，二BN-BM一选林得到满足条件的三丽形有两个,△MN出和△时NR,」鼠⑴由十口十g•口= *■+&-"1・%殍八F7-h又A DX PPf’ 2/MrhvTI⑵①如图L当宜殿EF跄过厮矩形的IH点U时，h=#=旬如图2,当直\把/VyJX―1C战EE经过原矩潞的顶点在时白，3-g； ¥—.一J②如图1，当亶镂bE经过季斯带顶点时.BE'〃EFa皿留上节直线i第11g)E'E绕过游坦尼的加点人时.且当£=哼时湛C与i第11g)II-UJ若；r电整做值时，二it函敕¥=必产十打十f总盟整期rifi,期首/=0时.郭=「为整数，成。为整版值】当J--1时，¥-1・&”…为整数，于驰日一A=*7一曲为整歙1当1=-2时，/7=4&一游十.为密数•于是^=y-i-2y--I 为翌勤•于是入，口一九。都是整数.仃）所求迎命疆均;君舐1~枭「都是艳鼓，那幺五取任意婚数时।二次函数丁=£产+%+「总取整质值，这是一个苒带靶,证明如下才若…一冉否都悬整数，由丁二3十打+4-=皿开十1¥—5—％+:.当T取整数时.川工心口是偶熟，故日在HI必是整数，由黜是楚投得2a•十/1;lJ是整数，区由Lk居整数港一STjHhJSSj如因此.当工取任意整数时，二投函数丁="・+*+『总欺K效值一13.口川口由，记由并设少BC的边力口上的高为心，△八口c的四衣上的府为心，第3“.小下・庭山.+83=*端+%N,印*+2仅当修="/时部4成如即在四边形小£8中，岂水：］.小乱人以。口晒苧号地立.由已知聪64<1匕+白>,又■&=5